IJzeren, J. van

Dutch

IJzeren, van, J.

Pure OAI Repository

Definitie van $log z$ en $e^z$ door middel van rijen

CWI's Institutional Repository

STICHTING MATHEMATISCH CENTRUM 2e BOERHAAVESTRAAT 49 AMSTERDAM zw 1959 - 016 Voordracht in de serie "Elementaire onderwerpen vanuit hoger standpunt belicht" Mr. J. van IJzeren 25 november 1959 Definitie van log z en ez door middel va.n rijen 1959 2'.W ·1959--016 Voordracht in cJe serle 11 Elementaire ondervJer·;)en vr.rnu:Lt hoger standpunt belicht 11 door Mr J. van IJzeren 25 november '19~iJ r7 Definitie van log z en e 6 door middel van rijen 1, Inleiding. In de elementaire analyse definieert men log x en ex gewoonlijk bij de differentiatieregels nadat tevoren lim (1+h) 1 /h is be-. . h-+ 0 a _1 . handeld. Of men kiest de fundamentele W8g met J x dx als de-finitie van log a. '1 We vergel1jken niet, beide methoden zijn voortreffeliJk, en toch is er kritjek. Zo maakt Sawyer in Mathematician's Delight de op-merking dat de gebruHceltjke '1explanatlons of' e are excellent and logical, but leave the reader with the feeling that every-thing has come from the bltH', 11 • Genoemde methoden sluiten in ieder geval niet direct aan bij de schoolalgebra . .Deze schenkt veel aandacht aan de functie ax, waarbij onmeetbare x geen wezenliJk bezwaar opleveren (ax is con-tinu.voor meetbare x en, per cie initie, voor onmeetbare x). Door bij deze kcnnis aan te lrnopen (;2) kunnen we 11 the blue 11 v1el11.cht elimineren; we proberen aanschouwelijk en tevens streng te zijn. Vervolgens (3 t/m 7) laten \tl1e zien clat de gE!kozen gedachtegang tot in het complexe gebied relkt, x , n;-- nr-:-2. De grafiek van y==a; i.v.m. de rljen n( v a-1) en n(1-1/\'.; a). Laat a een vast positief getal zijnJ dan geldt: De helling van y=ax in (0,1) is gelijk aan log a met grondtal e.,:;j2j7, 11 X Aanschouwelijk bevdjs 11 • Y=X+-'1 snijdt y-=2 in (1j2) en (-½j½); dus vinden we in (0,1) een helling ~1 bij y=2x bij y=4x. Blijkbaar heeft y=ex met zekere e tussen 2 en 4x . Y= lD en > 1 !.f in (0 3 1) -2-de helling 1 (definitie vane); y=ex log a= ax loopt log a maal zo steil. q.e,d. Rest e wat nauwkeuriger te bepalen. Bij elke a/1 is de grafiek van y=ax hol naar boven 1 ); dus is (ax-1)/x een stijgende functie van x, die bij X=O de waarde log a passeert. Nemen we a=e en X=1/n dan volgt dus: 1<n(e1/n_1) zodat (1Vl/n)n< e; en met x=-1/(n+1) vinden we e < (1+1/n)n+\ n=1024 geeft 2,717< e <2,720. Algemeen vinden we (voor af1) n(a 1 /n_1) > log a> n(1-a-1/n) a/1 . a==10 en n==1024 geven 2,305 > log 10 > 2,300. Het voorgaande is zonder veel omhaal streng te maken. (2.1) n(a 1/n_1) ~ (n+1)(a 1/(n+1 )_1) a > O. Bew i j s . In c == a 1 / n ( n + 1 ) 1 u id t d it n ( c n + 1 - 1 ) ;) ( n + 1 ) ( c n - 1 ) of ( )( n n--1 ) 2) c-1 nc -c -- ... -1 ~ 0, wat kenn0.lijk juist is> voor c >1, ==1, <.1. Blijkbaar is 1 =n( Va-1) een dalende rij, n( ~-1) ook, dus n 1~ = n(1-1/ Va) een stijgende. (2.2) n( Va-1) en n(1-1/ Va) naderen dalend resp. stiJgend tot een lirnic;t 1 ( a ) . Bewijs. Volgens 1 -1' == Va l'-1 1 n n n n beide begrensd ZiJn en n- 11 1' .