Berghuis, J.

Dutch

NARCIS 

Berekening van de coefficienten van de asymptotische ontwikkeling van de functie

CWI's Institutional Repository

STICHTING MATHEMATISCH CENTRUM 2e BOERHAAVESTRAAT 49 AMSTERDAM Zi·! 1951 - 007 Voordracht in de serie Actualiteiten J. Berghuis 28 april 1951 Berekening van de coefficienten van de asymptotische ontwikkeling -~ n van de functie Q( z) = Ln __ z ___ _ 0 µ TtTr(a.n+S.) 1 l. J. 1951 MA~H™ATISCB' , 2de Boerhaavest:r.. , 1951 - 007., Amsterdam - 0. Voordracht door J. Actualite " Berekeni!lfL_yan ~~f:icienten van de as;vnptot ische ontJ!i,kke ligg VJlll...~4.e .... fUJ:.?..£.tie ,,,,. .n{z)= 'F .. 0 Inleiding .. Het doel van dit rapport is de asymptotische ontwik1celing van d::: gehele functie (O,O) .0. (z)= ,E __,,__z_n __ _ f f- > 0 Re(~ i) > 0 af te leiden en wel speciaal de coefficienten dezer ontwikkeling. Daartoe begin ik met defunct Re(ot,)>0 asymptotisch voor te stellen met behulp van de residuenrekening en probeer dan hetzelfde te doen met de fUnctie (0,2) hetwelk lukt, dank zij het door Wright gepubliceerde artikel "The asymptotic expansion o:f the generalized Besselfunction", Proceeding:s of the London Mathematical Society t Ser 21 2§ ( 257-270) .. De coefficienten zijn te berekenen, zelfs is dit in principe nog mogelijk voor de :functief2(z), m.aar practisch is het ondoenlijk. Het bezwaa.r dezer methods is dat zij niet symmetrisch is in de «1 's of de ~i •s, terwijl het duidelijk is dat dit met de coeffi-cienten wel het geval moet zijn. De symmetrische weg ~eef ik dan tenslotte aa.n; deze bestaat uit toepassing van de be~:encle ontwikke-ling van Stirling voor T1 (x), f xf voldoende groot en het korte tijd geleden verschenen rapport van J .H.B. Kemperman 11.1\s;t,':".'J:-i"CO-tische ont-wikkeling van gehele :functies, die door machtreeksen gecefinieerd zijn". De stellingen uit d:i.t rapport ma.ken het mog<:1ltik 1 aangezien t1ij functies van aanmerkelijk hogere orde toe la ten da, C'.e oorspron-kelijke van W .. B .. Ford afkomstige stellingen ( zie 11 The :~.:,ymptotic De,relopments of Funotions defined by Ma.cLa.urin-series). - 2 -.l• De :tunctie '!':~ z) • Stelling l. Voor waarden van z met \ z/ groot :tr::'1t}~ is de gehele functieo/(z) gelijk aan ( 1,1) [{1,1 28 de sommatie Jr slechts genomen wordt over die van k wa.arvoor \arg Zk I ~ rr en 38 4(z) een functie is welke gelijk is O(z-N). (Zie E.M. Wright, 1940. The asymptotic expansion of integral functions defined by Taylor series,. Phil.Trans.Royal Society, London A 238 {423-451) .. t , II Bewijs: In het volgende stel ik ot 1 =o( 1+!'.0'1 en is C een contour, beginnend en eindigend in -do , het nulpunt positief omlopend. Verder is de negatieve reele as een snede. Gebruikmakend van de integraalvoorstelling {1,3} Ff;r = 2!1 1 eu u-wdu • gaatt(z) over in (1,4) '\11 <z)= -21 . E r rr i .. Men mag in (1,4) sommatie en integratie verwisselen, indien volda.e.n is aa.n " - ol., arg u e (0 < 8 ~ 1) voor elk punt u o:p c .. Vervorm nu C zodanig dat de cirkel 1 [ 0-1 rr ex,"] 1 lut = lzl e c7. I geheel binnen C ligt en men vindt 1, -f31+d.1 ( 1, 5 ) r ( z) = 2~i .