Bernard, A.

Elteren, P. van

Dutch

Elteren, P.

NARCIS 

Toets voor een generalisatie van het probleem van m rangschikkingen van A. Benard en Ph. van Elteren

CWI's Institutional Repository

-MATHEMATISCH CENTRUM, 2e Boerhaavestra □ t 49, Amsterdam•- 0. Statistische Afdeling. / S 145(M 5$) Toets voor een generalisatie van het probleen van"m rangschH:: ·:~ kingen van A, Benard en Ph, van Ei°teren. 1) 1. Gegeven zijn m waarnemmrs, die ieder waarnemingen verricht~11 bij n objecten. Deze waarneminc:en ~cunnen betrekking hebben op dezelfde, of op verschillende grootheden, doch iedere waarnemcr meet slechts een grootheid. Het aantal metingen door (ej-l-de waarnemer verricht bij het~-de object stellen wij voor door ~ 111 (;t=--t) • • ') 111 1 >-'=-=I; ••. , n) .. In dit memorandum wordt een verdelingsvrije methode besproken; om de hypothese ~ te toeL;cn, dat alle waarnemingen door eenzelfde waarnemer verrichtJ be-schouwd kunnen warden als een stcekproef uit eenzelfde waar schijnlijkheidsverdeling1 terwijl de metingen van de verschil-lende waarnenners onderling onafhankelijk zijn. Deze toets PE.<, ... geert op alternatieven, waarbij de waarnemingen door iederc waarnemer verricht, afkomstig zijn uit verschillende waarschijn lijkheidsverdelingen, corresponderend met de objecten. De gerr,ld delden (of andere plaatsbepalende parameters) van deze waar-schijnlijkheidsverdelingen moeten bovendien een voor de verschi 7 lende objecten enigszins overeenstemmend verloop vertonen. De toets is een verdelingsvrij analogon voor de toets tegen een hoofdeffect in de variantieanalyse met twee classificaties. Voor het geval, dat al le aantallen f-1n, =- 1 zi jn, kan de gewone methode van m rangschikkingen (zie memorandum S47(M 14) ' warden toegepast. Bij de hier te behandelen generalisatie wordt toegelaten, dat k~v een willekcurig positief getal of o is. 2. Voor de berekening van de toetsingsgrootheid gaat men als volgt te werk: a) De waarnemingen worden, voor iedere waarnem~r afzonderlijkJ gerangschikt naar opklimmende grootte en voorzlen van rangnum-mers. Als de /-l -de wa2rnemer in tot a al ~ = :;j kl' y waarnemingen verrichtJ en alle waarnemingen zijn ongelijk, dan vormen de toe-gekende rangnummers dus een permutatie van de getallen ~ ... > -~~-1 Als t waarnemingen van ~~n waarnemer onderling gelijlc zijn, Gach ongeliJl{ aan de overige van die wa:a"JJneme~, i", dan warden de rang--_r:1:,112_112_e_r_:s_ -~-8..1":.~~e waarnemingen onderl ing gel i jk en wel het gemld--1) Di t memorandum dient slcchts ter ori~ntatie en 'S'trceft niE..t naar vollediBheid of volledige exactheid. delde van de rangnummers die ze gekregen zouden hebben 1 als ze ongelijlc gcweest waren, doch over~gens in de rangschikking de-zelfde plaats ingenomen hadden. De verkregen rangnummers duiden wij aan n1e"i:; /r-j,,1J><, de index /,1 heeft betrekking op de waarnem!E'r ( dus /'.::. fl. , , ,m ) , de index l..! op het waargenomen object ( v.e 1, .. ,.,n), de index K onc7erscheidt de VJTtar•nemingen van waarnem:rer /A met be-• trekking tot object Y onderling ( c1us x ;;, I, ... ) f). b) Voor iedere /' warden de door waarnemer ~ toegekende rangnum--mers verminderd met hun gemiddelcle f (!ju,,...;). De verkregen ver-schillen warden gereduceerde rangnummers genoemd en aangeduid met ·0.11J)('Er geldt dus: X ~ /{ - * rk1'J + 1). -pVK ~1-1 )IK ,0 c) Men sommeert voor iedere;..1 en Y de reduceerde rangnummers van de waarneminc;en van w~rnem!e'r ~ betreffende object V . De ze som wordt aEmgeduid met !!); Y • Er gel(/G dus: k;,v ,........_, " ,-....,; 41.J )I = ~ --!], j.J )) )'( • I x.-:.t I Voor het geval dat f ~ 0 is. wordt lt ~ O gesteld - /1)) , I'!) . d) M€n somrneert nu voor iedere l.l , de gevonden waarden u "r,vrr11. /'" ✓ De verkregen totalen, die kolom--totalen genoemd worden, warden ac:mgeduid met .½ (Y=-1, .. in) . Er geld t dus: 717 u -v ~vis dus de som van de gereduceerde rangnummers met betrekking tot object Y , e) Zij nu f};tt het a::mtal groepen van t gelijke waarnemingen ver-richt door Wc.rnrnemer/< , ( /;µ., dus het aantal waarnemingen gelijl-c aan geen der andere), dan wordt berekend voor iedere;1: k 3 ~ t 3 van dus } I ; - L_, fl,,,, f ~ = t. - / 1 12 k (k - t) /' /' De sommatie in t~,e teller strelct zich uit over alle waarden t, die bij waarnemer/~ voorkomen, Steeds geldt f=·)~i"t = ~✓ .Als 211e waarnemingen onge1ijk zijn, als :J;.d :.:: 0 is voo1"' t > 1 2 geldt: /( = 1..!