\, O; n n = n - 11 1 ' b 1 i j ft 1 ~ 1 ' , z od a t n n n n er is dus e8n limiet l(a). W1:.; zien dat 1(1/a) = -l(a)" en dat voor a> 1 l(a) > 1-1.la > O. (2.J) Er is uen grondtal e z6 dat l(x)=elog x. Bewijs. Bij mcetbarc p/q ts l(ap/q)=lim np(a 1 /nq_1)=p/q. l(a). Is a/1 en e=a·1/l(a), dan volgt l(e)~=;-:~n algemeen l(x)=y bij x=eY. Blijkbaar is e > 1 i en onafhankelijk van a. De aanschouwelijke behandeling brengt e en log x in het b~reik van de schoolalgebra. Wie meer wil vindt in ln en 1~ instructieve hulp-middelen. Deze rijen hangen direct samen met Va • 1. Zij zijn de grondslag van Briggs' berekening van logarithmen. Voorts "verklaart" 111 het langzaam stijgen van log x: als x--?"oo dan blijft 1) Dit volgt uit ax+h+ax-h > 2ax 2) (2.1) is equivalent met de ongelijkheid van Bernoulli (a=(1+h)-n~+1 ) gee ft ( 1+h )n+1 ~ 1 +( n+1 )h). -3-n(x 1/n_1) > log x (n vast) I 2/n dus log x x -+ O., hoc klein 2/n ook ;dj. a V J 'I Tcnslotte: 1 en 1 1 staan in nauwe relatie met da~/dx en x- dx: n n ln en 1~ z i jn spec ia le geva llen van het cUf ferent iequotH!~t ( a h __ 1 )/h; voor h--:;,- 0 nadert d.it tot de met 1 en 1 1 gedefinieerde log a 1\lant n n ln en 1~ zijn boven- en benedensom bij log a. a -1 j x dx: 1 1/ n i/n 8 (1-1)/n (ad. n i/n (i-1)/n k n(a n_ 1 ) L a ·- _ x ~ a --a___ ( -1;u) == 1=1 a(i-1)/n >~\ x>i~'I ai7n = n 1-a . Aldus is verband g~legd met bcide in de aanhef vermelde definities. Een rechtstreekse behandeling van lim (ah_,·1 )/h., zonder tussenstap h • O over h==+1/n, is te vindcm in :N.G. de Bruyn, Bcknopt leerboek der differentiaal- en integraalrekening. Daar warden de waarden van h geheel vrijgelaten, wat evenwel uitgebreider hulpmiddelen (dif-ferentiaalrekening) nodig maakt. Een ander uiterste vindt men in E. Landau, EinfUhrung in die Dif-ferentialrechnung und Integralrechnung. Hierin wordt h tot de waar-den 2-k beperkt, d.w.z. Landau gebruikt voor het definieren van log a alleen Va, Ya, ~3, enz. J.im ;?k( fTa- ✓1) = log a. k • OO ~oor Landau 1 s voorschrift enigszins te wijzigen kunnen we er log z en e 2 met comp1exc z ook mee definieren, en de goniometrische en cyclometrische functics onafhankelijk van de meetkunde funderen. Zonder aan didactische mogelijkhedcn te denken vindcn we een ver-band met de schoolmeetkunde in de zg. verdubbelingsformule. k 3 . .Symmetrische va r:Lanten van Landau 1 s 2k( fix-/\). We maken ans geheel los van het voorgaande en beschouwen s (x) = .g( Vx-1/ Vx) en t (x) n r.:. n ,n,r::-:: ,nr:: V x-1/ V X = n 'if-;:v11VX Stilzwijgend beperken we ons steeds tot n rik - C • -4-Evenals log x veranderen des en t van teken als x door 1/x n n wordt vervangen. Zij naderen tot 66n limict, en wel van weers-zijden, Dit blijkt uit de betrekkingen met ( 3 . '1) s /s ,_) =C ,.