Blij, F. van der

Dutch

CWI's Institutional Repository

STICHTING MATHEMATISCH CENTRUM 2e BOERHM VESTRAAT 49 AMSTERDAM zw 1952 - 011 Serie: Elementaire onderwerpen van hoger standpunt uit Dr. F. van der Blij 7 mei Het elementaire onderwerp "regelmatige veelvlakken" van topologisch standpunt uit 1952 Z.W. Rapport 1952 ... 011 Serie: ~-'.!..~.!i'u:1nt_!iJ'e onderwetl?en van hoger standp\lnt u1t. 7 ; voordracht door Dr F.van der Blij over: Het elementaire onderwerp 11 :regelmatise veelvlakken 11 van t,opolo51aoh standpunt uit. f "t. In plaata van de gewone metrische definitie voor de regelm:atige veelhoek:, kiezen wij de volgende definitie: een (topologiseh) regelm.a-tige veelhoek is een complex van punten en lijnatukken zodanig oat twee lijnstukken nooit inwendige punten gem.een hebben; dat in 1eder punt een gelijk aantal 11jnstukken uitkomt en dat het complex niet in twee niet samenhangende deelcomplexen verdeeld kan worden. Stel het aantal stuk-ken per hoekpunt k, d&n correspondeert met k:=2 de normale gealoten veel-hoek. Enkele voorbeelden zijn het viervlak (k:==3), het tw~fvlak. (k=3) en het tienzijdig .P.,r_i.§_!!!! (k=3), het t_!i!l,ti5vlak {k-5). We claasificeren de complexen naar het verschil van het aanta.1 11jnstukken Ren het a.antal hoekpunten U. SchriJven w1j R-H•t, den geldt k . k . ' 2t omdat R = :2 H, ~ H - H .., t of te wel k=2+ 1r• Ala k = 2, volgt t =Oen R ... H (gewone veelhoek). Ale k = 3, volgt H = 2t en R = 3t Van het geval k=4 noemen wij H=3, R=6 (volledige driezijde in het pro-jectieve vlak); H=4, R=8 (vierkant op torus of viervlak, waarvan twee overstaande ribben in de projectieve ruimte verlengd·zijn); H=6, B=12 of ) Ten slotte noemen wij nog H=1, R=t+1, k=2t+2 (in het projectieve vlak t+1 lijnen door een punt) en H=2, R~t+2J k=t+2 (op de bol t+2 halve grote cirkels door twee tegenpunten). ? 2. Regelmatige veelvlakken worden meestal gedefinieerd door metri-ech.e voorwaarden. Het aantal mogelijke regelmatige veelvlakken wordt ·~-.n afgeleid uit de eigenschap dat de som van de zijden van een veel-vlakshoek kleiner is dan 360°. De mogelijkheden zijn dan: 3 x 60°, 4 x 60°, 5 x 60°, 3 x 90°, 3 x 108°. De grensgevallen 6 x 60°, 4 x 90° en 3 x 120° geven de regelmatige vlakvullingen. We definH!ren nu: een ( topologisch) regelmatig veelvlak is een samenstel van een.eindig aantal topologische veelhoeken met k=2 en alle met hetzelfde aantal hoekpunten, zodanig dat: 1° twee veelhoeken nooit een inwendig punt gemeen hebben, 2° de zijden van de veelhoeken twee aan twee samenvallen, 3° het geheel niet ui teenvalt in twee disjuncte delen,. 4° de veelhoeken in een hoekpunt zo genummerd kunnen worden, dat twee opeenvolgenden steeds een ribbe door het hoekpunt gemeen hebben, 5° in ieder hoekpunt een gelijk aantal veelhoeken voorkomt. Wij geven eerst een paar voorbeelden; dat de gewone regelmatige veelvlakken aan deze definitie voldoen 1s duidelijk. I In ieder hoekpunt komen hier vier vierhoeken uit. II Dit lichaam heeft drie zij-vlakken te weten de vier-hoek RSTU, de vierhoek RTSU en de vierhoek RTUS. In ie-der hoekpunt komen alle drie de vierhoeken voor. Wij vragen nu algemeen naar lichamen opgebouwd uit k-hoeken, zodat in ieder hoekpunt