Hemelrijk, J.

Dutch

Hemelrijk, J. (Jan)

CWI's Institutional Repository

MATH EMA TISCH CENTRUM 2e BOERHAAVESTRAAT 49 AMSTERDAM STATiSTISCHE AFDEUNG Leiding: Prof. Dr D. van Dantzig Chef van de Statistische Consultatie~ Prof. Dr J. Hemelriik Rapport S 1956-40(2) De log-normale verdeling bij de statistische verwerking van omzet cijfers door Prof.Dr J. Hemelrijk Juni 1956 Wij beschouwen een populatie van winkeliers. De jaaromzet in guldens van een winkelier wordt aangegeven door~, zodat ~ op de beschouwde populatieoon verdeling bezit. 1) Deze groot--heid ~ wordt ondersteld een log-normale verdeling te bezitten, d.w.z. dat ( 1) waarin c een willekeurige constante is en log de natuurlijke logarithme voorstelt, normaal verdeeld is. De verwachting resp. de spreiding van~ geven wij aan met_,# resp. ~en de verdelings-dichtheid resp. de verdelingsfunctie met/<~) resp. F(x). Dus ( 2) /ex) -en X ( 3) f(-x)= J 11·,,41.< • Voor de verdelingsfunctie G (~) van ~ geldt dan: of wel G -1 (4) -(~)= V:#" <::r z iT De verdelingsd~chtheid van~ wordt hieruit verkregen door naar y te differenti~ren. Dit geeft 1 (c eo3 ~ -.,.« /' ) ~ -i - T CT'-( 5 1-("5}- '.:l r:rvilr ~ De verwachting van de omzet ~ (dus de gemiddelde opbrengst over de populatie) is dan gelijk aan (6) t :I ( *) 1) Stochastische g~ootheden worden aangegeven door onderstreepte symbolen, terwljl dezPlfde symbolen, niet onderstreept, waarden voorstellen, die zij aan kunnen nemen. -2-De vraag, waar het nu om gaat is de volgende. Op welke wijze kan berekend worden: 1) z (!jo) , de gezamelijke omzet van winkeliers., die ieder een omzet ~ y 0 bezitten, 2) U (~o) , het percentage, dat Z(~ 0 ) van de totale omzet van alle winkeliers tezamen vormt. 3) Hoe kunnen deze grootheden geschat worden uit aan een steekproef van winkeliers ontleende omzet-cijfers? De oplossing voor vraag 1) wordt gegeven door: ( 7) Z (~0) = 't- ~ 1 1 - F (x0 - ~,_)} (1f) waarin .x0 = C' e'o.7 ~0is en t ~ en F door ( 6) en ( 3) gegeven worden. Het antwoord op vraag 2) luidt: (8) (*) Het antwoord op vraag 3) is niet in een formule te geven, daar hiervoor verschillende methoden gevolgd kunnen worden. Om te beginnen merken wij op, dat.,,u en <:r de enige onbekende parameters zijn, immers c kan willekeurig gekozen worden. Worden de aan de steekproef ontleende waarnemingen aangegeven door ( 9) l:k ~t ' · · · ' 'in. ' dan kan men),l schatten door il ( 10) :x = i· [ :X. t:1 ·L 2. en er door (11) Deze methode, die zuivere schattingen voor ,,,u. en <::ri., geeft em die nauw aansluit bij de methode der meest aannemelijke schat-tingen, is de meest doeltreffende, doch eist nogal wat reken-werk voor de berekening van s1 • (~) De bewijzen van de formules, die van het teken (~) voorzien zijn, worden in een appendix gegeven. -3-Minder rekenwerk is noodzakelijk voor directe schatting van ,,,uen-t'~, waaruit dan een andere schatting voor ,;;rt volgt. Men kan nl -;,,u schatten door x ( zie ( 10)) en t>l.j door ( 12) terwijl dan door invullen van deze schattingen in (6) volgt - ~ I _ JS1.. + 51 / Z. r:2· l::J = .e waarin st de schatting voor c::r1-. voorstelt. Deze schatting is., zoals door oplossen direct blijkt ( 13 ) s; = i c ( c .loa, ~ - x: ) . Volgt men ~~n van deze beide methoden, dan dient men dus de X~in een log-tafel op te zoeken. Beschikt men daarbij over een tabel van de natuurlijke logarithmen, dan kan men C:::: 1 kiezen, hetgeen de formules vereenvoudigt. Gebruikt men Briggse loga-rithmen, dan kieze men. ( 14) C'. = 10 €oJ -e = o, 4 ?