Blij, F. van der

Dutch

CWI's Institutional Repository

STICHTING MATHEMATISCH CENTRUM 2e BOERHM VESTRAAT 49 AMSTERDAM zw 1957-017 Voordracht in de ·serie "Elementaire onderwerpen van hoger standpunt belicht" Prof.dr. F. van der Blij 23 oktober 1957 1957 The Mathematical Centre at Amsterdam, founded the 11th of February 1946, is a non-profit institution aiming at the promotion of pure . .mo1hemotics and its applications, and is sponsored by the Netherlands Government through the Netherlands Organization for Pure Research (Z.W.O.) and the Central National Council for Applied Scientific Research in the Netherlands (T.N.O.). by the Municipality of Amsterdam and by several industries. zw '1957-017 Vo0rdracht in de serie nElementaire onc1er-wc:rpen van hoger standpunt belicht 11 door - -. Prof...Dr F ~ _van, der :Blij .'..~3' ,:~ktober> '1957 Algebra !sche besch6uwinieh bij' de herleiding van wortelvormen ~1. Inleiding. De veel gesmade herleiding van \!'5+2 Vr} en de tot traditie ver-starde, haast magische wet: 11 wortels uit de noemer verdrijven 11 ziJn te begrl,__iDen vanui t het standpunt deze vormen eenvoudig numeriek te bapalen als een tabel van de wortels uit de natuurlijke getallen voor-ha ridPn is. Door adjunctie van de wortels uit priemgetallen. al dan niet ge-combineerd met adjunctie van i, ontstaat een lichaam van algebra!sche getallen, waarin leder positief rationaal getal, resp. ieder ratio-naal getal, een kwadraat is. Dit lichaam is niet a)gebra!sch afgeslo-ten, zelfs :Ls niet ee11;3 ieder getal ult dit lichaam een kwadraat. Het is een deellichaam van het lichaam van de met passer en lineaal construeerbare getallen. We zullen ons beperken tot adjunctie van een eindig aantal vler-kantswortels, van zo 1 n lichajm is de graad steeds een macht van 2. ~ 2. Elementaire theorie. Laat Keen uitbreiding van het lichaam k van de rationale ge-ta llen zijn. We noemen twee get a llen p ,q E_ K equivalent a ls pq het kwadraat is van een getal uit K. Stelllng 1. K ( \/p) == K ( Vq) d a n en s 1 e_ c l1 ts d an a 113 p "~· q , Stelling 2. Alr:1 \/p ~K, dan is iec:ler. element van K(\/p) eenduidig te schrij-ve~i als a+b \/p met a; b EK. Onder H= {h1 J•• •1ht} zullen we een willekeu~ige (niet geordende) deelve1"zameling va·n de indices {1, ... ,n} verstaan. Als p1 , .• p11 EK -2--voeren we in TrH =\/ph ••. ph. Al1'-l H leeg is definieren we -rs.t='1. Het totaal aantal zo tJ vorm~n symbolen 7TH is 2n. Stelling 3. Als p 1 •.• Pn E-. K zodat :Leder getal uit K(~1p1' ... 2~: nH TCH met nH E. K. :Stelling 4, Als q E-. K en BewiJs. K_{l/p.1, ... \fp~1 ) de graad 2n heeft, zal VP ) ~~nduidig te schriJven ziJn ala n :·· 1 D We mogen veronderstellen dat K( \/p 1 5 ••• \ 1 pn) de graad 2 heeft en bewiJ zen nu met induct iP na a r n. Voor iedere \-1 ( 1 ~, \I :::. n) z iJn _. "'...