· e u · u o<, du t u - z De integrand is analytisch met uitzondering van u:::ii ~:·1 de punter,. u wa.arvoor geldt u«, = z .. Deze laa.tste liggen allen bjn"'len r:. t,angezien de negatief reele as een snede is, komen slechts di·-: Y"lc:i_en a3.n--merking1 waarbij (1,6) o:f (1,7) Trek ik nu het z-vlak: (l,8) en (l,9) -' .... k geteel I l~,\2 } c(; ( arg z + k 2 7r )- o<," log lzq 1f ·rr Cop de negatief re~le as smen, dan gaa.n ~e apiralfln in I z - o( 110g zl· == rr \ol~- ot' k 2 7t"' } le geheel ex, arg I z - ot,"qlog zf == - TC let, f-«1k 2ir «,arg een bijzondere rol spelen. Beperk z tot een sptraalvorraig gebied C, ingesloten door een lijn van het type (10) en een van het type (11), gekenmerkt resp. door k en k 1 , zodanig dat er gecn andex-e spiraleu in het binnengebied bevat zijn. De ra~d wordt meegarekend. Ligt z precies op de rand, dan breng ik de snede iets om de pool op de negatief bestaanbare as heen, en wel, indienz ligt op een spiraal van bet type (10) er onder langs, anders er boven. Na deze voorbereidingen trek ik C samen op een nieuwe weg D lopend op int'initesimale afstand van de snede en vind: )i;"' zk 1-~1 l 1 u u-~14()(1 (l,10) '\lt(z)= -t1 .c._ e z. + 2iii e • - .. - du .. T k rc1 D uct. -z Vero.er gebruikend: N i = -E UC/.1 -z I gaat de (1,11) (n-l}oc 1 u Notl u - 7f"' z l ec, z-u De stalling is dus be'4ezen, eod:ra a.angetoone is, dat voor z e S en \zl-o:, de integraal in (1.11) gelijkm.atig tot nul midert. Ik voer da.a.rtoe in (l,12) Arg z = lczy, [ ci,' arg z - ct:log iztJ en het gebied$kan dan aangegeven worden a.ls vol.gt ,J,' ' (1.1,) -re.- L./ll .k.27r ~ Arg z s ff- r:J.., k: ;,·,r, ~J jc:,,t,f Verd.er geldt voor alle waarden welke voldoen a.an u = ~ '-, (l,14) iJx arg z 1 = Arg I ex:, z- -I ,z, c,(,l .2 n:m f "i "' t c- k "' <'!! -< · 1 · { ;ir «, n-- ) u ,; evens een v ge ozen! v < c;.," r,in -;r , -1 11 1 " " ,1 o{II (m gchoel) Dan kan ik voor elke waarde van Arg z uit S de wes D omvorl1len tot D', lopende als aangegeven in de figuur op het Riemannse op"Oervlak van de integr?.nd 1 zodanig da.t D1 asym-ptotisch raaki; ar'.,n 2 lij-nen, wier hoeken met de negatief besta.anbare as <f, en f.,. voldoen aan de betrekkingen lfd" ~ o1.' j fi- - Arg z + 1C(:r 2 n- m j ~ l } i = 1,2. Wegens Arg u ,:,1, = arg u, correspondeert nu met a.rs u = const oe1:. spire.al Arg u«':::const. De voerstralen, welke overgr.a.n 1 ir. oen !3elfde spiraal hebben dus een argument gelijk a.an arg u .1. -1:;;.:. 2rr m mot m geheel. Voor u op Dt en Arg z constant liggen u e1., en z 01: spir~~len met een verschil in Arg ~ f. of voor lzl > R geldt, dat } u«-1 ... zJ > R' met R' en R positief, zodenig, dat R' onbegrensd aangroeit met R. Dus voor z€ S na.dert de integraal in (1,11) gelijkmatig tot nul en is de stelling bewezen. Opmerking: Deze ontwikkeling is een speciaal geval van theorema 1 van Kemperman. Kies nl.. g( w)= r( 1 . ) w+p, dan is F(z)= > g('!l.