> t-1 i S , w.aardoor ( 15) en wordt, dus ook ( 15 l) X Y = 10 Heeft men schattingen voor fa en o-2 berekend, dan kan men die in (7) en (8) invullen en met behulp van een tabel van de normale verdeling voor iedere gewenste waarde van ~ode functies Z(~o) en U (1j0) berekenen. Eenvoudiger, doch minder nauwkeurig, is een grafische methode, waarbij gebruik gemaakt wordt van log-normaal waarschijnlijk-heidspapier. Bij dit papier staat (b.v. op de horizontale as) een percen-tage uitgezet. De schaal die daarbij gebruikt is, is aangepast aan de normale verdeling. Dit percentage zullen wij aangeven met P. Op de andere as (de verticale) staat een logarithmische schaal aangegeven. Dit betekent, als wij de bij dege schaal vermelde cijfers als waarden van~ opvatten, dat, lineair be-schouwd, juist x = c ,to1 y uitgezet wordt, waarin c willekeurig .,.4_ gekozen kan warden zolang geen lineaire (x-) schaal naast de ~ -schaal aangegeven is. Zetten wi j op di t papier de funct ie (16) °f'(':1l = 100 { 1- r(:o} = 100 { 1-F(ctoff lJ)) uit, dan geeft dit een rechte lijn. Een schatting van deze rechte kan verkregen warden door een aantal punten uit te zetten., met lj,: als ordinaat en als abscis het percentage der waargenomen omzetten, die minstens gelijk aan ~i zijn. Door de verkregen punten kan dan op het oog een rechte lijn getrokken warden. De vergelijking (8) wordt nu, zoals in de appendix bewezen wordt, voorgesteld door een aan de vol.".i.ge evenwijdige lijn, waarvan een punt op de volgende wijze geconstrueerd kan worden. Trek 2 verticale lijnen, een door het punt P:::::;50 en een door het punt P=16 op de horizontale as 0 Lees de bijbehorende waarden van ~ op de lijn, die ( 16) voorstelt af. Noem deze ~5-0 en ~16 Dan is (17) X' 5'(} een schatting van_,,.,u. en een schatting vano--. Bereken nu ( 19) , ~50 dan is , ~ '50 een schatting van het so% -punt van de lijn, die (8) voorstelt. Voorbeeld Stel !.j 50=3,05en ~ 10 =i,:r ,danis , (k ,9,s )1.. 1 o~- o <;:/:ro = 3,o~. ~ l>J 3,0.r = 3,o5' . ..e' = 3,o-:r. 7...,86 = aJJ'J..,. Ook kan men de schattingen (10) en (11) voor.ft en<::riin (8) invullen en voor twee waarden van ~ode bijbehorende waarden van ,...U {':fo) berekenen. Di t geeft twee punt en op het grafische papier, waardoor dan een rechte getrokken kan warden, die een schatting van (8) voorstelt. -5-Appendix Uit de definitie van Z(ljc)volgt: co Z (lj0 ) = j ~ J ("J l 4 C' ;°" -½ = <vili:ir ...e :Jo Stellen wij nu weer ( 1) .)( = C , dus j= dan is en stellen wij X0=C·C,,~0 d.an gaat Z('j0 )door de subst1tutie (1) over in oo i (Z--.,l</ X Z (<::fo) = <v ~.nr I ~e - I q=T.. + c ---d.x .x: .. De exponent van~ last zich herleiden tot -l. 2. -1 (x-✓M - ~ ) + (~ + r::;rz..) - l i;;-L C 7-.C zodat is. Voor X0 --+-oo verkrijgen wij, 00 z ( 0 ) = J Lj d ( ~ ) ,,eJ/. LJ = £ 1 0 Hiermede zijn de formules (6), (7) en (8) bowezen-Vervolgens gaan wij over tot de beschouwing van de in het vorige beschreven grafische methodea Zoals reeds vermeld, wordt