·-· - ,.... ! .... er getalle1:c1 c.?i.v e_~i ,'\, f. ~5\/p_1, ·,:.... \lpy, .•• \/pn) met ~1 q=d.1;+/."i)/p)./. Dus ,_,.,_·,,:3/vpYE- K(\,?,1' .. ,}:Pv ..• ~r\1 ) en c'-)J /3•,,=0. Is er een ,; met /\i=O dan \/q= ci t K(\..'p,..,,.,.Vr) ••. \/p) en cle stelling volgt uit de induc-.. v 1 1 y · n tie aanname . .IU:::i voor a lle \/ ge1dt /3vf.O kunnen we met een elemen-taire berekening uit 1 F Vq=/\, \;pv voor alle i> concludcren dat i ..,- \ ;ff•_•----~--.. -----·--•¥ i0.=/3• P1••·Pn· Gevolg. Kiezen we K=k en voor p 1 ,p2 , ... of de rij van de priemge-tallen of deze riJ voorafgE~gaan door -1, dan heeft k(\p 1 , •• ,\/f.\1 ) clc graa'.:.l 2n. BiJ c'Je herleiding van wortelvormen valt het op dat 5+2\/6 geen kwadraat is in k(\/6), maar wel in k(\/6,1 12)=k(\l.6,v'3). We vragen ow, nu af in hoeverre een getal dat geen kwadraat is in een of ander lichaam een kwadraat kan worden door adjuncties van wortels uit hct grondlichaam. Stelling 5. Als o(EL=K(\/p1, ••• V~r) qr E K dan is er een geta l q €: K BewiJs. ' (- .-een kwadr>aat is in L(v'q1 , ... \/qr) met zodat cl, reeds kwadrast ir:3 in L(\lq). Uit i.'d E: L(\lq1 , .. , \/qr) volgt \!o'..::::/3 \,';~-~-~;l met /3 EL (zie stelling 4). Dus is ,.J reeds kwadraat in L(\.q) 1met q~q1 ..• q 1 • We merken op dat zelfs qo-. reeds in Leen kwadraat is. 1 t Voorbeelden. 9 + ).J. \/5 = ( 2 + 1/ 5 ) 2 5 + 2 \ 16 --', 10+4 \t6 = (2+\16) 2 • 5+2\/6 == (\/2+1/3) 2 2 + VJ ·--• l~ +2 V-3 = ( 1 + \/3 ) 2 2 + -/:3 = ( ½ \r2 + i· \1-6) 2 18 + 6 Vs --• 6+2 V5 = (1+\/5) 2 18+6\!5 == (\/3+ \(15) 2 . l'" c: <.3 ·t"' 011 \. <:' :;..."t f ')( +\I ',.' r, ,,\ <.. \ ' ' • I ' J,") ") du:: x•· •· ny'- ;::,: qa ~. 2xc.-(l8 ,.:: t qd ") -/ :::) V ) L .. - ,•:,,-, ;' '') '', \ \'••·"' ·~'--··t\'·!,:ll, - ,5 .., ... X 'y 1~- K ()f)rn.f:r\(ir:g: .. 'i:l;.)1~; 3.,b,, t·ic1<} rat.i()na1e r;etallt'.r da·r·, 1run11en •,~,;t:- v·cor ,·•j ,, .... , t") q :::ti.eds ec•t.1 deler va11 ~-:(a':·-d'-·)=~!b'~c kiczc-r,. (>ver 1·1 1:1-: n.lr;err.cr~e g,::va 1 l welnL~; te Zt:ggen. Voldot·nde is om r ··.:- X $' ::0:::: . .,,., . ' ... .. r. ,.tr' ,- r ·, • I • ) " \ .. . Oprne rldng. K, ::.,, ,-~-\' p ms t q .... ·) - ... ~. 7C KuL-Kr1L }( ~) 1. .. -J(: 1.L=!-i Cl ee, geta1 ' - ~:, te zo,?ken met (x+y \, :i)'•::.: ,;•,, Merkw,:Eirclig :1:, de [,1tuat:te in andere dan het rat:i.onal(: lLehaam. In '~--0 en µr~em11chaam m~t p elementen wordt na adJu~ct1e van \:l, w• ar -een niet: re'.:.:t i8, :1.eder> element ui'L het oor:,pconkel1Jke lici1aam ,,:i:n '. 