Leve, G. de

Leve, G. (Gijs) de

CWI's Institutional Repository

stichting mathematisch centrum AFDELING MATHEMATISCHE BESLISKUNDE BO 3/73 G. DE LEVE BESLISKUNDE, WAT IS DAT? OKTOBER 2e boerhaavestraat 49 amsterdam 1~uoTHEEK MATHeMt•;llSCl-'l AMSTERD,\w.l Cl'.iN'i'RUM BESLISKUNDE is de studie die zich bezighoudt met het streven om beslis-singsproblemen op zodanige wijze te vertalen in wiskundige problemen, dat de oplossing van de wiskundige versie van het beslissingsprobleem na terugvertaling de gevraagde beslissing of strategie oplevert. Alhoewel het tijdstip waarop voor het eerst besliskunde werd bedre-ven, moeilijk is te bepalen, kan men toch wel zeggen dat de besliskunde zijn opkomst dankt aan de gecompliceerde beslissingsproblemen, waarvoor men zich in de Tweede Wereldoorlog gesteld zag. Hierbij kan gedacht wor-den aan militaire problemen, zoals de bepaling van de optimale omvang van een konvooi van schepen en het opstellen van optimale strategieen bij het opsporen van onderzeeboten. Na de Tweede Wereldoorlog bleek de ont-wikkelde benaderingswijze ook goed bruikbaar voor het oplossen van tal van beslissingsproblemen op het gebied van het beheer en de produktie. In de besliskunde onderscheidt men twee typen van beslissingssitua-ties. Beslissingssituaties waarin van de beslisser wordt verwacht dat hij slechts een enkele beslissing neemt, leiden tot zgn. een-stapsbeslissings-problemen. Er zijn daarentegen ook beslissingssituaties waarin de beslis-ser in een al of niet begrensd tijdinterval een reeks van min of meer op elkaar afgestemde beslissingen moet nemen. De oplossing van deze meer-stapsbeslissingsproblemen wordt gegeven door een strategie; d.i. een be-slissingsvoorschrift dat voor ieder tijdstip vaststelt of de beslisser een beslissing moet nemen, en zo ja, welke dit zal zijn. Het vertalen van een beslissingsprobleem in een wiskundig probleem is onverbrekelijk verbonden aan het construeren van een wiskundig model van de te beschouwen beslissingssituatie. In een dergelijk model wordt de onderlinge samenhang en de evolutie van de verschillende voor de beslis-singssituatie relevante factoren op wiskundige wijze beschreven. Bij de beschrijving wordt gebruik gemaakt van kennis die, hetzij door de basis-wetenschappen, zoals economie en wiskunde, wordt verschaft, hetzij uit beschikbare gegevens wordt gedistilleerd of uit waarnemingen wordt ver-kregen. Bovendien berust het wiskundige model op veronderstellingen die 2 op het eerste gezicht redelijk lijken en niet op grond van de zojuist ge-noemde kennis dienen te worden verworpen. De kansrekening en de mathema-tische statistiek spelen een belangrijke rol bij het opstellen en testen van het wiskundige model. Een belangrijk punt bij de constructie van het wiskundige model is de keuze van het kriterium voor het onderling vergelijken van beslis-singen en strategieen. In veel beslissingsproblemen houdt het kriterium nauw verband met de gemiddelde kosten per tijdseenheid; bij sommige pro-duktieproblemen zou men bijv. als kriterium het aantal produktiewijzi-gingen per tijdseenheid kunnen kiezen. Belangrijk is deze keuze van het kriterium, omdat de structuur van het kriterium dikwijls bepalend is voor de vraag of de wiskundige versie van het beslissingsprobleem al of niet met de huidige kennis en hulpmiddelen kan worden opgelost. In de praktijk betekent dit dat vereenvoudigingen in het model moeten worden aangebracht. Uiteraard moet dan worden nagegaan in hoeverre deze vereenvoudigingen het antwoord bepalen. Zowel nieuwe gegevens als onaanvaardbare "optimale" be-slissingen leiden tot verwerping van het bestaande model en