Maugin, G.A.

Michelitsch, T.M.

Nicolleau, F.C.G.A.

Nowakowski, A.F.

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This is a repository copy of Sur une généralisation de l’opérateur fractionnaire.White Rose Research Online URL for this paper:http://eprints.whiterose.ac.uk/87026/Version: Accepted VersionProceedings Paper:Michelitsch, T.M., Maugin, G.A., Nicolleau, F.C.G.A. et al. (1 more author) (2012) Sur une généralisation de l’opérateur fractionnaire. In: Chapelle, D., Dahan, M. and Picart, P., (eds.) Actes du XXe Congrès Français de Mécanique. 20ème Congrès Français de Mécanique Presses universitaires de Franche-Comté , Besançon, France . ISBN 978-2-84867-416-2 eprints@whiterose.ac.ukhttps://eprints.whiterose.ac.uk/Reuse Unless indicated otherwise, fulltext items are protected by copyright with all rights reserved. The copyright exception in section 29 of the Copyright, Designs and Patents Act 1988 allows the making of a single copy solely for the purpose of non-commercial research or private study within the limits of fair dealing. 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Nicolleau31 Université Pierre et Marie Curie, Paris 6Institut Jean le Rond d’AlembertCNRS UMR 7190France2 School of Mechanical, Aerospace and Civil EngineeringThe University of ManchesterRoyaume Uni3 Sheffield Fluid Mechanics Group, Department of Mechanical EngineeringUniversity of SheffieldRoyaume UniNovember 9, 2011paru dans des actes de congrès, CFM11,Besançon, le 20ème CONGRES FRANCAIS DE MECANIQUE DU 28 AOUT AU 2 SEPTEMBRE 2011Communication no. 75.Résumé Cette communication a pour but de proposer une généralisation de la notion de dérivée tradition-nelle afin d’inclure les dérivées fractionnaires comme celles de Riemann-Liouville, Gruenwald-Letnikov, Weyl,Riesz, Caputo, Marchaud et d’autres variantes comme cas particuliers. Nous le démontrons de manière ex-plicite pour la dérivée de Marchaud. Afin de définir cette notion il convient d’employer le calcul d’opérateurslinéaires. La notion de dérivée généralisée est susceptible non seulement de reproduire les dérivées et intégralestraditionelles et fractionnaires mais aussi de définir de nouvelles espèces de “dérivées” qui peuvent être utilespour traiter certains problèmes de mécanique en milieux sans echelles internes (fractals) [2].mots clé: Dérivée généralisée, dérivée fractionnaire, intégrale fractionnaire de Riemann-Liouville, différencefractionnaire, calcul d’opérateurs1 INTRODUCTIONLe but du calcul fractionnaire qui a environ 300 ans est d’appréhender le problème des ordres non-entiers desdérivées traditionnelles. Comme il est bien connu, l’extension de la notion de dérivée aux ordres non-entiersne se fait pas de manière unique. Du coup, il en existe plusieurs variantes. Nous nous référons à l’ouvrageclassique d’Oldham et Spanier [4] et à d’autres auteurs dont nous ne citons que [1, 3, 5, 6].Cette communication a pour but d’introduire une généralisation des notions de “dérivée” et d’“intégrale”afin de