}Zn = ez z l-,Sl + tr{lzl hf ~ Voor Re (ti< 1 ) > 0 en een p geheel ): 0 is er een 'l'lr zcdenig dat voor \arg sl&,j < (? n: de functie ~ G(z)= E 00-g(c<",'Tt)Zn = ~ TTo<~~+p1J gelijk :ls nan t,} waarin . [ -h ] ~ = crcos~ " Ik krijg dus weer de ontwikkeling (1,1). - 5 -. De functie X (z_l. Met behulp van de zadelpuntsmethode bewees Wright in zijn in de inleid1ng vermelde publicatie: Voor A> 0 kan ( 2, 1) eo n G(A,f,z)= 1;. r(n+l);(An+f) asymptotisch voorgesteld worden door l 1 """f -,-2:ii"f .u. C, exl;'.)(u+ -&.)au A u (2, 2) c'e zm z-f+½ { LE. C (,\ .a)z-k +U(--1--. + O'c2•-'ll; , L.::'- m it k ,, 'nl. . l z f M+ l WaE.rin Zm = ( ~ z e2n:mi) A:, , ,rs= (A+ll+l "" )/ t en de sommatie 'S. geschiedt de eis \arg Zm \ -&- 7%, • over alle gehele m, welke voldocn aan De coefficienten Ck(A,f) .ff· · t .2 k · d coe 1c1en van v 1n e zijn als volgt te bereken.en: Zij dk de ontwikkeling naar op}::l.Lm.mende machten van van de functie ( 2 ,3) dan is ( 2,4) f(k+½) rr\fi Nu is het mogelijk het volgende aan te tonen: ' Theorema: De gehele functie '/- ( z) is vo~r waarden. vo.n r_; met I zl vol-doende groot te schrijven als P;:;¼; ) . .· 1 »-1 (2, 5) -r: ~ Gt, Fj e zm z~-(>, -Oj ~ I . ~ C z-k + r.Y( z-H ,f' -k m m ' waarin I 21[ • 1 ()(',+0(2. z e mi ' en T = • - 6 -Bewijs: Evenals in de vorige p~ra.graaf kan ik schrijven: (2,7) y ( ) C° Zn 1 1 U -tX.2.11-f:>1a /\- z = 4- T'(C><·1n+,a]! • 2n-i t e u .u = = ~ ( eu u-~ t(~) du 2rr1. l uD(.2. C ~ 00 ¼ 1-en wel omdat :': begrensd is OD C dus ¼.11. F{c( .,t.1 _ _) ___ ; "" .. , L:.. ,-, c< :n+e Ul. 0 I 1 Jl ge li j kma t ;i.g convergent en verwisseling va.n integratie en 5__,mmatie geoorloofd is. De asymptotische ontwikkeling van r (}) is bekend: ' 'a: l-p, ~ }°- 'rt. N 1 (2,8) 111 (})= ~} E e ,I< '3-k - l;-rc~·1-c{1nY +oz~- - ) J met Zij voorlopig <:!-, > o, 0<,._> 0 en ol,.<ot,. (Dit laatste is geen beperking). Kies 3 positieve getallen £, , E:,. en t 3 , zodanig, dat { 2, 9) tJ.i c., + ~,.i,._ +(ex,+ '¥.t ) £~ < rr ( c<, ... O(.:d. Nu verbuig ik de contour C zodanig, dat hij asymptotisch raakt aa.n twee lijnen, waa.rvan de een een hoek f + l~ en de a.no.er een hoek -( f + £,._ ) met de positief reele as maakt. Verder is op C aan larg ul~ '1 + ~ voldaan. (2,8) blij:f-t gelden als gesommeerd wordt over de gehele waarden van k welke voldoen aan Ik beweer, dat bij substitutie van (2t8) in (2,7) de sommatie uitgestrekt mag worden over alle gehele waarden van k, welke voldoen aa.n (2,11) larg z +2 7t'k \< ! +c--c1.., + Ci,_ l " 2 :; • Want zeals hieronder aangetoond zal worden, volgt uit (2,11) {2,10_) en voo~ S-> 0 en \arg'}kf~f +&' is voldaan a.an (2,11), zodat het asymptotisch gedrag van~., 8) bij substitutie in ( 2, 7) niet ge-stoord zal worden. - 1 .. Voor l... = ~ geldt: 9 u;,. \argn.J= I a.rg }+21t"'k I= I argz-o(g,a.rgu+27Ckl<°'rK1~ (!" +~ )+ o\J 1 ~, Ql1 , a,(_ 1 2 . 3 +~ <i+t-2)=J-[ («1 +~2) ~ +o;2E.-2+<o(1+o(2)c..31< i'lt" . ..:l\ 1 l . U volgens ( 2, 9). Is nu b > 0 en J arg ~~ J. ~ ; +f dan schrijf' ik> l arg z +27rk \ - J «1 l I ~+ o( 2 } - • arg ~ arg u ot, + O(l. c1..,+r;;J..,_ 1 . o<., f 'Jt" C'-- ol.1. 