Corput, J.G. van der

Dutch

CWI's Institutional Repository

STICHTING MATHEMATISCH CENTRUM 2e BOERHAA VESTRAAT 49 AMSTERDAM TC 12e Colloquium asymptotische ontwikk.elingen 1947-1950,3e; Method.e van Darboux. ( J.G.van der Corput.) 1949 •. IOTHlilli MAT'HEHA TISCH - AMSTEfl-DAM __ ,1 Methode van DARBOUX. ') 0c·t.1949 Inclien de functie f(z) :t.!_ anz 11 binneh ccn cir~(el C rnet cinoige ~ . conver,;0ntiestraal R analytisch is, !{:an ond.er zocr nlgcmene voorwn,irdcn uit bet functietheorctisch karn.1:tcr vnn de functie f(z) hot 3e(l.rag van . de coc}~ficient an voor grote vr•.arddn van h i:1ord en bcryrJi.ld. D1:v,.rtoc voe"" ren we een hulpfunctie . ~ n g :::::.Lb Z n "i"1"ti n in• d:i.e eveneens binnon de cirkci C ana1ytisch is en binncn die cirkdl betrc1rke 1ijk nauw bij de func;tio -f ( z) r.anslui t, ter,·:ijl het gedrag van de coefftcient bn voor grote r.rnn::rdori var, n be k)ttd verondersteld rrord.t. On~cr bepe.alde voorvrn.ar·'en blijkt dan an voor er.ote wEw.rd.en van n bij benaderi~ gelijk te zijn aa.n bn. De eernte 0'\1avc is dn:n 001':: u:i·t het fei t, dat de functie tx:> v(z) = f(~} .. g(z) ='L:c zn, vrnr.rin cn=an ... bn · -n..,o n , binnen de cenheitlscirkel in het alecr:ieertennie·:: al te erote modulus bezit, e;f te loiden~ dat de coefficienten en voor grote w:3..r..r, .. 'en van n, abso-luu1: e-enomen, betreklrnlijk .klcin btijvan. Om onze gedachtan te be:0a1_en . .. Z;Ullt1n wij aannomen, dat o·'1 o:f ,_buiten oer1 cirkcl C e.en oind.itt o.antal. verschillcnde nw~,ten s 1 , • . . , st li:'.:e·en .zod.anig, dat allc binncn C _ _.G:JO~ loeen punten z volc.~oen aan de on.,,.elijkhcid . ·t ' 4"1µ · \v( z) \ <::. ;-:~, MTI 9t- -z l-fe-c , wnnrin f1-c.> O. 0nte1'.' d.ie voorwaa.rf.en is voor ( C n t ~ f M,:C n ( ~-c> R-n- fi T; .. "'r:., I Hiorin is. . 2-~ '2. ,., n >1 -= = -. v-rr <r (1- ~{~) Cn(~)· ;:: . C (~··.) = n .. . . ;)~ ( > f.r-, · 1+ffo> ~ I')')+ I . +2 4 + 2 log ·2n , . \ • ind.ien , intion i.rH1ien fo~i; ; fl. >i•. I ,,., . ' /J=1. .. Voor hot bewijs van de stelling hcbben ~1j_j de vol::i;crtde hulpntcl!.:b:igmdig.: 11 1.iit1; eratuur; .. · · . . . . .. · · , ,. · . .· . . . •. .•·····. ·. •· . . · ••· · • .l-\.Batemall 1944' _- . ~ote .. pn the :function .:ir(a ,b; c-n; z). P.r:-ooN.t.Ac sciUSA.300.944¼8~ • . . . i G.:Oa:i:-pe>¢ 1878' ~' Memo ire.·· sur l' ,15proximation des ,-:fonO:bfo7"s de}~~--:, · · €::t;;ands nc!Ilbres et swr iine c.lasse etendue de d~vel.opp~m~·nts< en serie._, · c;l"d\ll'(n· ~tll.Pu_r,es ~t appliqueesf .se:r:ie ,3,;;}~ 4-.,: Pt.5--56; 377-416, ·(1878)- .