mettre en place un outil mathématique permettant d’aborder quelques problémes nouveaux en mécanique∗Auteur correspondant, couriel : michel@lmm.jussieu.fr1des matériaux auto-similaires. Pour cela il convient d’employer l’opérateur de translation T défini parT (h)f(x) = f(x+ h) ,∀x, h ∈ R (1)Pour éviter trop de complications nous nous restreignons ici à des fonctions continues, soit plusieurs foisdifférentiables, soit non-différentiables. On observe que T (h1)T (h2) = T (h1 + h2), h1, h2 ∈ R avec T (0) = 1et T a(h) = T (ah) , a ∈ R. Si f(x) est sufisamment lisse (lipschitzienne) on peut identifierT (h) = ehDx (2)où Dx =ddxdénote la dérivée traditionnelle du premier ordre. Dans cette communication nous construisonsdes opérateurs qui s’appliquent aux fonctions continues remplissant la condition de Hölder [1]:|f(x+ h)− f(x)| ≤ C hδ , 0 < δ ≤ 1 (3)pour x et x+h étant dans le domaine de f(x). C désigne une constante et δ l’exposant de Hölder. Si δ 6= 1 lafonction f(x) n’est pas différentiable et par conséquent (2) n’existe pas. Le cas δ = 1 correspond aux fonctionstraditionnelles dites liptschitziennes.2 Motivation et définition de dérivées et intégrales géneraliséesCet paragraphe est consacré à une généralisation de la notion de dérivée incluant la notion de dérivée frac-tionnaire. Il en résulte un opérateur qui s’applique aux fonctions höldériennes. Pour motiver notre propos,considérons la dérivée d’ordre n entier (n ∈ N0) définie parDnxf(x) = limh→0h−n (T (h)− 1)n f(x) = limh→0h−nn∑k=0(−1)k(nk)f(x− kh) , n ∈ N0 (4)où limh→0 T (nh) → 1 est utilisé. Dans (4) on a utilisé les notations habituelles(nk)= n!k!(n−k)! avec la fonctionΓ définie par1β! = Γ(β + 1) =∫∞0τβe−τdτ , β ∈ R > −1 (5)généralisant β! pour les non-entiers verifiant2 β > −1 et qui donne pour β = n = 1, 2, .. ∈ N n! = Πnk=1k. Larestriction β > −1 assure la convergence de l’intégrale (5). Au vu de (4) la dérivée traditionnelle d’ordre npeut être ré-écrite commeDnf(x) = limh→0g(T (h))g(1 + h)f(x) (6)avec une fonctiong(λ) = (λ− 1)n =∞∑k=0a(k)λk, a(k) = (−1)n−k(nk)(7)où nous ne nous intéressons qu’aux cas non-banals n ≥ 1 ∈ N. Nous dénommons par la suite la fonction g(λ)“fonction constituante” ou en bref la “constituante”. On observe dans l’exemple ci-dessus queg(λ = 1) =∞∑k=0a(k) = 0 (8)A partir de cette observation nous appelons le cas limite1Il nous suffira ici de nous restreindre aux β ∈ R.2Re(β) > −1 si β ∈ C.2Dgf(x) = limh→0g(T (h))g(1 + h)f(x) (9)“dérivée géneralisée”, en bref “dérivée”, si sa constituante satisfait (8), c’est-à-dire si g(λ = 1) = 0 et parconséquent la dérivée généralisée d’une constante est zéro. L’exemple le plus banal de cette notion est biensûr la dérivée traditionnelle du premier ordre ayant la constituante g(λ) = λ− 1. Inversement nous appelons(9) “intégrale généralisée” ou simplement “intégrale” si g(λ = 1) est singulière au point λ = 1 à savoir| limλ→1g(λ) =∞∑k=0a(k)| → ∞ (10)Il s’ensuit que si une constituante g(λ) réalise une dérivée, alors 1/g(λ) réalise une intégrale et