i) van deze k-hoeken voorkomen. Stel het aantal zijvlak-ken Z, dan geldt voor het aantal ribben R= ~Zen voor het aantal hoek-punten H = ~ z .. J 3. In de elementaire stereometrie wordt voor veelvlakken de gewoon--> 11jk naar Euler, soms naar Descartes, genoemde formule Z+H=R+2 vermeld. We zullen deze eerst b~wijzen, door het oppervlak vanhet veelvlak te bescnouwen. Dit is door de ribben in gescheiden vlakdelen verdeeld. Om deze met elkaar in contact te brengen moeten tenminste Z-1 ribben wegge-nomen worden. Er blijft dan een lijnstukkencomplex over.. Indien het op-pervlak de structuur van een boloppervlak heeft is dit complex enkel-voudig samenhangend, het aantal resterende lijnstukken is H-1, zodat geldt Z+H=R+2. Heeft het oppervlak de topologie van het projectieve vlak, dan zal het lijnstukkencomplex een gesloten keten bevatten en het aantal resterende lijnstukken is H, de formule Z+H=R+1. Op het oppervlak van de torus zal het aantal resterende lijnstukken H+1 zijnJ zodat daar geldt Z+H=R. We beschouwen de bovengegeven voorbeelden. Voor de :eJatonische regel-matige lichamen geldt Z+H=R+2. In voorbeeld I heeft men Z=16, R==32, H=16 dus Z+H=R. In voorbeeld II heeft men Z=3, R=6, H=4 dus Z+H==R+1, dit oppervlak, de gesloten MBbius-band, is inderdaad topologisch equi-valent met het projectieve vlak. § 4. We beschouwen nu eerst Z+H=R+2 en laten naast de klassieke veel-vlakken ook overdekkingen van de bol met tweehoeken toe. Als we uitwer-ken vinden wij via z+ ~ z = ~ Z+2 dat (k-2)(~ -2) = 4 - ~. De moge-lijke oplossingen zijn /) k zl R H omschrijving 1 2 1 1 2 lijnstuk op bol ----2 k 2 k ti-k ._hoe1<: op bol -1) 2 1:'\ ~ 2 A twee hoeken op bo] ._ .... ,.. .. - ... --. 3 3 4 6 4 viervlak __ ... - -3 4 6 12 8 kubus ---· ·-3 5 12 30 20 twaalfvlak ---4 3 8 12 6 achtvlak ----· - ----5 3 20 30 , 12 twintigvlak q 5. Vervolgens beschouwen wij Z+H=R+1 en bestuderen regelmatige vlak-vullingen van het projectieve vlak. Na eenvoudig herleiden vinden wij (k-2) (;) -2) = 4 - 2 26 . De mogelijkheden zijn: Fig. 1 ]I ------JI. Fig. 2 -~ __________ _........, --~~ _1:__: Z 1._R __ H ·~ fi~ 2 k ---;r~21k ~k 1"1 2 l ~ 2 ½~ ½~ 1 2 --i-•- - -· - • ----1-~,--1,,1,------1 3 3 2 3 2 3 ---11-1-- ·- , -i..--•-' 3 4 3 6 4 4 3 5 6 · 15 10 5 .,_. ... _....__ -- ~- ,._ ---+----+,1-... --.. 4 3 4 6 31 6 1---+-·-•--·-· -----i--'--5--+-_: 10 15 6 I 1 .1 ~ jJ!_ I Jl[ Jl -lL. fig. 4 fig. 5 /(_ -~ /./ ~ / J[i: -I ,,,.,;. fig. 6 fig. 7 § 6. Vervolgens beschouwen wij regelmat1ge veelhoeksnetten op de torus. Uit Z+H=R volgt (k-2)(A -2) = 4. De enige mogelijkheden zijn: k=6, /\ =3, Z willekeurig; k=4, /l =4, Z willekeurig en k=3, /) =6, Z even·. Het zijn de normale zeshoekige, vierkante en driehoe~e vlakke netten, waarvan de randen op geschikte wijze ge!dentificeerd moeten worden. ( OJ. 7. Ten s lotte nog iets over de dubbele torus ( bol met twee gaten) • 41) Nu geldt Z+H=R-2, uitgewerkt (k-2)(n -2) = 4 + 2 of ook wel 4 /) 2kn Z = ie;) -2k-2 7i ' R = kn -2k-27l' H 4k = k 7) -2k-27) Hierui t volgt R = 2 - anderzi jds moet R = Z+H+2 ~ 4 1_2_g_' k -~ Dus moet ½ > i + l ); 1/4. Er zi jn slechts een eindig aantal waarden voor ken n, die hieraan voldoen en waarvoor Z, Ren H gehele getallen worden. Wij grijpen slechts enkele uit de 25 mogelijke oplossingen: 11=8,k=S; Z=1, R=4, H=1. A J.. A [\ = ~ A 2. .,·, / / I A k = 4; I 3 uitslag Z = 4, R = 8, H = 2. B,_____, ___ f'·--r 1 J 1! j i.' [3 , I 6 ;. . __ .r -- IL -L----lJ.. 11 0 n uitslag r\ = 18J ~-=....J.,· Z = 6 R - 9 H - 1 •- , , . A l A .. 