Korevaar, J.

Dutch

NARCIS 

De nulpunten van de afgeleiden van een functie en zijn analytisch karakter

CWI's Institutional Repository

STICHTING MATHEMATISCH CENTRUM 2e BOERHAA VESTRAAT 49 AMSTER.DAM ZW 1948-004 De nulpunten van ae afgeleiden van een functie en zijn analytisch karak.~er "Actuali teiten" J. Korevaar 1948 ~.ATHEMAT!SCH CENT.RUM~ De ~ ~an J.Kor~vaar in de serie Actualitei ) ' Tir is verband tusaBn hat: {analy.tisc:h) ltt~t·aktex- ('~:'.: tie f en '., i~g wat: di;. :h'l.!lpu.nt~n van tij!J af'geleid.Ein t"' 1 , f ~ .. 1 ~ .• ~ , , ~t:elli:nge!l, die di t Vtn•tJand belichten; 1Jr.l twee g'.t."Ot~pen veldi:=>len. 9, Stellinge~ i die lr,·rband lf'ggen tussP-n het. analytisch. ka.rak. van de ~l.fl ~n d,"?. nu.lpunti=mvel"de11:ng der a.tgelf~iden ~~JlQJU'Jl.ie~e \tl..AL S:b.:111.ingen,die verband legga:n tu.ssen hat analytc'sch .ixarakte1~ \ran de fun~t m de nulrninten 'lar.1. de ai'geleidF>n op e~~::i. rechte., ~UL e · e~e.r t stellinge:n 'i.,an het e:ype A zal ik enkels vot.,rbE>elden ge'<ien. Voor ee:a v1·11 'Olledig OlfeI·zicht z:!e men G.P"~lya 'i 942. Ws t daarmi op hat geb-iedJL i.:; , ·i:aa t voorn.Qmelijk h1 iJoorbe~ld A2. . .. :at ,,:nde:rwerp_L wil :Uc i_et~ m.-,er sys teimati.sch beh£1ndelan • .-·De probl,:1ems .a dt'.\aJ!"°bij meestail als volgt: ,Pegf{:£f?Dl iets over de nulpun'Cen JP (a.b) lle) a:?gelalden ,,,an een oneindig vaak di:ff'erentiea:i'bal"!El func,tfe I'(xJ. 1!1 welk gsbied is f'(x) snalytisch~ Pl'_ec:ieset>: in w·e.lk gfllbied bf>st,~at er· een r.&lyristthe functie Ft;f1 , die 'sJP {a,b) met f(.x) oi.,r,reenstemt, ,.:,:lf. t•p geoied...,J!.. 1iggen nog 1.1e1~ p:roblemt'.ln,. Voofe een de,el zijn die e1"·u.g -.·e .toeren tot prob.lemen t~rver de groo t (!;e 11a':!.1 t'e afgsleiden 'fl:i!.11 e~n ie :t(~J op (a,)roJ'.i!w~n:neer we lets o,.res< di?! nulpu.ll."1 de grl".!'ot.te :.van fgaleid(?ln wete:n., en uitgsbreide 1it.en:·atuuI·1:.'.1j~t besluit dit O'il·erzi(,ht~ 1~e DOlP~ van f(~) s~oter 'af - e::idli\i 1-.•eg.j1ds :r-1 ➔ ~ ,. , --'srui{ ·vi.lgt a1lerear$t ) ') 1tg~~n '\/\')O!" gro te :ri nagenoeg ~ Da11 is d,u.s l?e.sche.:ru.1.<1en e gy.---'!;t.l!<i!t ::._~)I.(;} Hei: ia du.1dal1Jk.dat lim inf N..,. :· 0 als hf't t.ype ti'!. van ont:e f"unetie 1~ ~d.eine:r is dan -c,~- waa:tbij l de lengte is >J&n 1 .. Immers I uit de stel·· ~ing '-'~~i !)nas .. ( yoor'besld A2} vol gt• da t. in het ge'ial ,Y'< log 2 b1J P-lke eiJ",~ kel met, stl!"&a.I. t oneli:.1dig veal afgeleioen van .f(z) beseaan. die nif?'t nul w~1l"dAr1 np die cirkel. A fortiori bestaan dus b.1J eJ k inte:t-~al te.r; lengte 2 C.4.1.• eindig veeJ. afgeleiden !1!.KI t M1t, = 0. Voor een intet-,Ye.t tar lengte /,; vr.ilgt de uitkcmst dbor een eenvoudige trans.t."'ormatie .. ·••~~g;;-ue!~~:~ i~,m:r■r.: 1 ~~•llftf~ ~13 re3el en on.,indig veal! dif • i'ere:nt1eerbaa:r op a.i b). We noemen het aantal tekenve-irande:ring~n van r.i..)(,x) ep Cs, b) N,.,.., . §4. N~,. = 0("1.~t>l''~ ,-.l• Dan is f(x.) analytisch in (a 1b). (S.Bernsna~in '12l4l a) t<~ (x) ). O (n = o, 1 , 2 ., .... ) op ( at b). f (x) is anelytiscm in f >.~-4 f ~; I'-..:!::.::.. ·"••~ ...... . dan 1a , Uit bet bovenataande lemma volgt ,dat It 1(.x)l ~ f -ala op ( .. · I? )t.geldt N0 ~#,\I!. A~ :, 1' : ~-Az!J, !: I'!. 'vt · 8tel nu,dat n ons gPval c) reeds ~kand is,daC·/eAn Ca,b) dat ve in ( ·-t, !] getranafor■eerd denken, t, > 1r~~J j ~- -,,_ '1t. {1- I~,;-.,,,, If. (N • •xJtCx)I :.p (-1, •l L I ~.