vice versa.Pour tous les autres cas où 0 < |g(1)| < ∞, (9) peut être déterminée sans problème donnant le résultatbanal Dgf(x) = f(x). Dans cette communication nous nous restreignons aux cas où la constituante a uncomportement au voisinage de λ = 1 comme une puissance : (λ− 1)c, c ∈ R. Dans ce cas on peut égalementremplacer (9) par Dgf(x) = limh→0 g(1 + [T (h)− 1]/h).D’abord nous donnons une évaluation qui est valable pour les cas où dsdλsg(λ = 1) < ∞, s ∈ N0 et au moinsd’ordre s0 avecdsdλsg(λ = 1) 6= 0. Pour cela nous posonsg(T (h)) = g(λ + T (h)− 1)|λ=1 = e(T (h)−1) ddλ g(λ)|λ=1 (11)ce qui peut être écrit en évaluant l’opérateur exponentiel commeg(T (h))f(x) =∑s=01s!(T (h) − 1)sdsdλsg(λ)|λ=1f(x)= g(1)f(x) + (T (h)− 1)f(x)ddλg(λ = 1) +12!(T (h)− 1)2f(x)d2dλ2g(λ = 1) + ..(12)Par la suite tous les dépendances de h se comprennent dans le cas limite h → 0 (h > 0)3. Au cas où f(x)serait infiniment différentiable on peut remplacer (T (h) − 1)sf(x) = (ehDx − 1)sf(x) = hsDsxf(x). Le caslimite h → 0 de la série (12) est donc déterminé par l’ordre s0 de dérivation de g le plus bas donnant unedérivée non-nulle, soit :dsdλsg(λ = 1) = 0, ∀ 0 ≤ s < s0 (13)c’est à dire que 0 < | ds0dλs0g(λ = 1)| < ∞. Il s’ensuit que l’ordre dominant dans (12) pour h → 0 est doncl’ordre s0g(T (h))f(x) =1s0!(T (h) − 1)s0f(x)ds0dλs0g(λ = 1) + .. (14)etg(1 + h) =hs0s0!ds0dλs0g(λ = 1) + .. (15)afin d’arriver àDgf(x) = h−s0(T (h)− 1)s0f(x) =ds0dxs0f(x) (16)qui n’existe qu’au cas où f serait s0 fois differentiable de manière continue. (16) est valable si |dsdλsg(λ = 1)| <∞, ∀s ∈ N0. On se rend compte que l’opérateur Dg de (16) est local, il agit seulement sur f(x) au point x.3Sans que ”h → 0” soit toujours explicitement écrit.3Toutefois, la localité de l’opérateur Dg n’est pas conservée si la constituante g possède des dérivées singulièresau point λ = 1, c’est-à-dire s’il existe un ordre s1 tel que|dsdλsg(λ → 1)| = ∞ , s ≥ s1 = 0, 1, 2, .. ∈ N0 (17)et | dsdλsg(λ → 1)| < ∞ si s < s1. Dans ces cas (9) devient non-local. La briéveté qui s’impose pour cettecommunication, nous oblige à démontrer seulement que les dérivées fractionnaires sont également comprisesdans la notion de dérivée généralisée (9). Supposons la constituanteg(λ) = (λ− 1)α , 0 < α < 1 (18)avec l’exposant α non-entier. Pour 0 < α < 1 la constituante (18) appartient à la catégorie (8) et parconséquent (9) s’écritDgf(x) = h−α (T (h)− 1)α f(x) (19)par définition d’une dérivée4 fractionnaire [4]. Nous supposons que la fonction f(x) est choisie telle que(T (h)− 1)α produise une série convergente soitDgf(x) = Dαxf(x) = h−α∞∑k=0(−1)k(αk)f(x− kh) (20)où nous avons utilisé le fait que (T (h)− 1)α = T (αh)(1 − T (−kh))α = (1− T (−kh))α car T (hα) = 1 dans lecas limite h → 0. On tient compte de la décomposition T (−hk) = (T (−h)− 1 + 1)kT (−kh) =∞∑s=0(ks)(T (−h)− 1)s (21)Or il convient d’abord d’évaluer la série d’opérateursS(k0, h) =k0∑k=0(−1)k(αk)T (−kh) =∞∑s=0k0∑k=0(−1)k(αk)(ks)(T (−h)− 1)s (22)qui peut être ré-écrite commeS(k0, h)f(x) =∞∑s=0As(k0)(T (−h) − 1)sf(x) (23)et avecAs(k0) =k0∑k=0(−1)k(αk)(ks)= (−1)k0(α− (s+ 1)k0 − s)(αs)=−αs− α(−1)k0(α− 1k0)(k0s), s = 0, 1, 2, .. ∈ N0(24)Alors on trouve pour (23)S(k0, h)f(x) = (−1)k0(α− 1k0)f(x) +∞∑s=1As(k0)(T (−h) − 1)sf(x) (25)En vue de (20) nous sommes surtout intéressés par les représentations asymptotiques pour k0 ≫ 1 à savoir(α− 1k0)(−1)k0 =(k0 − α)!