1C' ] ~ (){,+ ~ 2 + t> + ~ ( 2 + <-2) ~ ¥" +l~, vooropgezet, dat ikb zo kan kiezen, dat hetwelk in verband met (2,9) mogelijk moet zijn. Stel nu {2,12) 9;/. -At- « ~ (1-~,) f ( ze27Cki) J· du u ' exp u+ l. U.,0,/~I en {2,13) dan vindt ( 2,14) men door middel van (2,7) en (2,8): ti\-1 f (z)= ~ 1-Hk - 'i= t waarbij de sommatie zr slechts genomen dient te w~rden over die gehele waarde van k waarvoor voldaan is aan (2,15)"' l argz+2 trk 1 ~ !' +6 «,+ o{.t ~ 2 ?. • Het is direct duidelijk dat de restterm R hoogstens van de ordr-1 -N z is. Om het asymptotisobe gedrag van (2,12) te bepalen, gebruik il{ hf!·i; boven aangehaalde (2 1 2). - 8 ... Hierbij wordt gesommeerd over ffi.e gehelo waaiden van m, waarvoor :le grootheid ct, [ e 2 rtki) '/,;.., e 2n:mi] Cl, +ex;. T (z ~en argument in absolute waarde ::S 7% hee:ft. Dit argument is gelijk 3.an ex, [ argz+27t.k + 2 n:m} = argz+2 Tt'k +. d, o(1+ft,_ ot, r:x,+cl,._ T 2rtm ,){)+~.l_ 0 Wegens ( 2, 15) en °' ;Cl > ½ komt alleon n = Q in aa:r.;.merking. I l., Volgens Wright is dus 1 ( 2n--ki) '=?• { = ot.., z e .... , .· ex:p ~aarin gesteld is (2,17) I { ,.,.- 27tki} ot,+al:.. Zk = ~ z e ! (2,16) is gemakkelijk om te werken tot: f', -, .1. [ N ... , Hk = ~ .zk zk,_-r,-r, I; De coef:ficienten en warden gevonden door in (2,3) en (2,4) >- = =~ en f-;:; ~,._ + ~~ <1-131 ) te nemen. Hiermede is het theorema bewezen voor ae, 1 en c{.t. 2 reeel grater dan '.lul. Merken wij op, dat de coe:fficienten ck analytische functies zijn voor alle o/L-waarden, waarvoor geldt Re(O<'~;>O, dan kunnen we ius de coefficienten ck(At,) analytisch voortzetten, zodanig dat do Eormules blijven gelden voor Re(O<'i )> o. ~nige ODmerkingen. Schrij:f ik de ontwikkeling (2,5) in de volgende vorm - N~ ~ e zm Z f - (3, - A. -k ~ z -n . C3,l) X<z)::::~ak m -Li- n~i-tX1n)1C~2-o<2n) + L(z'_I) ian vind ik C 3, 2) - 9 -welke coef:ficienten symmetrisc'f:l zijn in cx1 en ()(,_, ~1 en f.1.... . Hierbij kan opgemerkt worden dat men gemakkelijk knn laten zien dat de .ak voor ct,= cx'.'l = 131 == 1 > ~;::)~+ 1 de coe:fficidnten worden van de bekende asymptotische ontwikkeling van ~{2 r;'),. (h)~. Men ziet echter dat de functie, waaruit zij gevormd worden, in bet geheel niet symmetrisch is. Wel i~ waar is men in stM,t uit ( 2, 5) numeriek meer ontwikkelingscoef:ficientcn te berelcen~n, ma:J.r ~Bn gro~t na.deel is, dat om tot de asyr-ptotische ontwikkclir..g van .fL(z) te komen, mem (m-1) maal een proces moet uitvoeren als in~ 2 gedaan is en krijgt men (m-2) producten te maken van recksc~ om do coe1ticien~ ten te bepalen. Dit is al gauw onhandelbaar. Daarom VP~ i-k :l.n. )1nt vol~~ng.e ~¢~fd-· utuk een weg mogelijk gemaakt door theorem~ 4 Vpn ~et t~ de inlei- · ding aangehaalde artikel van Kemperman. De func_!:;_e Jl ( z) • · Ten einde de functie.!l(z) te ontwikkelen, stel ik in theorema 4 r _1£ - l., C eon rechte, beginnende in het punt (-~-N) (N een natuurlijk getal) en een hoek -argOl makend met de posi -tie:f bestaanbare a.s en Uit het theorema vol.gt nu als keen even natuurlijk getal is: (4, 1) l3ehandel nu (4, 2) I(z)= l sin{k-1)7?W g(w)zw dw sinn r, , me-t behulp van (4,3) ~ (4,4) .... 