•... ·.·· .. > ::' ·•'./,A, H~a:r ·.1926·· • ..• ,uepe r .,.a~y,m:piio:-t::i.~ch.e .•. ; ¥rtw:tckl:ilt:}€~~ -.~t1:1, •. Arn-i,£€t :l9f6}6.?~+p71( i~? li!~Il!,lillii:iiil;J;i$i~i;;i1;~1,;t~;1~t4~+~J 2 Hethodc van DAH130UX. L~~ Zij O<r<R; ls\~R en P>o. Vcrder rrorde t;csteld J= j\s-~ -/~~z\. o l.z/-::1,. n~ Be,:.rnrinp;t 1 :Inclien /'YiJ., do.n is \ /""fl. s fi !2rl i-/'!J r Ct- i (1;)) J - r ( 1- f_f.:.) 2°: Inclicm f;>>l en R<'3r, clo.n ts l'.J\ <- { .;;:_, -1- rr) ('R-'<)1--/2' + ~ <--l:/1 ,_,_ ,_/J 3°t Indj_en p =l e~ R $r, d8.n is \. NJ < 6 + 3 lo.,:,- R2r_. J ~.> ...., r Oct.19~9 Bewijsi Stel \sj = f, dus f ~R>r. Ligt de stomphockige d±iehoek :.-et hoeJc9unton f-r en 1 z- r} , dus z 01') de cirkel \ z\=r, dan hcicft y , z en s de zi jd en \ S•Z \ t (1) \s-zj?;p-r~R-r en \s-z)G\f-z}. Indien ~: = e 1 <f ( 0 ~ Cf<2rr) gestold v10rdt, gao.t de lantste 011coli;ik-heid over in (2) (s-z!~r\1 - eiq:>/= 2r sin ~-<p. Ik onaorscht~id tw,;)e c;evallen, al naar eolang fo< of ~1 is. 'fr 1°, Zij ~<,.l., Do..n is volgcms (2) t;j ~ (2r) 1-I~ ffsin r/f)-fo drp= 2 - c::, Door sin2t = u te stellen krijgen we (2r) 1-P f ~\sin t)-/3dt. C ':J <g (2r i1-~ J~-M~-,,,(1-u)-:'du = (2r)1-/3, I( ~r,l;;s::) l wararuit de eerste hewering volgt rwr:ons r (-~) =frr. 2°, Zij fl. ~l en R <3r. Dan is ~: ~1. 7'oda:t e0n gehcel gntal {?:. 0 en ~TI met \-;_:' = sin ~-» bcstant. Hen hccft dan vrn:i:~ons (1} en (2) (3'.·•.\· .. 7~ .. 2 J{R. -.r· )-. ~: d.rp .. +. (2r)~~.rs~= :<pr/5.d;··· ··. . . { =2:i,'r(R-r)-,~ + (2r)1-,.,5 , J:U-"'7'1"""-(l'"u)-;;: du, :/Jc g0ns O '& §· r~ f is ·½ ,r ~ ~; J ½ (':;: it"{~;r} t d us (4) 2xr(R-r) - /2, $T(R-r)J- /2,, Me.ri. hceft . I ·c .. ·•5 .. ·> ..·. .. ··s· .. '.-:l/l. .. --~t.< .. 1 .... -.·.•·?:rd··. ;.,;-.· · . ... ·2·.½/l+f; .. I.· .. .. c·1• .· }.--~- .d· .·· ·. ·21s-f)__ l .. { u 21--' '~ -u J '" u ~ · · "t . -u ·.. u = ~ f'>1- • :rn he-t geval gin2½s~n-ist v9l~t uit (3), (4) en (5) ·•· \'1 \ i H(R-r)1~fJ +. ~~+2 rl• ~ . . . l~i, dit ~eyal geloen de 2° en 39 bewertn~ w~eena Tfi+2Y2<.6. 3 Pcthode van DAir.HOUX 0ct.1949 Is echter sin2Jr''<:('}, dr-.n1 m)litsen. ~vc de slotintcc;rnnl van (3) ri.et ',• bchulp van het punt -?:.: in ti/;1'.::e stU:':keri en c1.fv1.rhij is r½ _:!..fl-_1. 1 1..f i 1. /:I. l (6) . J';, u 2t' :-~(1-u)-:.:;· du< 27a u--..s;.;-.t du. S»_.2. ff. "' . ~.!. y 2. ..,-;,-. .,_(). Is (6>1, da.n is het rcchterlid klej :ner dan . 21· ( . 