Nieuwland, G.Y.

Dutch

CWI's Institutional Repository

stichting mathematisch centrum AFDELING ZUIVERE WISKUNDE G.Y. NIEUWLAND OMLOOPSGETAL, NULPUNTEN, VERTAKKINGEN zc 81/71 VOORDRACHT IN DE SERIE "ELEMENTAIRE ONDERWERPEN VANUIT HOGER STANDPUNT BELICHT" ~ Mc APRIL 2e boerhaavestraat 49 amsterdam MATHEMATlSCH AMSTERDAM Syllabus Serie Elementaire onderwerpen, 28-4-1971 Omlooppgetal, nulpunten, vertakkingen door: prof.dr. G.Y. Nieuwland (V.U.A.) 1, Zij X de verzameling van functies f: c~D3 z + f(z)EC, D = {z: lzl<1}, f continu op D, holomorf op D. Xis een genormeerde ruimte met I If I I = sup If( z) I . Zij F = f( aD). lzl=1 Stelling 1. Voor iedere fcX en w0iF, is een functie dw w-wo gedefinieerd. 1) d een geheel waardig, en constant op elke component van CF; 2) dis een continue functie van f; 3) dis gelijk aan het aantal nulpunten van f - wO binnen D, geteld volgens hun orde. Opm. Meetkundig is d "het aantal malen dat F om wO heenloopt"; d heet het omloopsgetal. Stell1ing 2 (Rouche). f O,f1cX. Zijn d(fO,D,O) en d(f 1,D,O) gedefinieerd en geldt V z zodat I z I = 1 : dan lS d(fo,D,O) = d(f,,D,O). Gevolg. Zij ft een continue afbeelding van [O,1] x X + X en z1J d(fO,D,O) ~ d(f2 ,D,O) (beide gedefinieerd), dan is er een tc[O,1] zodat ft een nulpunt op an heeft. 2 2. Zij X de verzameling van functies f: IRn~n~x ➔ f(x)€1Rn, D open be-grensd, f continu op D, X genormeerd door I Ir! I = sup jf(x)I. Stelling 3 (Brouwer). Zij F€X: F(x) ~ O voor x€3D. Er is een geheel getal d(F,D,O): X€D 1) d hangt alleen af van de afbeelding van aD onder F. 2) dis constant op elke component van Rn - F(3D); d = O indien 'vx€D: F(x) ~ 0. 3) dis een continue functie van F. 4) Zij Ht: Xx [0,1] + X continu, en 'v'td0,1]. Ht(an) ~ o. Dan d(Ho,D,O) = d(H,,D,o). 5) Zijn x~F: D ➔ Rn, X13F 1 : D' ➔ Rm, en d(F,D,O) en d'(F' ,D' ,O) ge-, definieerd. Dan is voor XxX'3(F,F' ): D x D' + Rn x Rm: d((F,F'),DxD'_,O) = d(F,D,O).d'(F',D',O). 6) . . m n . k . d F IRm - m . - n ZiJ R ;:_R kanonie ingebe . : · ~D➔R continu, I+f: D + IR met I de identieke afbeelding IRn + Rn. Indien 04(I+F)(8D): d(I+F,D,O) = = d(I+FI ,DnRm,o). DnRm Opm. Zij F€C1(D), zodanig dat JF(x) = Dan det(aF/ax.) ~ O indien F(x) = o. i d(F,D,O) = I sign JF(x). {x:F(x)=O} 3, Zij X de verzameling van compacte afbeeldingen van een reele Banach-ruimte in zichzelf, met de norm-topologie. {B} de verzameling eindig-n dimensionale deelruimten van B. Zij DcB open en begrensd, zodanig dat elke DnB een begrensde open deelverzameling van Bis. n n Stelling 4 (Leray-Schauder). Zij F€X, en 04(I+F)(aD). Dan is de afbeeldingsgraad d(I+F~D,0) gedefinieerd: 1) dis een geheelwaardige, continue functie van F. 2) d hangt alleen af van de afbeelding (I+F)(aD). 3) Zij Ht: Hx[0,1] + X compact, en Vt€[0,1]: Ht(aD) # O. Dan is d(H0 ,D,O) = d(H1,D,O). 4) Zij B = B1 + B2 , F1: FjB, F2: FjB, dan 1 2 d(I+F,D,O) = d,(I+F,,DnB,,O).d2(I+F2,DnB2,o). 3 Stelling 5, Zij FEX lineair, -1 geen eigenwaarde van F, en OED. Dan I:m. is d(I+F,D,O) = (-1) i, met m. de dimensie van de eigenruimte van F, l behorend bij de reele eigenwaarden A. < -1. l 4. Zij FA voor vaste, reele A, een niet-lineaire continue afbeelding van een reele Banach-ruimte in zichzelf. Laat de operator vergelijking FA(u) = 0 twee verschillende oplossingen u0(A) en u 1(A) hebben, zodat voor A+ A1 , u 1(A) ➔ u0 (A 1 ). Def. AO heet vertakkingspunt van FA(u) = 0 t.o.v. de oplossing u0(A), Zij FA een niet-lineaire operator van een genormeerde ruimte X ➔ X, en GA een lineaire operator: X ➔ X, zodat FA(u0+u) = = FA(u0 ) + GA(u) + o(jlull). Def. GA heet de Frechet-afgeleide van FA in het punt u0EX. Zij X een reele Banach-ruimte. FA een niet-lineaire afbeelding van X ➔ X, van de vorm FA(u) d~f I - AF(u) d~f (I A(G+H))(u), G: Frechet-afgeleide van Fin het punt u = O, F compact: X ➔ X, IIH(u)II = O(jiull 2 ). Stelling 6. Vertakkingspunten van FA(u) = 0 komen alleen voor bij eigenwaarden van de lineaire operator G. Stelling 7. Zij FA(u) = (I - A(G+H))(u) = 0, en AO eigenwaarde van G met oneven multipliciteit. Dan is AO vertakkingspunt van FA(u) = 0 t.o.v. u = O. 5. Een toepassing van stelling 7 in het Taylor-probleem uit de theorie der visceuze stromingen wordt gegeven in lit. 4. 6. Li teratuur 1 . J. T. Schwarz 4 Nonlinear functional analysis. Lecture notes 1963-64, Courant Institute NYU. (1965). 2. M.A. Krasnoselski Topological methods in the theory of nonlinear integral equations. New York (1964). 3, J.B. Keller, S. Antman (eds.) 4. W. Velte Bifurcation theory and nonlinear eigenvalue problems. New York (1969). Stabilitat und Verzweigung stationarer Losungen der Navier-Stokesschen Gleichungen beim Taylor-Problem. Arch. Rat. Mech. Anal., vol. 22, 1966, pp. 1-14. 

Omloopsgetal, nulpunten, vertakkingen

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

CWI's Institutional Repository

NARCIS