dus tot het opstellen van een nieuw. Een groot deel van de besliskundige research heeft betrekking op het oplossen van speciale typen van wiskundige problemen. Dit onderdeel van de besliskunde wordt wel eens aangegeven met de naam mathematisahe besZis-kunde. Ieder besliskundig onderzoek begint met een inventarisatie van moge-lijke beslissingen of strategieen. Om de effecten van deze beslissingen en strategieen op wiskundige wijze te kunnen besttideren, dient de beslis-singssituatie voldoende kwantificeerbaar te zijn. Aangezien in beslissings-situaties het doen van experimenten veelal is uitgesloten, komen alleen die situaties voor een besliskundig onderzoek in aanmerking, waarvoor geldt dat het vereiste model een doorzichtige structuur bezit. Dit zijn dan ook de redenen waarom besliskundige technieken tot dusver voornamelijk hun toepassing vonden bij het oplossen van bedrijfsproblemen. In principe be-perkt de toepassing van besliskundige technieken zich echter niet tot een of meer probleemgroepen. Bij een-stapsbeslissingsproblemen start de wiskundige modelvorming met het wiskundig beschrijven van de mogelijke besUssingen. Het is ge-bruikelijk om een beslissing, waaraan n kwantitatieve aspecten te onder-scheiden zijn, aan te geven door een vector x met n componenten 3 (x1,x2, ••• ,xn). In een mengprobleem bijv. stellen deze componenten de frac-ties van den samenstellende grondstoffen voor. Ook niet-kwantitatieve be-slissingen laten zich dikwijls door vectoren weergeven. Zo kan de vector x=(0,1,0) uitdrukken dat de machine 2 wel (x2=I) en de machines I en 3 niet (x1=x3=0) warden gebruikt bij de komende produktie. Uit de voorgaan-de toelichting volgt dat sommige componenten van de beslissingsvector al-leen geheeltallige waarden mogen aannemen. De verzameling van indices j waarvoor x. geheel moet zijn, wordt in het hiernavolgende steeds aange-J duid met G. Omstandigheden, al dan niet typerend voor het beslissings-tijdstip, beperken veelal de keuzemogelijkheden. Voor het bovengenoemde mengprobleem moet in ieder geval gelden: maar misschien ook x 1 + x2 + .•• + xn = I x. :::: 0 J (j=l,2, •.• ,n), wanneer het mengsel hoogstens een fractie b aan ruwe celstof mag bevatten en voor de samenstellende grondstoffen deze fracties volgens recente ana-lyses a. (j=I,2, ••• ,n) bedragen. Andere kwaliteitseisen leiden tot soort-J gelijke voorwaarden. In het wiskundige model wordt de verzameling van toegeZaten besZis-singen X gegeven door gelijk- en ongelijkheden van bovenstaand type waaraan de componenten van de beslissingsvector moeten voldoen. Het op-stellen van deze_relaties vormt dikwijls het moeilijkste onderdeel van de modelvorming en vraagt enige oefening. Zo zal de formulering van het wis-kundig equivalent van de voorwaarde:"de grondstoffen 1 en 2 mogen dan en slechts dan beide in het mengsel voorkomen als de fractie van grondstof 3 grater dan of gelijk is aan die van 411 wel enige moeite opleveren. In het wiskundig model wordt deze voorwaarde gegeven door: 4 (n+l ,n+2,n+3 € G), waarbij xn+l'xn+Z en xn+3 nieuwe componenten zijn. (Gana: x 1 > 0 en x2 > 0 ➔ ➔ xn+l = xn+2 = 1 ➔ xn+3 = 0 + x3 ~ X4.) Om een keuze te kunnen maken uit de verzameling is een Ja,iterium vereist. Als voor grondstof j de kosten per eenheid c. bedragen dan kan J wellicht de functie als kriterium dienen. In het algemeen is het optimaliteitskriterium een functie K(x1,x2, ••• ,xn) van de componenten van de beslissingsvector x. De wiskundige versie van het een-stapsbeslissingsprobleem luidt nu als volgt: "Bepaal het maximium (minimum) van k = K(x1,x2, ... ,xn) onder xEX en x.