--. > 1 . t /t == 1 ( 1 +c - 1 ) < 1 n Lll c:n , n ~:n 2 n ' c:< /i- -(' > --1 .._,") V - v o n n n In woorden: s neemt af t ncemt toe n ' n -1 ) , zij naderen tot elkaar, convergeren dus en c 11 ~ 1. We dofinieren nu lim 11 • 00 s ( X) = lim n 11 - • 00 Uit de identiteit t ( X) n 1og X. s (x 1 )c (x,,) + c (x 1 )D (x,,) - sn(x1x2 ) 11 11 C. 11 11 L volgt als 11-+oo log x 1 + log x 2 = log(x 1x 2 ). Hieruit is op de bekende manier log(xY) = y log x af te leiden. Blijkbaar geldt ( 3. 2) S ( X) > log X > t ( X) n n X > 1 • Substitutie van x=10 geeft bij n=1024 2,30~:587 > log 10 > 2,302581, een veel betere (kwadratische) benaderi11g, dan de in 2 gevondene. Substttutie van x==x 2 /x 1 > --1 en n==2 in ( 3. 2) gee ft X )r "Ir -X 2- ·1 ~ 0 1 (3.3) ~= >log(x 2 /x 1 )> -1 -·----Vx1x') 2 (x,1+x,')) C. L ,, ) Uit deze reeds door Napier gehanteerde betrekking ~ volgt de mo-notonie, continuiteit en differentieerbaarheid van log x (afge-leide in x 1 : lim (log x2 -log x1 )/(x2-x1 )=1/x 1 ). x2_.x,,I -De inverse functie is ex,met nader te bepalen e. 1) D.w.z. ! s ) daalt, It l stijgt. n n 2) Zie T.J. I 1 a Bromwich, Theory of infinite series] Appendix II. -5-Een andere voorstelling vinden we door proberenderwijs tn(y) = n( V'Y-1/ \!y)/( {1/y+1/ VY) = x naar y op te lossen. Dit geeft y=e (x) n w;:rn rin ( 3. 4) c (x) = ('1+x/n) n/2 n 1-x/n Met Napier's ongelijkheid (3.3) vinden we ( 3. 5) X ✓ () ,-) /1-x'-/n'- >' log e ( x) > x n 1 ) X < n X > 0. " Blijkbaar geldt voor elke x lim n-+oo loge (x)=x=log eh dus n ( 3 • 6) lim n • oo e ( x) = ex . n Met X=1 en n=1024 wordt het linkerlid van (J.5) 1,0000005; de corresponderende benadering vane nl. 2,718282 wordt gevonden door 1025/1023 = 1,001955034 negenvoudig te kwadrateren. 4. Unitaire getallen en hun vierkantswortels. 1., Landau I s bepcrking tot n='.?'' vrnrdt belangrijk bij complexe geta 1-len. Daar is nl., zoals aanstonds blijkt, kwadraatworteltrekken zeer wel uitvoerbaar, terwijl n-de worteltrekking met Vr(cos 5£.. + i sin ~) vooralsnog onmogelijk is. We moeten immers n n _ cos en sin nog definieren (na e 1 Y). Elk steunen op de meetkunde willen we vermijden. Gemakkelijk zijn complexe getallan aan te wijzen waarbij een ima-ginairG J.ogarithmf, is te verwachten. Imme rs log u = :Ly impliceert aJ.licht log u- 1=-iY=iY=log u. Hct gaat dus om getalJ.en u die vol-doen aan 1/u = u. n 2 Zulke u noemen we unitair; elk getal x+iy met xc+J-=1 is unitair, want 1/(x+iy)=(x-:i.y)/(x~~+y 2 )=x-iy. Bijv.1;-'1;:L;-i;-}V;2+-b-V2i (=Vi); elk quotient (a+ib)/(a-ib). Het product van twee ~'sis eveneens unltair: 1 / ( u 1 u 2 ) =1 /u1 . 1 /u2=u1 • u2=u,1 u;.