Nos travaux s’intéressent principalement à l’optimisation des caractéristiques dimensionnelles dans les procédés de prototypage rapide et de fonderie à la cire perdue, notamment en termes d’état de surface. L’étude consiste ici à valider la faisabilité d’une méthodologie originale par plan d’expériences cherchant à améliorer la qualité des répliques en prototypage (définition numérique → pièce prototype) ou en moulage (modèle → pièce moulée) en fonction des paramètres du procédé lui même, mais également en fonction du choix des matériaux. Le principe de base de cette analyse est le suivant : dans une première étape nous créons une surface fractale sous CAO (format STL) et nous réalisons cette pièce en cire par prototypage rapide, puis nous élaborons le moule en plâtre pour finalement obtenir la pièce métallique par fonderie en cire perdue (alliages A-S13 et A-S9U3). La surface fractale Takagi a été créée avec un niveau de récursion  n = 7 correspondant à 128 bords de facettes par côté.We are mainly interested in the optimization of the dimensional characteristics, in particular in terms of roughness, in the processes of rapid prototyping and of express foundry. Our study consists in validating the feasibility of a methodology by experimental design to improve the quality of the surface. The basic principle of this analysis is the following one: in a first stage we create a fractal surface under CAD (format STL). Then we realize this wax piece by rapid prototyping and we elaborate the mould plaster to obtain finally the metallic piece by foundry

BIGERELLE, Maxence

COSTES, Philippe

IOST, Alain

French

SAM;  the Arts et Métiers ParisTech open access repository

Science Arts & Métiers (SAM)
is an open access repository that collects the work of Arts et Métiers ParisTech
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Handle ID: .http://hdl.handle.net/10985/10678
To cite this version :
Philippe COSTES, Maxence BIGERELLE, Alain IOST - Fabrications de surfaces multi-échelles
par prototypage rapide pour l’optimisation des surfaces fonctionnelles brutes en fonderie : Partie
1 – Conception des surfaces fractales. - In: journées internationales francophones de tribologie
(JIFT 2009), France, 2015-07-05 - Conception Fabrication et Durabilité : Actes des journées
internationales francophones de tribologie (JIFT  2009) - 2012
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Conception, Fabrication et Durabilité 
 
5-6 mai 2009 – Compiègne – France 
FABRICATION DE SURFACES MULTI-ECHELLES PAR 
PROTOTYPAGE RAPIDE POUR L’OPTIMISATION DES 
SURFACES FONCTIONNELLES BRUTES EN FONDERIE : 
PARTIE 1-CONCEPTION DES SURFACES FRACTALES 
 
ELABORATION BY RAPID PROTOTYPING OF MULTI-SCALES 
SURFACES TO OPTIMIZE FOUNDRY ROUGH FUNCTIONAL 
SURFACES: PART 1- COMPUTER AIDED DESIGN OF FRACTAL 
SURFACES 
 
P. Costes1,2,  M. Bigerelle3  et  A. Iost1,2 
1 Arts et Metiers ParisTech ; CNRS LMPGM, ENSAM Lille, 8 boulevard Louis XIV, 59046 
Lille Cedex, France 
2 Département Matériaux Mécanique et Procédés, ENSAM Lille, 8 boulevard Louis XIV, 
59046 Lille. 
3 Laboratoire Roberval, UMR 6253, UTC/CNRS, Centre de Recherches de Royallieu, 
BP20529, 60205 Compiègne, France. 
Résumé 
Nos travaux s’intéressent principalement à l’optimisation des caractéristiques dimensionnelles 
dans les procédés de prototypage rapide et de fonderie à la cire perdue, notamment en termes d’état 
de surface. L’étude consiste ici à valider la faisabilité d’une méthodologie originale par plan 
d’expériences cherchant à améliorer la qualité des répliques en prototypage (définition numérique → 
pièce prototype) ou en moulage (modèle → pièce moulée) en fonction des paramètres du procédé lui 
même, mais également en fonction du choix des matériaux. Le principe de base de cette analyse est le 
suivant : dans une première étape nous créons une surface fractale sous CAO (format STL) et nous 
réalisons cette pièce en cire par prototypage rapide, puis nous élaborons le moule en plâtre pour 
finalement obtenir la pièce métallique par fonderie en cire perdue (alliages A-S13 et A-S9U3). La 
surface fractale Takagi a été créée avec un niveau de récursion  n = 7 correspondant à 128 bords de 
facettes par côté.  
 