(−α)!k0!→k−α(−α)!, k0 ≫ 1 (26)4Si α < 0 g est du type (10) et dans ce cas (19) définit une intégrale fractionnaire.4et(k0s)→ks0s!, k0 ≫ 1 (27)où (−α)! est défini par (5). Pour k0 ≫ 1 on a doncAs(k0) →−αs− αks0s!k−α(−α)!, s = 0, 1, 2, ..∞ (28)où il faut distinguer les cas s = 0 et s > 0 soit5As(k0) =−α(s − α)ks−α0(−α)!s!=k−α0(−α)!s = 0∫ k00kss!(−α)k−(α+1)(−α)!dk s ≥ 1(29)Il s’ensuit queS(k0, h) = A0(k0)f(x) +∞∑s=1As(k0)(T (−h) − 1)sf(x) (30)La relation (30) est valable aussi pour les fonctions non-différentiables (höldériennes), voire pour les fonctionsnon-continues. Ici, il nous faut rendre compte du caractère de la fonction f : si f(x) est infiniment différentiable(lipschitzienne), on peut poser T (−h) = e−hDx et dans le cas limite h → 0 on peut poser (T (−h)− 1)sf(x) =(−1)shsDsxf(x). En tenant compte de (29) on obtient, pour k0 ≫ 1, en introduisant la variable continue0 ≤ τ = hk ≤ τ0 = hk0 :S(k0, h) = hα{τ−α0(−α)!f(x) +∞∑s=1(−1)sDsxf(x)∫ τ00τ ss!(−α)τ−(α+1)(−α)!dτ}(31)On s’aperçoit que la somme à partir de s = 1 est une convolution de la série de Taylor de f(x − τ) − f(x).On peut donc ré-écrire (31) commeS(k0, h) = hα{τ−α0(−α)!f(x) +∫ τ00(f(x− τ)− f(x))(−α)τ−(α+1)(−α)!dτ}(32)(32) est valable pour k0 ≫ 1 avec τ0(h) = hk0. Le cas limite h → 0 de (32) qui détermine (20) dépend duchoix de τ0(h) à condition que k0 ≫ 0. Il faut souligner que dans (31), (32) la séquence des processus limitesjoue :limh→0(limk0→∞S(k0, h))6=(limh→0S(k0(h))), avec limh→0k0(h) → ∞ (33)Pour cette raison, il y a autant de définitions différentes de la dérivée fractionnaire dans la litérature (e.g.[4]).Considérons le cas du membre gauche de (33) à savoir k0 → ∞ alors que h est infinitesimal et fixe. On adonc dans ce cas toujours comme limite supérieure d’intégration τ0 = hk0 → ∞ dans (32) et on obtientDαxf(x) = h−αS(k0 = ∞, h) =∫∞0(f(x− τ)− f(x))(−α)τ−(α+1)(−α)!dτ (34)qui peut être ré-écrit commeDαxf(x) =(−α)(−α)!∫ x−∞(x− t)−(α+1) (f(t)− f(x)) dt (35)5A remarquer A0(k0 → ∞) = 0 étant une conséquence de (8) et et As(k0 → ∞) = ∞ pour s > 0.5Les expressions (34)-(35) sont connues comme dérivées fractionnaires de Marchaud6 (Eq. (12) dans [1]). Onse rend compte que (34) n’existe qu’aux cas où |f(x − τ) − f(x)| se comporte pour τ → 0 comme Cτ δ avecδ > α, c’est-à-dire si f(x) est höldérienne, son exposant doit être tel que 0 < α < δ ≤ 1 où le cas δ = 1correspond aux fonctions traditionnelles lipschitziennes. On a la proprieté désirée que Dαx (const) = 0. Acondition que f(x) soit une fois différentiable, on arrive àDαxf(x) = Dα−1x (Dxf(x)) = Dx(Dα−1x f(x)) = Dx∫∞0τ−α(−α)!f(x− τ)dτ (36)où l’intégrale correspond tout à fait à ce