=geheel als jEG." J De studie gericht op het oplossen van problemen van dit type heet mathematische programmering. Als alle definierende functies lineair zijn en de verzameling G leeg is, dan spreekt men van Zineaire prograrrorzering (lp). Vele toewijzings-, produktie-, transport-, maar ook financieringsproblemen laten zich vertalen als lp-problemen. Kortom, problemen waarin schaarse middelen als kapitaal, capaciteiten, arbeid etc. zodanig benut moeten war-den dat de winst maximaal is of de kosten minimaal zijn. Zowel voor de al-gemene versie (de simple:xmethode) als voor lp-problemen met een speciale structuur zijn algoritmen ontwikkeld, die problemen van grate omvang in een redelijke tijd kunnen oplossen. De wiskundige achtergrond van deze me-thoden wordt gevormd door de lineaire algebra. Minder gunstig is de situa-tie als de verzameling G niet leeg is. Naar gelang de verzameling Galle 5 of een deel van de indices bevat wordt de desbetreffende studie geheeZtaZ-Zige- of gemengde prograrrmering genoemd. Technieken (snedemethoden), die uitgaan van de algemene probleemstelling,zijn tot dusver niet zo succes-vol geweest. Vandaar dat het onderzoek thans veel meer gericht is op veel voorkomende structuren (branch and bound methoden). Bij de beschrijving, van de beslissingssituaties kan dikwijls met succes gebruik gemaakt worden van begrippen uit netwerkanalyse en de grafentheorie. Daar vele beheers-en bedrijfsproblemen,waaronder (machine)volgorde-, vervoers-, indelings- en planningsproblemen,slechts vertaald kunnen worden in gemengde lp-proble-men, is dit onderzoek zeer intensief. Veel minder talrijk, maar daarom niet minder belangrijk, zijn de pro-blemen die g~definieerd moeten worden met behulp van niet-lineaire func-ties. Ook voor het niet-Zineaire programneringsprobZeem zijn oplossings-technieken bekend. De meeste echter leiden slechts onder zeer speciale omstandigheden tot een optimum. De besliskundige aanpak van een een-stapsbeslissingsprobleem leidt niet alleen tot een optimale oplossing, maar verstrekt bovendien nuttige informatie over tal van zaken zoals het verband tussen maximale winst en de beschikbare capaciteit of de gevoeligheid van de gevonden oplossing met betrekking tot de vaak nogal wisselende kosten en prijzen. Het is dikwijls deze secondaire informatie die een besliskundige aanpak zo waardevol maakt. Met enige goede wil kan men stellen dat in ieder meer-stapsbeslis-singsprobleem van de beslisser verwacht wordt dat hij een proces bestuurt. Zo'n proces, waarin kosten worden gemaakt en/of opbrengsten worden verkre-gen, speelt zich bijvoorbeeld af rond een voorraad, machine of rij wach-tenden voor een loket, kortom rond een systeem. De verschillende toestan-den waarin het systeem zich kan bevinden, laten zich wiskundig beschrijven met behulp van een (toestands)vector s. Wanneer de beslisser zich afzijdig houdt en desondanks het systeem in de loop der tijd van toestand verandert, zegt men dat het systeem onderworpen is aan een natu.UPZijk proees. Een na-tuurlijk proces wordt wiskundig gegeven door de (kansverdeling van de) toe-standen op toekomstige tijdstippen. Een en antler zullen wij nader toelich-ten met het volgende beeld. Laat s de omvang (toestand) zijn van een voor-raad (systeem) die door verkopen op ongeregelde tijdstippen afneemt (na-6 tuurlijk proces). Elke maandagmorgen (beslissingstijdstip) wordt na~egaan of de voorraad moet worden aangevuld en, zo ja, met hoeveel (beslissing). •· De maximum voorraad stelt een bovengrens aan de omvang van de bestelling (verzameling van toegelaten beslissingen). Uit bovenstaand beeld volgt dat de toelaatbaarheid van een beslissing x mede