~. Elk complex getal x+iy kan warden ontbonden in een positieve ~)-D~-~;~~t;i;~he rij (J1+x 2/n 2+x/n)n (omkering van sn) blijft buiten beschouwing. ,,. -o-✓ 2 2 j ,) ,, r= x +y- en een unitaire u=(x+iy)/Vxc+yc. Bij vermenigvuldiging van complexe getallen vormen deze factoren afzonderlijke producten: Hierbij past kennelijk, dat log r re~el en log u imaginair is. Het laatste zullen we nu waar makcn met dczclfde hulpmiddelen als in het re~le geval nl. met kwadraatwortels. We bepa len \[;; op een symmetrische manier tezamen met 1/ Vu. ( 1+.1) Vu+ ·1/vu = Vc2+u+1/u ( 4 • 2 ) Vu - '1 / \fu =,= ( u - 1 / u ) / ( Vu+ 1 / Vu) u/- 1 . In (lL1) is 2+uvl/u=(u+'1)(u+1) ·> O met minimum O als u=-'1; Vu-1/Vu is evena ls u-1 /u=u-u imagina ir, en van hetzelfde teken. Blijkbaa r zijn Vu en ·1/ ~ toegevoegd complex, dus (definitie) unitair; hun reeel deel is positief ( in tegenstelling met - V~ en -1/ Vu die eveneens wortels zijn van u resp. 1/u). Er is ~~n uitzondering, u=-1, waarblj het re~le deel der wortels 0 is. We kiezen V--,1=1 '1)., dus '1/V-'1==-1/i=-i; mac:ir de algemene regel 1/Vu= V1/u is h:Ler niet te redden. Het symmetrische worteltrekken kan oolc op positieve x warden toe-gepast; het levert dan - ge'Itereerd - juist de vormen V~+1/ VX en Vx-1/ \;Ix die in s (x) en t (x) optreden. n n 5. log u en de zg. verdubbelingsformule. De definitie van log u loopt geheel parallel met die van log x. We moeten alleen ongelijktekens omkeren in verband met de volgende tegcnstelllng tussen positieve x en unitaire u: -1 (x+'1/x) > 1 want ( J;._'1/~) 2 :> O, tenzij X=/1 } (u+1/u) < 1 !I II U=/l. Analoog met (3.1) hebben we ( 5. 1 ) C (u)=½(~+1/Vu)<1. 11 Ook nu vinden we tot elkaarnaderende sn(u) (toenemend) en tn(u) (af-nemend), die van weerszijden naar een limiet gaan. We deflnieren daa rmee log u: '1) Conventie; tegen v:::i~-i is geen wezenlijk bezwaar. (5 .'c:) lim 11·• 00 n , nr:-: lJr-· 2· ( V U - ·1 / V u ) :=:: 1 im n -+oo ·-7-Vu 1/ Vu n ---'---==log u. f/u+1/ r1u Evenals d10 termen van deze r:l.jeri s (u) en t (u) :is log u imaginair> 11 n met het teken van u-_;1/u; al:", c.lit ::,itief is vinden we ( 5. 3 ) . r . , \fu-·1 /vu s,, ( u) = Vu · ·1 / V u < 1 og u < z ----'- ·-c. J;.+1 /Vu Bi 0iv, log i ligt tussen (i--1)/{i= '12(1-·1)/(1+1)= 1/21 en 2(1-1)/(1+i)=2i. Als we u vari~ren dan blijkt uit (4.1) dat Vu+1/ Vu, ~1/~+1/ ~, enz. toe-en afnemen met uvl/u ., terwijl de imaginaire Vu-1,/~ enz. tegengesteld varieren: { ( Vu--1.h{~ ) /i } ;:; = ;") __ u -1 /u Ecn toename van -r:.;..