9 3 ~ .. A r' A Cil_!!!,~ ...___ . --.--. ------__ ,,,,,,--.--...i+-··----bovenzijde -------J onderzijde / I ~ onderzijde 3 8. Naast de vijf Platonische regelmatige lichamen bestaan er ook .,) Archimedische halfregelmatige lichamen; dit zijn lichamen opgebouwd uit regelmatige veelhoeken van verschillende soort, die in ieder hoek-punt in eenzelfde aantal voorkomen. Triviale voorbeelden zijn geschikt gekozen regelmatige n-zijdige prismata en primo!den. Uit de Platonische lichamen zijn Archimedische af te leiden, b.v. door de middens van de ribben als hoekpunten van een nieuw lichaam te beschouwen. Bij de kubus ontstaat zo een uit vierkanten en gelijkzijdige driehoeken opgebouwd lichaam. De volledige structuur is (per hoekpunt 2 driehoeken en 2 vierkanten) (3344) H = 12, R = 24, z3 = 8, z4 = 6. Uit het twaalfvlak vinden wij zo: (3355) H = 30, R = 60, z3 = 20, z5 =· 12. 0ok kunnen wij van de regelmatige lichamen zulke hoekjes afsnijden dat de oorspronkeiijke regelmatige n-hoeken overgaan in regelmatige 2n-hoe-ken. We geven een overzicht: ·---- --···--·--t--· I oorspr.lich, I H R I ___ ,. viervlak : 366 12 18 Z -4 3- z6=4 -··-· t~---. kubus 388 24 36 z3=8 z8=6 achtvlak 466 24 36 z4=6 z6=8 _ ... ____ 11------twaalfvlak 31010 60 90 z3=20 z10=12 -twintigvlak 566 _l.:_°.1:.~ z5=12 z6=20 ·-·· § 9. We kunnen ook deze lichamen van topologische zijde benaderen. Hiertoe stellen wij het aant~l k-hoeken per hoekpunt l\ k. Het _:_otale aantal k-hoeken is dan Zk = k k H, het aantal ribben R = ½ HL_ /\ k Indien wij naar die lichamen vragen, die oppervlakken hebben met de structuur van een boloppervlak, geldt ~ l)k -'\ HL_-k- + H = ½ H2-..11k + 2. Op de bovengenoemde prismata en prismotden na zijn er slechts een ein-dig aantal mogelijkheden; wij moeten dan echter veronderstellen /) 1 = ii 2 = 0. We geven nog een voorbeeld /) 4 = 1_, I) 6 = 1, /\ 10 = 1; H = 120, R = 180, z4 = 30, 26 = 20~ z10 = 12. Van de structuur van het projectieve vlak bespreken wij het klassie-ke veelvlak van Reinhardt, dat topologisch equivalent is met het be-kende Romeinse oppervlak van Steiner (x2y 2 + x2z2 + y2z2 = 0). Het bestaat uit vier driehoeken ABE, FBC, CDE en FAD en drie vierhoeken AECF, ABCD en BFDE. Hiervoor geldt I) 3 = 2, /) lj. = 2; H = 6.1 R = 12., z3 = 4, Z4 = 3. Tot slot bespreken wij nog enkele voorbeelden van de halfregelmatige overdekkingen van de torus, waarmee halfregelmatige vlakvullingen A '!:'--------+--' van het Euclidische vlak corresponderen. We vinden ze alle uit: L /: k + 1 = ½L /) k. Ze zijn alle op min of meer eenvoudige wijze af te de net-ten met dri-e, vier of zeshoeken. We tekenen een tweetal van de minder eenvoudige figuren. /) 3 = 1, 1) 4 = 2, 7) 6 = 1. - 8 -/14=1,116=1 7) _,, J 12 - I• I ~

Het elementaire onderwerp regelmatige veelvlakken van topologisch standpunt uit

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

CWI's Institutional Repository