qu’on déduit pour Dα−1x f(x) à partir de (9)7. Afin d’obtenir (34),(35), on a supposé que f(x) remplit les conditions suivanteslimτ→0|f(x)− f(x− τ)| ≤ C0(x)τδlimτ→∞|f(−τ)| ≤ C∞τβ(37)avec β < α < δ ≤ 1. Les relations (34), (35) sont donc plus générales que (36) qui exige que f soit une foisdifférentiable et par conséquent δ = 1. Nous rappelons que nous avons toujours supposé que 0 < α < 1. Onobserve que f(x) = eλx (λ > 0, pour la convergence8) est une fonction propre de l’opérateur Dαx à savoirDαxeλx = h−α(1− T (−h))αeλx = h−α(1− e−hλ)αeλx = λαeλxDαxeλx = λαeλx∫∞0t−α(−α)!e−tdt = λαeλx(38)Le fait que eλx, qui est fonction propre de l’opérateur de translation T (−h)eλx = eλ(x−h) = e−hλeλx, resteaussi une fonction propre de Dαx de (35), (36) réside dans le fait que ces deux opérateurs agissent dans lemême espace de fonctions défini sur le domaine −∞ < x < ∞9.3 ConclusionsNous avons introduit le concept d’une dérivée (et intégrale) généralisée qui est susceptible de reproduire lesdérivées fractionnaires, ce que nous avons démontré à l’aide de la dérivée fractionnaire de Marchaud (eqs.(34)-(36)). De telles dérivées peuvent être définies par des cas limites à partir de la relation (9) ou pardes relations semblables légèrement modifiées. Dans certains cas on déduit des convolutions permettant decapturer des effets non-locaux dans l’espace ou dans le temps. Par exemple, ce concept permet d’abordercertains systèmes mécaniques comportant des interactions inter-particulaires à longue distance comme il s’enproduit dans les milieux ayant une microstructure sans échelle (auto-similaires) [2].References[1] B. Ross, S.G. Samko, E. Russel Love, Functions that have no First Order Derivative might have Fractional Derivatives ofall Orders Less than One, Real Analysis Exchange 20(2) (1994/5), 140-157.[2] T. M. Michelitsch, G. A. Maugin, F. C. G. A. Nicolleau, A. F. Nowakowski, and S. Derogar, Dispersion relations and waveoperators in self-similar quasicontinuous linear chains, Phys. Rev. E 80, 011135 (2009).[3] Miller, K. S. and Ross, B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. New York:Wiley, 1993.6Malheuresement il existe une certaine confusion sur cette dénomination dans la litérature. Nous avons adopté celle de [1],mais on devrait y trouver des dénominations différentes.7Dans notre classification Dα−1x f(x) est une intégrale car α− 1 < 0 et correspond à l’intégrale fractionnaire d’ordre α− 1 deRiemann-Liouville [3].8Re(λ) > 0 si λ ∈ C.9Ce fait se traduit par la commutativité des deux opérateurs T (h) et Dαx .6[4] Oldham, K. B. and Spanier, J. The Fractional Calculus: Integrations and Differentiations of Arbitrary Order. New York:Academic Press, 1974.[5] Riesz, Marcel (1949), L’intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy, Acta Mathematica 81: 1223,doi:10.1007/BF02395016, MR0030102, ISSN 0001-5962.[6] S. Samko, A. Kilbas and O. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach,London (1993).7

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