}. op { ~-- > ,t ~-gesloten d~el1nt•rval van -· / < ,J!,. < ,i ~ ,, SS- ~ !.z (ff,.o<>,j_:t., .. 1 )· Oan ii f(x} t.nalytiach i,~ _(,~ .•. b) (Sch&etfe:r l9lt-2,t;)~4 ~ . " j 1 ,,_..wi!J!f.c,<'11,b•1s-,,•:,-'"J7:,:•l,.,,_\,J-•i'"::"-'""•W•-¼i•"•'.;t,._;.,;/,_~~Jl,--,.,.._, ... /~ if, tt "" ,J dus il1 \rerbar1d mat het lemma 1 (1) e-11'-f'tN :!;. .tf t-J·-~ :>c ~<fl. Een let:1ms ~i:,als het e@rstEi van §(; lf"·Vart voor de, m,,no tone (. J-l.-1-1 ) ... ste eifgeleide van i"(x) in verband met deze schattinr J2l I -~tf-,1{ J· < 1 . +' J/:' ... J( r ~ . I] '-ey ., .t f, i? - 1.1~ I~ Uit ( 1) en ( 2) 't!olgt~dat f(x). E!IPt! gPhele fw1ct.ie is va~ hat exponentiele type .. net 'type is 'ten ho"gst~ ·, .. H~t resultaat van Widder 1.s dcol' Boss en P6lya (191+2) nog wat uitgebreid; Als f (x: een r-ij afgeleiden heef't van niet te S!:el toenemende orde 1die ; ·· geen teicenve.l'ali1der-1ngel! hf{bben, en als bij P-lk :i::.o~ n nJ .... de afgeli;,ide eE3n t &. -1:.~ j~ J = de atgelaide he.hoort., 'ti!' :niet te r:root,die ook geen tsksnve:r• anderingen ht;;eft, ter-.••ijl · · . · . -~J@CJ ,.JPi.t-~f~C,tJ $ b ) ·. ~$~,~~ . da:n is f (x) geheel" f J · · De_ 11g1.>oei" '\>fa.fl die gehele fAIJ:i,.ctie .f(x) wordt bere:rkt door de 0 groe1~• vend-~ n.A.:, rs en dP q1..1. s. De result.aten van Boar; en. P1)lltti zijn nog bijna nP:rgens r9zo g0ed mogel"ijk 0 ~ • On tb• osc1llatton of differential transform,. II. Cb&Paat~r11ti4 se:rie1 ot bound.b:ry value probl,.111. Tran1.Aa. Matb.Soc.' Ji 463 • 1+97 (B). On tbe oec1llat1on ot ditfer.,ntial t,rat11f o:ru and the charaeterta,lt aerie• ot boundary-value probleu. Yni•.Calitornia Publ.Metb,( •• 8.l 2, ,6, - l68 .. un. · ~••• An extens!~n ot pt.,wr aerie•. Pl"oc.of the Pb,:eteo•Naib.8oc.ot Japan. t. 125-1 38,. (A). para ,R, the convergence of aerie• suaablr (C .r-) and on tb1 upttud.e at the derivatives of a funetlo~ ot • re&l variable. Jo\ll'nel to.ton Math.Soc • .U 9l - 96 (C). ~~Mal, Uber einen Satz von Herrn Eaclangoo. Matt,.A.nnalen .li2,i 171-188 (C). ~fDIOP,I .1 theorea of ~as, Dulce Math .J. a_ 181 ... l 82. tA). l9~. 1be Oonteharott polynomials ,Duke ,.ath ,J. ll 729•733, (A). 19'JS. Corre .. 2t1on1 to "The Gontcbaroft pol,no■i5li". Duk• Math .J • .U lJ,. · (AJ' -J.)W?j~ f ~,tic tunetion1 anti ela11e1 of lnf'1Dtt•l1 ditt•rentlable tune• t1o~• ft1ce Inat.Paaphlet ,a_ no.t, (B)-t91+1t.a. Qua1i-analyt1c1ty an! analytic eontinuation• a general priooiple. 'l'l"ane .. A.m.Matb.Soc ,.ll 9b ... 13). (B). . .•· 19'*4.b. SollP theorem• connected wi~ the theory ct infinitely ditfereut.febJ. functions. Duke Math. J. ll ?41•-:-Jl+q, (B;,. "'1~lhfllJt'a~~=gfi:!ri'tn of th• probl .. ot qu.1111111811ticity. Trans,l.m 811 .. o_ Math. e. ii 265 - 282.(B). ~ On tunct ... one with bt'>Wldtd der1vati'lea. 'hu1act1one Am.Math .Soc., • . . !tl 32l .. 326 .. (C}. ~~~•••'l'b• Bernate1n-W1dder theo~e• on eoapletely monotonic functions. Duke Katb.J. 1J.. ~27 • l+30 (B). 1~ .. b. A new criterl~n ror coapletel7 monotonic tu~+.tions, Trans.Am,Mat..~. Soc. l2 l+S? - ~ CB). fflr.sA, 1915. 1922 .. 1927. t, 9 l.:it,l, J. 

De nulpunten van de afgeleiden van een functie en zijn analytisch karakter

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

NARCIS

CWI's Institutional Repository