1 ~)1-? 21 (R-r)l-f). ~ s1n -.,- = - - ;v ';J,'13-·i ·- pr 1 2r ' .l zodat a.c twcede bcwcrine dn,.-: uit (3),(4) en (5) volgt vm_.,;~::11s 2 ·:3·<3. Is daa.rente&en f:> =l, dan :is het rec11terlid van ( 6) kleiner dan ,1:- -2 J. 2r < 2r 2..: lo:r(sin ½J) = 2'·: lop; R ·-r 3 log R -r' waaruit d.c dcrde hmrnrirg voJ.c;t. Na a.cze hul .. )stclling ±.s het 110-·fi js van on~e ntelling cenvouc1 ig. Ecn heef't voor elk posi tiof (::otal r<R 1 j ( ) -n-1 en -2rri v z z dz, dus }-<"l"""L -I:: I en ls r;:1 L [\s-c--zl -f.>r.\dzl • l - l 1:::.J bd"""?'., Wij'-~kiezen hicrin r:;::n:l R, zodat ze'.cer R ~3r ~ositief is n n (l+u) ~ 1 +( 1 )u+ ••• ~l+nu, dus waarui t vo lgt zodat ( "_!L\n+l )frcl.\ n n+l J \._n) ' 1.s. Voor u>O en n g01HH:1 (1- 11 )-n-l voor n= 1,2, •.• eon nfnc1nonde functiG van n is,· n+ clie voor n=l de \"rt· rde 4 riD.n11eer1t. V:>or elk rintuurlijlc g,1tal n is dus '1- _!_ )-D•l,< A I. n+l = •t, dcrhalve r-n-1 = (l- ~~~)-n-1 R-n-1-$.4n-n-l. ·-. Aldus vi nd en we _11_ 1 t: f . (s \c nl ~ 2 R tr i. - . ) st -z) - z: \ dz 1 • L-,\zl.,,.'z. Be.schow, de h:i jtrnee tot hct rochtorlid van de 'net voortdurond.e toenassj ng van h.et lemma. Die 1-A - i- B-verschillcnde gotallen 1;, bijrlrarre is voor n. ,1 I -',:; vrng0ns r ~ <.R 1 1... klei:ner dnn Voor 8-c"? 1 is 2 R-n-1 22-f34R-n-fe"t r(½-f,ft) . . -n-~----==:.:. · . . . ·. . = C ( "t) R · i' V1t r( 1-t /s-c) n de bijdra:~e v:10r,;0n.s 3 < tr kleiner dan ( (. _!,__.. + 1) ~1-f>t:_(rr, . I )A>t.- I . ,9 ?- i./l>r; l · (le - t · · · -t · --t-- Tt en di t. is. wer,enia 4 Oct. lS-49. klciner dan /3 I) .L fl 1 11 R-n- /3--r i . ~ r ( rt, t I) Pr-1 --1- .2 I + ~/':l-r::: -:::::: C,,,, A) R- Ji,-1 ,)~ '1-r -I Voor 8-c = ten nlotte is de ·,;crinemdc bi ;ifrn,~e 1rn,'1;8ns 3 < TT kl ciner dan 2 R-n-1 . /J.. 3 (6 + 3 log 2n) = cJ(\.) R-n-1...,t; Hct zou gc en moe ite kosten O!': de const'1.nte fnctoren, (\i c in de eevoriclc n bovcnsronzen v·)orkornon, to vcr1:·lcine n, mn.n.r drv:,.r 110bben id j nict na2.r gestrecfd. Va·,1( zullcn r-1ij de stellin-1 toe'l")asnen i:r de volgondc schi;inbnar r:i.1-gomenere vorm. Stelling. Zij h CTch ,el -:,, O. Inclien de ·functies oo ::==. ro f(z),:::-La zn en g(z):=..Lb zn -n-::-o n lh•o n binrien de cirtel met I!li<'oelpunt O en "'let poni tieve oj n<'1 ige str'1.ru. R a-nalytisch zijn en het vcrschil v(z} = f(z) - g(z) binnon C volc'oet 11.an de oneelijkheid \ d\\ z > l ~fM,, I s,.-z 1- ~,: • dz r:.