_ ( k"1 + I). I' 2 1 f) Nu berekent men de covariantie--matrix der kolomtotalen, die dus de elementen CTvy'-= 't fl)/ {I)/ heeft: (Y:t1 1, .... ,n; J/:1, ... ,n). -3~ Er ge1c1t: als lJ ::/::: )JI , en g) Men laat nu ui t deze matrix de 71 -de rij en de 17 -de kolom weg. 2 ) De absolute waarde van de determinant van de verkregen d , · t A , Er geldt dus: matrix dui en WlJ aan me u I \ a n-1,n .. 1 Bet geval~ dat ,1 ~ O is; dat zich alleen kan voordoen als een groot aantal der ~v~ O zijn, zullen wij hier niet teschouwen. h) Als I). > 0 is, berekenen wj_ j: ,..._, a;! (f 1,11-i !!1 /1 :t ) clef I {I ,...,_, - Cf . (J' ({ ti-f, 1 17-t,n-t - n-J f}; ~ 0 (I - Ii- I k) Als toetsingsgrootheid wordt nu gebruikt: x,2 ? .!.1x_. - /f, L1 3. De toetsingsgrootheid >rL2 i - ,r benadering een X -verdeling de volgende gevallen: heeft onder de hypoth2se ¾ bij m2t 77-i vrijheidsgraden 9 o, ci. ln a) Iedere waarnemer heeft een betrekkelijk groot aantal waar-nemingen bij ieder object verricht en deze aantallen lopen niet te sterk uiteen. b) De aantallen 1✓J1 zijn klein.,, n is klein in verhouding tot 171 , E:'n n ij (Y!/V )Ir:; ligt niet te dicht bij O. 2) In feite doet het er niet toe welke rij en welke kolom wcg-gelaten wordt. -4-4. De berekening van Ll en ,du is in het algemeen een omslach---tig werk. Wij geven daarom een aantal bijzondere gevallen, w~ar-bij deze berekening eenvoudiger is. Het aantal vrijheidsgraden der toetsingsgrootheid is steeds n-t: a. n = 3 Er geldt: Xi -::: -/t ~z ~,;. ~-< e7;3 Y, +-C!i1 LI:;, + c,;i Y...3 o-:~ ~3 + o.:;1 a;:l +- o;j °-31 b. De aantallen product: ~v kunnen steeds geschreven warden als een L = (2 b . ~.JV j" JI • waarbij ~/ een constante is voor waarnemer /' en stante voor object Y • 11 Er geldt dan., als .b =- 2.. b11 l/: I met ?1 ~2 F_. !:!v V:f f;V m /:,Le/'~ /=I /., I A J s- t 3 k ~t - L- /J;d I"= __ t_ /Z K;, (t~ - t) ( zie 2. e) ) b1,1 een con-In het bijzonder geldt, als alle waarnemingen ongelijk zi~n: c. Als in geldt: ~2 ~ m :2 ) 6 L o /a1L6+J _µ=I /✓ l. het,wbrtge,;geval,.:_ alle rn b -<- '> z K L- al:-t ·u ;,,=, / of als er geen gelijke waarnemingen ;r,2 -_/l 11 ---..2. 12 n Z !!y -~n-, .Y~::,L--___ _ 1:/.,z_ u z (al-l £..,.,1) 1J=, I" 1 gelijk zijn, dus b..,,= t~ zijn: d. Als tenslotte alle aantallen ~ v gelijk zijn, dus ,ft:)/ x./z-voor µ = 1, ... > m _; v -;: 1, . , . , 7'-1 n ,,..._.z 1/2 . L., !1-v /l -::; -Y~•~, --,,,,.-----_ Ji 11~2. X... k )""-I _1--'--5-of als alle waarnemingen ongelijk zijn: • ~ .--._,.,,Z 12 ,c."__ ll. - ).I m n !:/ ( n Ii + 1) e. Als alle ~,v=f zijn verkrijgen wij uit de laatste formule (h-=t): - ~l 2 n 2- u, ✓r,., -:::. __ __:ll,:___-_V--:---,. 7n n ( n -1-- 1) Deze formule komt overeen met de formule vermel' bij deX~ benadering voor de methode vanm rangschikkingen (zie memoran-dum S 47 (M 14) ) . CT 2 --..2 ~2 ~l f. Als n "If 2 geldt a;/ ::e rr ,::t" ':!1 11'1' (;f< ':,:f u )2 en: x; ~2 u - (T2. ~ V - {d ~~ ~ is dus bij benadering normaal verdeeld, met gemiddelde Oen spreiding 1. De toets gaat dan over in een combinatie van een aantal on-afhankelijke toetsen van Wilcoxon. (verg.: Mem. S 47 (M 7) en S 4 0 2 ( M 17b) ) . g. Als alle kj.,v gelijk zijn aan O of 1, als ~"'kvoor iedere/1 en als voor ieder paar ob jecten l/ en lJ' geldt: (,,1 .;ons t ant), zodat alle waarnemers evenveel o~jecten waarnemen en alle parcn objecten precies door) waarnemer,s vergeleken warden., ge.l:it : n - ~2 12 2 u. )/-:,;/ - j) __ ...;;_;;..:;.__---:--- .. 11) (k ~1) mits er geen gelijke waarnemingen in het systeem voorkomen. Literatuur: A. Benard en A generalization of the method of m rankings, Ph. van Elteren, Proc.Kon.Ned.Ak, van Wetensch, A 56 (1953) p. 358-369, Indagationes Mathemattcae 12_ (1953) p, 358-369. 

Toets voor een generalisatie van het probleem van m rangschikkingen van A. Benard en Ph. van Elteren

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

NARCIS

CWI's Institutional Repository