10 .... wae.rinf S" {w,s)I <k,k constante > O. ("'ie voor hct la2tste bijv. K.Hughes). Dus: k-• { R8 ( z>j (4,5) I(z)= :ti_ dw + - .!!:! , t wa.arin (4,6) R 8 (z)= Stel ik nu verder (4 ,8) dan vind ik en °"' lf(e2j,rir dw - ( zr::jll--h dw': e ~j zl-p-h 2:.. ~+h - iN T1(w') J 00 J z~'-t,-s-1 ., z. R ( ) J <'(w-'3-s-1 ) ,.,.,,. k "" J i;,:-.;.s-8. s z = T1 ( w, 0 ~ « --- , s ~ c ~ ..i ,- ~ -N Er is dus bewezen: N If $ (4,9) il<z>= ~l'2}.. ( 4, 10) waarbij ~ ~n~~-«,n) + I en de J.f slechts over die waarden van j genomen dient te wordcn~ waarvoor f arg Zj \< n: • Rest nu nog de coefficienten ch en de AJ of. ent3to be-:-ialen: Neem aan beide zijden van het gelijkteken in (4 ,4) de logs.rj en cntwikkel volgens Stirling, De tcrmen van de ordc w-3 nog :,~(•,.·.•:· nemende, vind ik , ) <,t:. ) J < .,.~ . ""i. ) A 1 l < ,, . , 4, 11 - ~ °'i w log w - wl log ~'\, o{~ - t.f:- di- J - Ii, r- i-.. l l, .. _: " f ,&. f•-7i. 2 l J #. 6(3- ((Ji-1) +1 ( -i1 log 21r+ log'if oei. i. J - w L? . 1120;i ·- :: + .1.. . [ i ri< 2ei-3i+ei l _ .1.f'E_ 30th;e·~+_::p} ~ L w2 I 12ci(~ f w32 l 3 :JC(Xi. j ' .. = -oJ w log w - w{ot.. logo<.- log A -~ f - log w {f- ½j - { ft log 27t- log c0 +(p-1:1log«J- i [ ~::}J_+l + :_~ Jo. 1 + -\{ ~2( 2~-3 )+~ _ (.3 °1;c0 _ 0 ~;c~ + ~.2/C } w 12 o{ 2 ol2 2 Ol.2 o( 2 3 2 ,.. 2 /·; .2. 2 c3; 3 _ -\{ 30{? (f?-2§+30~ -1 _ 'f ci;c,.+3[: 1_ 0 0_:-:c1°2;c0 -:___ __ ~ __ 0_o __ _ w 360 cl. 3 O<'.' - C3/~01· + • • • o< ;) , De resu;ttaten van gelijkstelling van de coefficient~n van gelijke orde links en reohts zijn achtereenvolgens (4, 12) (4, 13) (4,14) • ( 4 ,15) 8-~ 1::. i-J3· o< r rJiL d.. · t ., , (, ( 4, 16) • {4,17) ( 4, 18) Analytisch valt nog op te merken dat men voor /' = 2 met behulp van (4,15) en (4,16) weer de waarden (3,2) terugkrijg-t~ Numeriek zijn nu de eerste vier coefficienten gemakkelijlt.: t,; berekenen. Heeft men meer nodig, dan behoeft men slechts var.. f.r: c-eeksontwikkelingen meer termen mede te nemen om een r:::J a tie r!_;,:, k::rijgen, waarbij de he coef'ficient uitgedrukt wordt in do (h-:...) irooraf'gaande en de bekende coefficienteno(i'f i' o.: ,,:;:1.i. c - 12 -Li-t eratuur: 1. E.M. Wright, The asymptotic expansion of the generalized Bessel-f'unction, Proceedings o:f the London Nathematical Society, Ser 2, 38 (257-270). 2. W.B. Ford, The asymptotic Developments of Functions defined by MacLaurin-Series. 3 • J .H.B. Kemperman-, Asymptotische ontwikkeling van gehele functies, die door machtreeksen gedefinieerd zij:n. 4. E .. M. Wright,- The asymptotic expansion of' integre,l functions de~ined by Taylor-Series, Philosophical Transactions o:f the Royal Soc. o:f London, no. 804, Vol. 239, P• 217-232, 1941. 5. H.K, Hughes, On a theorem of Newsom, Bulletin of the American Ma-thematical Soc. vol. 49, no-. 4, p. 288-292, 1943 • 6. H.K. Hughes 1 On the asymptotic expansions of entire functions de:fined by MacLaurin-Series, Bulletin of the Mathematical Soc., vol. 50, no. 6, P• 425-430,1'944. 7. H.K. Hughes, The asymptotic developments of a class of entire functions, Bulletin of the American Soc., vol. ,1, no. 6, p. 456-461, 1945. 

Berekening van de coefficienten van de asymptotische ontwikkeling van de functie : (z

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

NARCIS

CWI's Institutional Repository

CWI's Institutional Repository

NARCIS