-:-1 7 Waf3X'in fir..) 0 en de ~,unt en s 1 , • • • , st op of binncn C li,r.;·:-cn, dnn is voor n ~1 . .. -l n \ · ) < 1 L ( ll \ -n- /J1; I an+h-b n+h ==( n+ 1 H n+2} . :r n+h J 't;',q M i: c n /.Jr' R ' ' waf',rin Cn(/3r) dezGlfde bctekenis heeft !:',ls hicrboven. Deze stel:J:ing vol[ft onmi'"do l lijk uj t de Rndere • 1.1".C.rin f ( z) en ~(z) door dh:f(zi ~ n h = "'- (n•l) ••• ( n+h)an+hz 01. • : dz "~o · dhr,.~z l = f< n+l) • .• ( n+h)bn_,hzn dz ,,.,., 0 en vervangen wordon. 5 :Sinomi · um van Nevvton October 1 ;:..149 Het gaat in d.eze paragraaf om de ontwikkeling van (1+w)m, waarin m= <t-+i r , naar opklimmende machten van w-a. Om die functie on-d ubbelzinnig te bepalen, brengen we in het w-vlak. een coupure aan van-oo~aar -1. Wij s-tellen~.:::(1+w):::::O in het punt w=O, zodat arg(1+vr) in het 01)engesneden w-vlak voortdurend tussen -1T en 1f ligt. Ik kies nu in het opengesneden vlak eel';). punt a, zodanig dat het lij nstuk( a, WJ geen enkel punt van de coupure bevat/ Gevraagd wordt ( i+w) m in een afbrekende reeks nae.r opklimmende machten van w-a te ontwikkelen, ter•" wijl ean bov::mgrens voorde modulus van de restterm gevraagd ,r,rordt. Van elk geheel getal r~O, dat tevens ~ o' is., zullen v1e vinden ( 1 ) m . ( m) ( 1 ) m- P ( ) f +w · = T0 +T 1+ ••. +Tr_1+R,- waarin T = p +a 1 · w-a ·. Daarbij is f IR I ~ Kj Lf \\q cr- -~. \ w-a l r, ,;,,raarin q_ gelijk is aan de a:f:'stand van het punt -1 tot ~et 11.Jnstuk ( a,w) en~ 7 · K = Max f 9- Targ(1+w) , 8- larg (1+a)J We zullen later, . in een paragraaf' gewijd aan geganeraliseerde hypiar-geornetrische functies, den andere, in ve8l opzichte:n praf srabele bo-veng:rens van lR l vinden. De forrnule volgt ui t de reeksontwikkelij g yp._n Taylor FltJ { a) f-) en F(w) = T0 +T 1+.,.:;+Tr_1+R, waarin Tf = \! (w-a)t R = 1 f F(r)(t)(w-t)r-1 dt. (r-t)! o. Hierin kiezen w~J(w) = ( 1+w)m 1 zodat T_? de aa.t1.gegeven waarde bevat en R =(;) r J (i+t)m-r (w-t)r-i dt. Q. , ·uegens m == c:5~+ i 1'" is Orndat top het lijnstuk !1 + ~Cf-r f qT---r. Doorloopt l.oopt (trc( 1 + t ) monotoon ( 1 + t)m-r =-= Ji + t t er -r. e -Targ( 1 + t) {a, w) ligt, i~ /1 + tf;; q, d us t monotoon het lijnstul;: (a,w), dan door•-het interval met de eindpunten. arg· 1 + t) ' en arg ( 1 + w) , dus e arg( 1 + t) -;:: K. Hieruit volgt de bewaring, AJ,J-r j \ OI.... wegens - t} r - 1 \ dt! = \ w - a\r 

Colloquium asymptotische ontwikkelingen 1947-1950, 3e : Methode van Darboux

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

CWI's Institutional Repository