bepaald wordt door de toe-stand s van het systeem op het beslissingstijdstip. De verzameling van toe-gelaten beslissingen wordt derhalve aangeduid met X(s). Beslissingen bren-gen in het algemeen toestandsveranderingen met zich mee. Het begrip toe-stand dient derhalve zo ruim gekozen te zijn, dat de nieuwe toestand na de beslissing kan worden aangegeven. Als in bovenstaand beeld de bestelling onmiddellijk wordt afgeleverd, is de nieuwe toestand wederom een (toegeno-men) omvang van.de voorraad. Is daarentegen aan een bestelling een lever-tijd verbonden, dan moet hoogst waarschijnlijk aan de toestand bovendien afgelezen kunnen worden hoeveel goederen nog op bestelling wachten en wel-licht ook wanneer de desbetreffende orders zijn afgegeven. In voorraadpro-blemen waarin nageleverd mag worden, als de voorraad ontoereikend is, kan men veelal volstaan met het geven van de economische voorraad (voorraad + hoeveelheid in bestelling). In de eerste fase van de modelvorming kiest men de toestand zelden juist. ~en eerste analyse van het mathematisch beslis-singsprobleem leert de beslisser pas welke informatie op het beslissings-tijdstip strikt nodig is. Doordat de toestand op elk beslissingstijdstip uiteindelijk afhangt van de beslissingen die in het verleden zijn genomen, zal men zonder reke-ning te houden met latere beslissingen zelden optimaal handelen. Uiteraard zal de beslisser zowel op van te voren vastgestelde als op vrij te kiezen beslissingstijdstippen zijn beslissingen baseren op de dan geldende toe-stand s' van het systeem. Welk fvr.Uw.um hij ook kiest, de oplossing zal de vorm hebben van een -hierboven reeds omschreven- strategie, die wiskundig wordt weergegeven door de functie x=z(s). In het bovengenoemde voorraadpro-bleem is de volgende strategie denkbaar (x=bestelling, s=voorraad,M1= maxi-male voorraad): Ml - s als s :S -v 0 M - s als - V < $ :S Vt z (s) 2 .. 0 X = = M -3 s als Vt < s :S v2 0 als v2 < s :S Ml, waarbij de getallen M2, M3, v0 , v1 en v2 de toe te passen strategie z be-palen. Het is duidelijk dat, als een strategie wordt toegepast, het natuur-lijk proces vanwege de extra toestandsveranderingen niet meer geeigend is om de ontwikkeling in de toestand van het systeem te beschrijven. Deze taak wordt nu overgenomen door het besZissingsproaes, dat overeenkomstig het natuurlijke proces wordt gedefinieerd. Het kriterium zelf is een functie K(s';z) van de huidige toestand s' en de toe te passen strategie z. In het algemeen is de optimale strategie * z optimaal voor iedere begintoestand s'. De wiskundige versie van het meer-stapsbeslissingsprobleem luidt nu als volgt: "Bepaal voor de begintoestand s' die functie x=z(s) waarvoor k=K(s';z) maximaal (minimaal) is onder de voorwaarde z(s) e: X(s)." 7 Als het kriterium de (verdisconteerde) totale (verwachte) kosten aan-geeft, kan met behulp van dit kriterium bepaald worden hoeveel het de be-slisser waard is om niet s' maar s" als huidige toestand van het systeem te hebben. Dankzij dit waardeverschil, K(s' ;z) - K(s";z) kan bijv. worden nagegaan of het misschien voordelig is een deel van de voorraad elders on-der de prijs te verkopen. Ook kan worden vastgesteld of de machine thans in gebruik misschien beter kan worden vervangen door een toevallig aangebodene. Als K(s;x) de gemiddelde kosten per tijdseenheid aangeeft, dan kan een functie V(s;x) worden bepaald met de hierboven gegeven eigenschappen. Van deze secondaire informatie kan dikwijls nuttig gebruik gemaakt worden. Heeft de toestandsvector niet meer dan drie componenten, dan is menig meer-stapsbeslissingsprobleem hetzij analytisch hetzij numeriek op te