Abstract 
We are mainly interested in the optimization of the dimensional characteristics, in particular in 
terms of roughness, in the processes of rapid prototyping and of express foundry. Our study consists in 
validating the feasibility of a methodology by experimental design to improve the quality of the surface. 
The basic principle of this analysis is the following one: in a first stage we create a fractal surface under 
CAD (format STL). Then we realize this wax piece by rapid prototyping and we elaborate the mould 
plaster to obtain finally the metallic piece by foundry. 
2 Conception, Fabrication et Durabilité  – Compiègne 2009 
1. INTRODUCTION 
   L’amélioration de la qualité des surfaces sur les produits obtenus par mise en forme 
présente des intérêts majeurs. Elle donne de la valeur ajoutée aux pièces moulées ou 
forgées, et elle permet de diminuer le nombre de surfaces fonctionnelles dont l’obtention 
nécessite un usinage par enlèvement de matière, coûteux et augmentant les délais de 
fabrication. Dans ce domaine d’investigation, nous nous intéressons principalement à 
l’optimisation des caractéristiques dimensionnelles, notamment en termes d’état de surface, 
dans les procédés de prototypage rapide et de fonderie à la cire perdue. Notre étude 
consiste à valider la faisabilité d’une méthodologie originale par plan d’expériences qui 
cherche à améliorer la qualité des répliques en prototypage (définition numérique → pièce 
prototype), ou en moulage (modèle → pièce moulée), en fonction des paramètres du 
procédé lui même, mais également en fonction du choix des matériaux. Le principe de base 
de cette analyse est le suivant : dans une première étape nous créons une surface fractale 
sous CAO (format STL), puis nous réalisons cette pièce en cire par prototypage rapide 
(micro projection de cire : MMII de Solidscape US), nous élaborons le moule en plâtre 
(Hydracast 79/60 de UCPI) pour finalement obtenir la pièce métallique par fonderie à cire 
perdue (alliages A-S13 et A-S9U3). 
2. CONSTRUCTION CAO DES SURFACES FRACTALES 
Une surface fractale qui peut être modélisée mathématiquement [1-3] est un bon 
vecteur pour l’étude de la réalisation pratique d’une pièce à partir d’un modèle théorique 
connu. Les géométries fractales permettent de modéliser des surfaces existantes, 
notamment par l’introduction d’irrégularités (points de non dérivabilité) qui rendent compte 
de la réalité des surfaces rencontrées dans les procédés de fabrication. Dans le cas 
d’utilisation des surfaces self similaires ou self affines, les caractéristiques géométriques se 
conservent par loi d’échelle. La vérification de la conservation des aspects géométriques 
multi échelles peut être construite à l’aide de mesures (pris au sens mathématique) sur la 
surface fractale réalisée et palpée. La dimension fractale donne une expression analytique 
entre les mesures et l’échelle où celles-ci sont effectuées. De plus, une géométrie fractale 
peut se présenter sous une forme modélisable vectoriellement, programmable au format 
STL (Fig. 1), et donc exploitable par le procédé de prototypage rapide [4]. 
 