1:wad.:'Det. In cm! lichaam vrm p-acHsche getallen (p-J'2) ,,1(H•dt na 11c~a8m ~wadreat. f c''\ " i c; ::,, . Ga lo :sthe0r1c. ':Je ::.,chet~:ier, 1n grc.,vci 11.:inec ck G,,Lloi~;the:'rLe. ·1. Al::.:i f(x) lrreciucib('l van de gPna:J n ls en f(";::::0 3 c1an is K(,,.) e{,:'" algehrarsche uitbreiding var1 de graad n. Deze uitbreiding (en f(x)) heet nor.rnaal els f{x} in K(t'1 VGl.ledig in lineair,:;; factorFn uHeen--4-va lt. 2. De Galoisg1°oep van een norma1e vergelijl{ing hceft de graac.1 n. 3. Het 11 lattice 11 van de ondergroepcn van de Galo:Lsgrocp en dat van de tussenlich8men tu:rncn K en K(io/) ziJn duaa 1. BiJ ieder,e onde:rgroep hoort het lichaam van de onder deze groep invariante elementen. 4. De graad van de uitbreiding en de index van de corresponderende ondergroep Z~Jn gelijk. ,Stelling 6. l) == \/a.+b 1Fc· is te schriJven a ls tFx+ \,'-y a ls r7 wortel is van een nor-mijle vierdegraads vcrgelijking. 'r lj. 2 2 2 BewiJs. ~ voldoet ~an x -2ax +(a -b c)=O. We ontbinden (x-':.!)(x+i7)(x2 - 8 -~c). De vr:::cgeliJldng i:-, n1brmaal als a 2-b2c=d 2 • De Galoisgroep bcstaat dan uit E identlteit A 't) ~---~ -1/ l.J .4::""--"; - -J' B l/ ~-~ l) I - ti ~-""? - 1.J I 't 1.Y' - )'/ "'o/ I AB l ,;,--•- ·- ~-• (/ . 4- I ( )j i,r a-:: d ) De Galoisgcucp heeft drie crndergroept'n van index 2, Er ziJn dw3 ZE::: 1 er t1,1ee (zelfs clric=} onderlichamt':t·: van K(1)) met de graad 2, hiervoor kunnen K{\fc) en K(Vf') met f=2(a+c1) of 2(a-d) gekozen wor·den. Dan zal K(V::,Vf)==K(V) en dw:: ).,,~ao+a'i ✓-c+a2\rf+a3{cr. 4. Derde wortels. De methode van Cardanus voor de oplos_§._i.~K . ..YBD x3+,-:1-.x+/3=0 voert op natuurliJl-ce wi,:ize tot vormen als S' = {J/ a+b l{e,. W kunnen ons de vraag stellen of deze vorm te schriJven is aL, ..,;·t--v v c. SchriJven we eenvoudig a+b V-c=:(u+v \/~ )3 en stellen we vergeliJkingen voor u en v op da n komeii we tot ecn derdcgraa d sv rge li j king, die opge lor;t via Cardanus tot de oude vocmen terugleidt. I ·--·•-·-AlS 'yr 8 +b \lc=u+v v~ dan ook \j/ 8 -b ·/~==U-V v; 2 2 en dus moet a -b c een '.) 2 ') derde macht van een getal in het grondlichaam ziJn, stel dus a~-b c=dJ. F. ·---- ;-·. .. / --- - ,-Ve rd er moet ook T = \J a+b 'v c + \J' a-b 1/ c=2u in het grondlichaam 11g-gen. We mcrken op dat r voldoet aan z 3 - 3dz - 2a = 0. Een verdere voorwaarde is dus dat deze vergeliJking een wortel in het grondlichaam heeft. De beide andere wortels ziJn dan -5-3 r 2 31 -- ··- -- - 2 3 r---:::- y r- 3 t,f== t,\/ a+b \ c+ t '<I a-bVc en 12:=:c r~-1/ a+b Ve+ t.\ a-b Ve met t =1 en a lle worte ls moeten 1 iggen in K( v -3c). Voorbeelden .. )/7_5\/2~ We berekenen a 2 -b2c = 49-50:::::(-1) 3 , dus d=-1 .. Dever-geliJking z3+3z-14=0 heeft een wortel Z=2. We vinden dus U=1 en dan eenvoudig V;-1. 1---\21 1 - s \l2 = 1 - '1/2 . Bizonder ~envoudig is het probleem voor 'S ::; \3/ a + b V-::j .1 r voldoet aan x6-2ax3+a 2+3b 2:::::0. Als ~ herleidbaar is dan meet a 2+Jb2 een dePde macht zijn en deze vergelijking normaal. 

Algebraische beschouwingen bij de herleiding van wortelvormen

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

CWI's Institutional Repository