vergelijking (16) op dit log-normaal waarschijnlijkheidspapier door een rechte lijn voorgesteld. De verklaring hiervan laten wij achterwege, doch wij wijzen erop, dat de verticale schaal, lineair beschouwd, juist x aangeeft. Voor xis dit papier dus gewoon waarschijnlijkheidspapier, hetgeen overeenstemt met het feit, dat ~ normaal verdeeld is. Derhalve kan de verwachting_,.,u van~ geschat warden door het so% -punt van (16), dat wij met x50 aangegeven hebben. De waarde van X 10 kan niet afgelezen warden, daar in de regel geen lineaire schaal op dit papier aanwezig is, doch de bijbehorende waarde ~50 van~ kan wel afgelezen warden~ Volgens (1) geldt dan (17). .. -~-Beschouwen wij nu vergelijking ( 18), waarbij tl (~ 0 ) op de horizontale schaal van het grafiekenpapier betrekking heeft, dan zien wij, dat het tweede lid van deze vergelijking geheel overeenstemt met dat van (16), als wij ( 20) of Q"'2. X - X + -0 - C' stellen. Dit betekent echter, dat Ut':J<>) = P(~) is, indien voor de bi jbehorende waarden x0 en x aan ( 20) vo ldaan is, dus dat de ' beide lijnen, die (8) en (16) voorstellen in verticale richting steeds op gelijke afstand van elkaar lopen, en wel - gemeten in de X-schaal - op een afstand 2:2.. Zij zijn dus, daar de X-e schaal lineair is, evenwijdig en wel ligt (8) boven (16). In , de y -schaal gemeten is de afstand niet constant en het is juist deze ~ -schaal, die op bet papier aangegeven is. Beschouw nu echter het 5o % -punt van de beide lijnen. Voor (16) is, afgezien van de schattingsfout in de lijn, die (16) voorstelt, (21) P(~50 ) =5o en voor (8) stellen wij ( 2'2) V, ( Y ;0 ) = 5 O , Dan is volgens het bovenstaande ( 23) Hierin moet nu voor de onbekende 0'"2. nog een schatting ingevuld wo~den. Een grafisch te verkrijgen schatting is de volgende. Nosmen wij y16 het -r6 % -punt van de reeds geschatte lijn (16), dJn is dus ( 24) p ( ~ 16 ) = 16 l doch volgens (en tabel van de normale verdeling is dan (25) X16-Xov=O'", zodat het eerst~ lid als schatting voor 'v° gebruikt kan worden. Dit leidt, teza,.9n met (1), direct tot (18). InV'J.llen in :, 3) gee ft ( 26) en voor de overeenkomstige ~ -waarde .. -7-( 27) Werkt men met 10.f.o:J , dan stelle men weer (14) C = o, 4342_ g en dan komt er ( 26 I) en (10 lo3: Y16 - 10 .(";! Y-so) z, ( 27, ) ~ ~o = Lf ~o . 1 o C Opmerking Het is niet juist uit het voorafgaande te concluderen, dat de grootheid ~ == lj d (LJ) nu een log~ri thrlJj,sch normale verdeling bezit. Want weliswaa-; heeft ZCYo) = j L_J --;j(<J)4~ ~o op een constante na de vorm van een ge!ntegreerde log-normale verdeling, zodat U(~ 0 ) op log-normaal papier door een rechte voorgesteldwordt, maar dit betekent niet dat hetzelfde geldt voor g' • De reden hiervan is.I' dat ..z: = ~ j(:J) geen monotone functie van~ is. Zou men het percentage W(~0) berekenen, voorstellende de som der omzetten.9 waarvoor 'l ~ t 0 ( dus ~ d (ij) f: ~o J (':J0 ) ) is, dan wordt een andere uitkomst verkregen. Hieronder zouden nl. de zeer grote waarden van y niet begrepen zijn, daar j(~) voor die omzetten zeer gering is. 

De log-normale verdeling bij de statistische verwerking van omzet cijfers

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

CWI's Institutional Repository

NARCIS