 
     
Fig. 1  Le logiciel Fondfract que nous avons créé (teléchargement 
http://prgm.spipu.net/?id=22&page) qui permet de générer des fichiers CAO de fractales. 
Fondfract orginal freeware (download http://prgm.spipu.net/?id=22&page)) 
Conception des surfaces fractales en fonderie par prototypage rapide 
3. CHOIX DU FORMAT STL  
Un fichier au format STL est un fichier texte définissant le maillage en éléments plans 
triangulaires d’une surface. La programmation d’applications générant ce type de fichier est 
aisée. Cependant, les fichiers peuvent devenir rapidement très chargés en informations, si 
bien que certaines applications logicielles peuvent quelquefois saturer. Le format STL est 
reconnu par les logiciels de prototypage rapide, de CAO et d’éléments finis. Il s’agit d’un 
langage vectoriel sans perte d’information. De plus, un fichier STL peut se convertir 
facilement dans d’autres formats. Pour certains types de surfaces fractales, la facettisation 
n’induit pas de perte d’information (fractale non dérivable en tout point). La définition STL ne 
détruisant pas la géométrie fractale, le calcul de la dimension fractale reste juste. Les 
itérations de construction de la fractale peuvent être choisies, la longueur la plus faible 
devient la longueur dx  de référence, et le calcul de dimension fractale utilise une mesure 
faite sur une fenêtre de largeur dx» dl . Enfin, la représentation de la surface fractale est 
respectée en CAO et le maillage est déjà effectué pour des simulations en éléments finis en 
respectant la géométrie multi échelles (Fig. 2-3). 
 
 
 
 
   (a)     (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
: 
 
 
 
 
 
(c)     (d) 
Fig. 2  Exemples d’applications logicielles développées pour générer les géométries au format STL. 
(a) : Fractale auto affine de Takagi, (b) : Flocon de Von Koch 2D (extrudé), (c) : Fractale auto affine 
de Weierstrass, (d) : Flocon de Von Koch 3D (méthode algorithmique originale) 
Examples of developed software applications to generate the geometries in STL CAD standard.  
(a): Self-affine Takagi fractal surface, (b): flake of (extruded) 2D Von Koch, (c): Weirestrass 
functions (d): The 3D Von Koch flake  (original algorithmic method)                                                             
4 Conception, Fabrication et Durabilité  – Compiègne 2009 
 
 
Fig. 3  Création d’une surface fractale (4 itérations) par FondFract pour tester les contre dépouilles. 
Used of Fondfract orginal freeware to create a CAD fractal with four iterations. 
4. EQUATIONS 
La conversion de la surface au format STL nécessite au préalable un maillage 
surfacique triangulaire qui dégrade la géométrie fractale selon la flèche maximale souhaitée 
entre la surface fractale théorique et chaque maille plane. Afin d’éviter cet inconvénient, 
nous avons utilisé la fractale auto affine de Takagi [5-6] pour nos premiers essais. Cette 
géométrie (Fig. 2a) présente l’avantage de correspondre par définition à un assemblage 
d’éléments plans à bords droits contigus ; ce qui implique que le fichier STL définit 
exactement la géométrie fractale théorique sans la dégrader (car exempte de problème de 
convergence numérique).  
La surface fractale auto affine de Takagi  est une surface de type zyxf ),(  définie 
pour  10,x  et  10,y   d’équation : 
),,(),( kyxbyxf
k
k
1
                           (1) 
 