•1/Vu = s,J(u) im~:ihceer't (omdat }( ~+1/~) L )j.;-- L· a f nee mt ) e en g rot e re t o en a me v a 11 ~2 ( v u -1 / VU) == s 4 ( u ) , en z . du s uiteindelijk een grotere toename van log u. Conclusie: (5.4) Als log u tot een LLmiet nadert, dan ook ~-1/~, dus u, Bl::'Ljkbaar zijn V~ -1/Vu enz. en log t~ maximaal als u+1/u minima al is cLw.z. alf:.: U=-·1. b:Ljbchorenc1e s 2 ( ... ·1) t/m s 16 (-1) zijn: 21; ;:)Vz,1 = ;i,Bt; 11./2---r? = 3, i; s/2- \½+/21 = 3,1~~i. De limiet, log(--1), noemen we -rr,i 1og(-1) = -rti, Deze uitkomst vraagt om meetkundige to0lichting. We gaan daartoe ... terug naar de bepaling van Vu en duiden de unitaire getallen 1,-1, ,/ I r, C) u,1/u, vu en 1/V u aan door op x~+Yc=1 gelegen punten: E(1,0), E 1 ( -1 , 0 ) , u ( b oven T:E ' ) , u , v en v , A 1 :-:J M en N d e mid cl ens v a n u u resp, vv zijn, dan gc-:ldt i.v.m. (4.1) en (l+.2): UM,/VN :c:: (u-1/u)/( u--1/ u) = J2+u+1/u == ~'M,E'I:""E'U=E'U/OV. Dus 1(3 OV,//E'U d.w.z. OV ls bissectrix van L EOU. Dit betekent dat koo rde EU=VV= ( Ju-1 /{u) /i =' Sn ( u) /i; lrnorden EV +VU:==·,:}EV==s 4 ( u) /i. We C: kunnen zo doorgaan. De berekening der koorden stcmt geheel overeen met de zg, verdubbc::ling~3formule voor de koordE k,) van de halve door L.. k onderspannen boog 1) We gebruiken hier op vanzelfsprekende wijze ongelijktekens bij imaginaire getallen. -8-In de limiet vinden we: boog EU=(log u)/i; in het bijzonder boog EE 1 = ( 1 og ( -1 ) ) / i= -re • 6. eiy= lim n=2k -+-CO ( 1+;y n ) n/2 '1-iy n en Log u = log u + 2kici. Intussen klopt log(-1) + log(-1) = 2-n:1 niet met log { (-1)(-1)}=0. Toch is de aanduidinglog u wel gerechtvaardigd want uit (5.2) volgt (6.1) log(1/u) = -log u u/-1. (6.2) log Vu= ½log u en dus ook log VU= 1/m.log u met m=2k. Speciaal: log i = log~=½ lt.i en log(-i) = log(1/i) = -½1ei. Tegenover ~i, het maximum van log u, staat - 1ti als benedengrens - "TC i < 1 og U ~ TC i . Als u de waa rde -1 pa sseert, dan heeft log u een sprang van 2 ic i. VGrvangen we Vu in (6.2) door u dan volgt (voor m=2k) ( 6. 3) m log u = log(um) mits - l'Ci < m log u ~ 1ti. Er is dus duidelijke analogie met de re~le log x, behalve t.a.v. de begrensdheid. De inverse functie evenwel voert hierboven uit. Om een getal met iy als logarithme te vinden gaan we (zie het re~le geval (3.4))u=(1+iy/n)/(1-iy/n) substitueren in (5.3). Dit geeft., als y > O 1 ) (voor y-<. O analoog) iy < -~ log 1 +iy /n < iy r---:::---:::- c 1-iy/n v1+y 2 /n 2 (6.4) y > 0 • Is y ,:;:; 1'C dan mogen we volgens ( 6. 3) n/2 a ls exponent schrijven. We vinden dus (6.5) log ,., . / n/2 1+ly n iy 1-iy/n -+ k a ls n= 2 ~ co • Dit impliceert (zie conclusie (5,4)) dat (6.6) ( .12-iY /n )n/2.....,.. 8 iy 1-iy/n -' waarin e 1Y aanduidt: het unitaire getal met logarithme iy. Deze notatie past bij e 10g u = u, en geeft in het bijzonder e~1=-1. Laat nu y>TC, maar y*=y/2k ~ 1r. Dan heeft het linkerlid van (6.6) met y* i.p.v. y een limiet. Door deze y'1'1: -rij k-voudig te kwadra-_____________ ...., __1) D.w.z. u-1/u>O, vereist voor (5,3). -9-teren krijgen we de y-rij ((6.6) met n.2k i.p.v.n). De laatste moet dus ook een limiet heboen. Dus bestaat de limiet (6.6) voor elke y. De notatie eiY past bij ex (zie (J.6)) en bij het additietheorema (6.7) eiy1. eiy2 = ei(y1+Y2). Om dit iy2 e iy1 te bewijzen vormen we het product van de rijen voor e , -i ( y 1 +-y 2) en e ; de algemene term blijkt te zijn het unitaire getal ( 1 +iy /n )n/2 . Y 1 Y 2 ( Y 1 +y 2) ~n = 1-iy/n met Y = 2 2 2 · n +y 1 +y 1 Y 2 +y 2 Als n • OO dan y --+ O en vol~ens ( 6. 