los-sen. Voor iedere strategie wordt de kriteriumfunctie K(s;z) en V(s;z) ge-vonden door het oplossen van een stelsel functionaalvergelijkingen in K(s;z) en V(s;z). Voor het opstellen van deze vergelijkingen is dikwijls enige kennis van de kanstheorie vereist. De zgn. strategie-verbeterings-8 method.e stelt voor iedere strategie z vast of z optimaal is, en, zo niet, dan wijst zij een strategie aan die beter is. Op deze wijze ontstaat een rij van strategieen {z; n = 1,2, ••• } die onder zekere voorwaarden conver-n geert naar de optimale strategie z • De studie, die gericht is op het op-lossen van meer-stapsbeslissingsproblemen, heet dynamisahe programmering., Een groot aantal voorraad-, vervangings-,en produktieproblemen kan met be-hulp van een dynamische programmeringstechniek worden aangepakt. Wachttijdproblemen worden dikwijls ten onrechte gerekend te behoren tot het terrein van de besliskunde. Indien echter door het toekennen van prioriteiten aan de wachtenden de verwachting van de totale wachttijd moet worden geminimaliseerd, dan ontstaat wederom een meer-stapsbeslis-singsprobleem. In de praktijk is men veelal tevreden met goede in plaats van opti-male beslissingen. Indien een wiskundig model van de beslissingssituatie is geconstrueerd, kan men vaak met behulp van een rekenautomaat nagaan wat de consequenties zijn van een voorgestelde beslissing of strategie (simula-tie). Door het aanbrengen van wijzigingen in.de beslissing of strategie kan men dan trachten eventuele tekortkomingen op te heffen. Door eerst deel-problemen op te lossen en daarna door "sleutelen en testen" de resultaten te combineren kunnen op deze wijze voor een aantal beslissingssituaties aanvaardbare beslissingen of strategieen worden verkregen. Deze aanpak vraagt meer kunst dan kunde. De besliskunde beslaat een groot deel van de activiteiten die men in de Verenigde Staten aanduidt met operations research en management saienaes. De grenzen met bijvoorbeeld de econometrie en de cybernetica zijn niet scherp afgebakend. BesZiskund.e in het bedrijf In het bedrijf wordt naast de term besliskunde vaak de Amerikaanse benaming operations research gebruikt. Volgens velen houdt de operations research zich niet alleen bezig met het vraagstuk van de keuze van de optimaZe beslissing, doch wenst zij bovendien een bijdrage te leveren tot de verbetering van de beslissingsvoorbereiding. Operations research beoogt. in de eerste plaats de beslisser een kwantitatief inzicht te geven in de 9 structuur van de beslissingssituatie en hem vervolgens die instrumenten te verschaffen welke bij de keuze van de beslissing te pas knnnen komen • . Operations research is bijgevolg veelzijdiger dan de besliskunde zo-als deze hierboven is gedefinieerd. Ze heeft dan meer het karakter van een speciale benaderingswijze van het beslissingsprobleem; een benaderings-wijze die gernspireerd is door de successen die zowel in de natuurweten-schappen als in de daarmee verwante 'engineering sciences' behaald zijn. In het bedrijf wordt aan de besliskunde (operations research) vaak deze ruimere betekenis gegeven; daar omvat de term dus ook activiteiten die behoren tot de werkterreinen van andere wetenschappen in zoverre zij zich met de besluitvorming bezighouden, zoals bedrijfseconomie, sociale economie, sociologie, psychologie, statistiek en technische wetenschappen. Met het oog op de praktische toepassing is dus niet exact te formuleren welke van deze activiteiten wel en welke niet tot de bedrijfsbeslisknnde gerekend moeten warden. 

Besliskunde, wat is dat?

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

CWI's Institutional Repository