avec      150 ;,b     et   )),(),,(min(),,( kyzkxzkyx   
Conception des surfaces fractales en fonderie par prototypage rapide 
 )mod(*),( kk xkxz  11 22      si    21/),( kxz  , 
))mod(*(),( kk xkxz  11 221      si    21/),( kxz  . 
Pour cette géométrie,  n   vecteur normal orienté d’une facette du maillage de la 
fractale, 0zn .  ( z étant le vecteur directeur unitaire de l’axe z  de référence). Par 
conséquent, ce type de géométrie offre la possibilité d’être palpable par un profilomètre en 
trois dimensions sur une surface réelle. De plus, sa "dépouille" naturelle selon l’axe z  est 
intéressante pour des opérations futures de moulage. 
5. CHOIX DES PARAMETRES DE LA FRACTALE DE TAKAGI ETUDIEE 
La dimension fractale de la surface de Takagi a été prise à une valeur médiane de ∆=2,5 ; 
comme  
2
8
log
log b  , cela correspond à  
2
1b  dans l’équation (1). Comme pour créer 
un objet en prototypage rapide, la surface définie par le fichier STL doit englober un volume 
fermé, notre application logicielle Fondfract réalise un parallélépipède rectangle à base 
carrée dont une des faces correspond à la fractale de Takagi (Fig.2a). Différents essais 
préliminaires nous ont conduits à prendre les options suivantes pour la définition de la 
fractale, afin de mener à bien notre étude avec les moyens dont nous disposons : 
 - 25,6 mm  pour la longueur des cotés de la surface fractale ; 
  - 15 mm pour la hauteur du talon à base carrée afin d’assurer une bonne stabilité 
de la maquette prototype en cire lors de la construction avec la surface fractale verticale ; 
 - 1,024 mm pour la hauteur totale de la géométrie fractale, ce qui permet de 
respecter l’amplitude maximale de palpage en Z du profilomètre 3D TENCOR P-10 Surface 
profiler™ sur la zone palpée des maquettes fractales. This latter device consists of a 
diamond tip with a 2 μm rounded-end having a 10 nm vertical resolution according to the 
manufacturer. 
 
La surface fractale a été créée avec un niveau de récursion  n = 7 qui correspond à 
128 bords de facettes par coté et à une taille de 200 µm pour les détails élémentaires en 
fonction de la limitation du prototypage MMII de Solidscape par le logiciel ModelWorks™ de 
mise en strates avec la fractale horizontale (Fig. 4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4  Prototypage de la pièce fractale obtenue en CAO  
Prototypage of fractal piece obtained in CAD 
 
6. RÉALISATION DU PROTOTYPAGE 
La fabrication des pièces prototypes en cire est effectuée sur la machine ModelMaker II de 
Solidscape (Fig.5a). Elle utilise des fichiers machine MMII issus du logiciel ModelWorks™ 
qui, à partir du fichier STL, permet la mise en strates de la pièce, le choix des configurations 
de construction et le calcul des trajectoires des têtes d’impression. Chaque tranche de la 
maquette est imprimée par solidification de très fines gouttelettes de cire liquéfiée (76 µm de 
15 m
m
Hauteur de la
Fractale 25,6 m
m
25,6 mm
6 Conception, Fabrication et Durabilité  – Compiègne 2009 
diamètre dans l’air). Le déplacement vertical de la table de construction permet de surfacer 
par fraisage la tranche à l’épaisseur voulue et ainsi de reconstituer la troisième dimension 
du modèle. 
Cet équipement de prototypage offre les intérêts suivants : 
- différentes épaisseurs de strates sont possibles et peuvent être utilisées pour une même 
construction (12,7 µm – 25,4 µm – 38,1 µm – 50,8 µm – 76,2 µm) ; 
- deux têtes piézoélectriques d’impression : une cire verte de construction pour la pièce et 
une cire rouge de support soluble dans un solvant (Bioact VSO à 60°C) ; 
- procédé adapté aux petites pièces en raison notamment des très faibles épaisseurs de 
strates possibles. De plus, la machine permet une définition de 0,2 mm dans le plan 
d’impression et  une incertitude de ± 25,4 µm sur pièce finie (dans le plan d’impression, la 
largeur du trait de cire de construction a une valeur moyenne mesurée de 126,5 µm pour 
une température préconisée de la tête d’impression de 120 °C).  
   Pour l’analyse topographique des surfaces obtenues, le profilomètre 3D TENCOR P-10 
Surface profiler ™ de KLA Tencor (Fig. 5b) permet d’obtenir les fichiers de points de la 
surface palpée qui sont exploités à l’aide d’un logiciel spécifique développé par les auteurs 
[5,6]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5  (a) Machine Model Maker II (Solidscape, US), (b) profilomètre 3D TENCOR P-10  (KLA 
Tencor, US) 
(a) Machine Model Maker II (Solidscape, US), (b) 3D TENCOR P-10 Surface profiler (KLA Tencor, 
US)  
7. RÉSULTATS 
A partir des fichiers de points palpés, une première visualisation de la topographie des 
surfaces fractales obtenues est réalisée sous Mountain™. La fractale théorique est affichée 
dans sa totalité en haut de la figure 6. Sur le graphique de droite, la partie palpée est 
représentée en zone grisée. Il semblerait à priori que la restitution de la géométrie fractale 
est correcte mais il reste à mettre en oeuvre des techniques multi-échelles de mesure de 
cette pertinence.  
Conception des surfaces fractales en fonderie par prototypage rapide 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 6  Topographie de la surface théorique et zone palpée sur les pièces prototypes (haut) ; 
topographie de pièces prototypes mesurées (bas).  
Topography of the theoretical surface and the measured one on the surface prototype. 
 