4) ook log un ~o; dus un -+-1 iy1 iy2 -i(y1+Y2) d.w.z. e .e .e = 1., wat hetzelfde is als (6.7). Een bijzondere consequentie van (6,7) is dat voor elke gehele k e2k-n;i = (eiti )2k = (-1)2k = 1. Dus zijn er vele imaginaire e-machten die hetzelfde unitaire ge-tal u opleveren: 8 log u + 2krci = u. Verder volgt uit log(u1u2 ) log u1 log u2 log u1 +log u2 e = u 1 u 2 = e • e ==e dat log(u1u 2 ) en log u1 +log u2 gelijk zijn op een veelvoud van 2Yi na. Blijkbaar behoort bij u een verzameling logarithmen Log u, die alle 2kiti van de hoofdwaarde log u verschillen. 7. Verdere uitwerking en samenvatting. cosy en sin y kunnen we nu definieren met e 1Y =cosy+ i sin y. Gemakkelijk zijn hun eigenschappen uit die van e1 Y af te leiden. We vermelden alleen dat de ongelijkheid sin y < y < tan y dezelfde is als (5.3) (neem U=e 2iY) en komt met O<y<~ dat lim sin y/y=1 y • O lim y-+ 0 iy (e --1)/iy = '1. l.f ( ·- ~ < (p < ~) vindc:n L c._ we de betrekking -10-Voor a re tan Y= log 11 +~y = log -lY cos cp +i s~n <f = log cos c.p •··l sin <f G • tn cL 1 T = 2if = 21 arctan y zodat (6,5) neerkomt op ni arctan (y/n) • iy. Evenzo zijn de limieten voor log u r:n oak de symmetrische wortel--trekking te vertalen in sin, cos en tan. We defini0;ren bij z=x+iy=re 1 lf ( ·-lt <. cp,; -rr) Z X iy e = e .e en log z = log r + i <f • Dan geldt 10f2' z e ::::, = z en mod. 2k 1t: i 1 ,.,z_ ,.., og "' = L,. Als h re~el is dan Geldt voor elke z lim (zh .. 1)/h = log z en lim (1+hz) 1/h = h-O h-+0 z e • 1 ) In deze limieten liggcn a lle vooL"gaande besloton. Beide zijn a f te leiden (door h log z resp. log(1+hz) = x+iy te stellen) uit lim x+iy-+0 x+iy 1 e .. x+iy :::: '] Deze limiet volgt uit de identieke betrekking eX-l-iy_,1 ( X / iy ) -1 ,e -1 + -·- ---- - 1 , , ___ x, e"-1 iy ) iy \e --1 x+1y x+1y . x x+iy iy waarin beide haken naar O gaan met x en y. Met deze complexe limiet zijn we teruggekeerd nboven 11 ons uitgangs-punt lim (ex-1)/x=1, en terechtgekomen bij de complexe afgeleide x-..-o van e 2 • -----------------

Definitie van log z en $e^z$ door middel van rijen

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Pure OAI Repository

Pure OAI Repository

CWI's Institutional Repository

Definitie van log z en eze^zez door middel van rijen

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Pure OAI Repository

Pure OAI Repository

CWI's Institutional Repository

Definitie van log z en $e^z$ door middel van rijen