8. CONCLUSION 
Par retour d’expériences, cette étude a apporté une meilleure connaissance du procédé de 
prototypage rapide ModelMaker II de Solidscape. Certaines limites du procédé ont 
notamment été décelées. Lors du passage de la définition géométrique initiale (fichier STL) 
au calcul des trajectoires de buses en x  et y  (fichier machine MM2), le logiciel 
ModelWorks™ de mise en strates dégrade déjà la géométrie fractale (arrondis sur les 
trajectoires des têtes d’impression pour certains angles). De plus, sous une taille de 200 μm 
pour les détails élémentaires de la fractale Takagi horizontale, ModelWorks™ (version 6-1) 
ne sait plus générer des trajectoires "propres" pour les têtes d’impression. 
La démarche présentée ouvre différents horizons d’applications à prospecter. Par la suite, 
elle sera appliquée à d’autres procédés de fabrication, comme les procédés de moulage par 
exemple. 
Cette première étude nous permettra de valider la faisabilité d’une méthodologie pour 
améliorer les qualités de réplique en prototypage rapide, c’est-à-dire lors du passage d’une 
définition numérique à une pièce prototype physique. Dans un deuxième temps et pour 
suivre la logique de fabrication, le moulage en fonderie à cire perdue sera étudié, c’est-à-
dire passage par jeux de surmoulage  d’un ″modèle perdu″ physique en cire (réalisé par 
prototypage dans les conditions optimales) à la pièce physique coulée avec un alliage 
métallique. 
9. RÉFÉRENCES 
[1] Mandelbrot B.B., The fractal geometry of nature, W.H Freeman and Company, New York, 1983. 
[2] Mandelbrot B.B., Les objets fractals, Flammarion, Paris, 1975. 
[3] Tricot C., Courbes et dimension fractale, Springer-Verlag, Paris, 1993. 
1 .02  m m
25 .6 mm
25 .6  m m
Alph a = 3 34 ° B eta  =  29 °
0 5 10 mm
mm
0
2
4
6
8
10
12
14
µm
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Fractale 5 
823 µm
15 mm 14.9 mm
Alpha = 45° Beta = 30°
0 5 10 15 20 25 mm
mm
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
mm
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
8 Conception, Fabrication et Durabilité  – Compiègne 2009 
[4] Dubois P., Aoussat A., Duchamp R., « Prototypage rapide- Généralités », Les techniques de 
l’ingénieur, Vol BT, Ref BM7017. 
[5] Bigerelle M., Najjar D. and Iost A., “Relevance of roughness parameters for description and 
modelling of machined surfaces”, J. Mater. Sci. 38(11), 2003, 2525-2536. 
[6] Najjar D., Bigerelle M. and Iost A., “The computer based Bootstrap method as a tool to select a 
relevant surface roughness parameter”, Wear 254(5-6), 2003, 450-460. 


Elaboration by rapid prototyping  of multi-scales surfaces to optimize foundry rough functional surfaces : Part 1 – computed aided design of fractal surfaces.

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Elaboration by rapid prototyping of multi-scales surfaces to optimize foundry rough functional surfaces : Part 1 – computed aided design of fractal surfaces.

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