En este trabajo se muestran algunos resultados obtenidos a partir del análisis de sistemas de tiempo-Real diagramados por un diagramador por Períodos Monotónicos Crecientes (PMC). Los mismos muestran que la diagramabilidad el sistema aumenta si se establecen Relaciones de Precedencia entre las tareas. Luego, una adecuada partición de tareas en subtareas con Relaciones de Precedencia de menor duración, facilita la diagramabilidad del sistema.Sistemas Distribuidos - Redes ConcurrenciaRed de Universidades con Carreras en Informática (RedUNCI

Cayssials, Ricardo

Ferro, Edgardo

Orozco, Javier D.

Spanish

El Servicio de Difusión de la Creación Intelectual

Diagramabilidad de Sistemas de Tiempo-Real
Multitarea-Monoprocesador con
Relaciones de Precedencia
Ricardo Cayssials, Javier Orozco y Edgardo Ferro
Universidad Nacional del Sur, Departamento de Ing. Eléctrica
Instituto de Ciencias e Ingeniería de la Computación - Bahía Blanca - Argentina
e-mail: {iecayss, ieorozco, ieferro}@criba.edu.ar
Resumen
En este trabajo se muestran algunos resultados abtenidos a partir del análisis
de sistemas de tiempo-real diagramados por un diagramador por Períodos
Monotónicos Crecientes (PMC). Los mismos muestran que la diagramabilidad
del sistema aumenta si se establecen relaciones de precedencia entre las
tareas. Luego, una adecuada partición de tareas en subtareas con relaciones
de precedencia de menor duración, facilita la diagramabilidad del sistema.
Palabras Clave: Tiempo-Real, Diagramabilidad, Multitarea-monoprocesador, Precedencia
1. Introducción
El problema de diagramar un conjunto de tareas en sistemas multitarea-
monoprocesador es de complejidad polinomial y desde el trabajo de Liu y Layland [1],
diversos métodos han sido propuestos para resolverlo con eficacia creciente tanto desde el
punto de vista de la utilización del procesador [2, 3, 4, 5] como el de compartir otros
recursos [6, 7] operando bajo distintas disciplinas de prioridades. De ellas, la más
importante, por ser un estándar de facto impuesto por el Departamento de Defensa de
EEUU, es la denominada de Períodos Monotónicos Crecientes, PMC (Rate Monotonic
Scheduling, RMS).
Un problema adicional, no tratado en [1] es que, entre pares de tareas, puede haber una
relación de precedencia. Se entiende por ello que, para comenzar su ejecución, una de ellas
(sucesora) necesita datos producidos por otra (predecesora). La llegada de dichos datos
desde todas las predecesoras al procesador que aloja a la tarea sucesora define (en el
contexto de este trabajo) el instante de arribo de la misma. Por otro lado, si las tareas no
poseen relaciones de precedencia entre ellas se dice que las tareas son independientes.
En este trabajo se mostrará que, cuando existen relaciones de precedencia entre tareas,
aumentan las posibilidades de diagramar el sistema para igual factor de utilización del
procesador.
El método de las ranuras vacías será utilizado para la determinación de la
diagramabilidad.
2. Relaciones de Precedencia
Es usual en Sistemas de Tiempo Real (STR) que las tareas no sean independientes y
cooperen entre sí para lograr un determinado objetivo. Cuando una tarea τj necesita total o
parcialmente los resultados producidos por otra tarea τi para poder ser ejecutada, se
establece una relación de precedencia, notada τi   τj (τi precede a τj), la cual establece un
orden parcial sobre las tareas. Si τi   τj y no existe una τl|τi   τl y τl   τj entonces τi y τj
son denominadas predecesora y sucesora respectivamente.
 
Este modelo de computación
puede ser asociado a un grafo G [11]. Cada nodo del mismo simboliza una tarea y existirá
un arco dirigido desde el nodo que representa τi al nodo que representa τj si y sólo si ellas
son predecesora y sucesora respectivamente. G = {Γ,Ρ}, donde Γ es el conjunto de tareas
que forman el trabajo y Ρ es el conjunto de sus relaciones de precedencia.
Una relación de precedencia agrega complejidad a la diagramación. En [13] se ha
resuelto en forma óptima, con complejidad O(n2), un problema simple de un conjunto de
tareas no apropiativas, idéntico tiempo de arribo y con condiciones de precedencia. Este
método, lamentablemente, no es suficiente para la mayoría de los problemas de interés en
STR, en los cuales las tareas no tienen un instante conocido de arribo. Los mejores
resultados sobre precedencia fueron obtenidos a partir del trabajo sobre subclases de la
relación de precedencia, alcanzándose algoritmos polinómicos para relaciones intrees (un
solo sucesor) y outtrees (un solo predecesor). Estos casos son incluidos en un grupo más
interesante denominado serie-paralelo que es definido en forma recursiva y sobre el cual
existen soluciones eficientes, aunque, lamentablemente, los problemas no son comunes en la
práctica. Si el sistema es apropiativo, se reduce la complejidad del diagramador y es
solucionable en O(n2) aplicando el algoritmo de Baker [15].
En Chetto se obtienen condiciones de diagramabilidad para tareas con relaciones de
precedencia en sistemas multitarea-monoprocesador bajo la disciplina de menor tiempo a
crisis. Sin embargo, los resultados son escasos aplicando una diagramación con la
disciplina PMC.
3. Diagramación de tareas con relaciones de precedencia en
sistemas monoprocesador.
En esta sección se demostrará que la disciplina PMC en sistemas multitarea-
monoprocesador, con relaciones de precedencia entre las tareas no es la óptima entre las
disciplinas de prioridades fijas. En un sistema multitarea-monoprocesador  con tareas
independientes el peor caso de carga es la generación simultánea de todas las tareas [1]. Al
existir relaciones de precedencia, no todas las tareas podrán generarse simultáneamente. Al
necesitar las tareas sucesoras la completa ejecución de sus respectivas predecesoras no
podrá darse el arribo simultáneo de la sucesora y sus correspondientes predecesoras. Esta
consideración permite prever que en sistemas con tareas con una adecuada relación de
precedencia, el peor caso de carga puede ser más fácilmente diagramable que en sistemas
con tareas independientes, mejorando así la utilización del procesador. A continuación se
ilustrará que el aprovechamiento de las relaciones de precedencia depende del ordenamiento
que posean las tareas en la pila de prioridades.
3.1. Resultado 1: alternativas en la asignación de
prioridades.
Consideraremos un sistema: S(5)={τ1, τ2, τ3, τ4, τ5}, τ4   τ5, mientras que τ1, τ2  y τ3
son tareas independientes Fig. 1. Consideremos también las distintas alternativas que
pueden darse en el ordenamiento de las prioridades de las tareas.
Figura 1
3.1.1. Alternativa 1
Consideremos el sistema con la siguiente pila de prioridades {τ1, τ2, τ3, τ4, τ5} siendo
τ1 la tarea de mayor prioridad. Notaremos que esta pila de prioridades cumple con la
disciplina de prioridades de períodos monotónicos crecientes. De [[5], para que un sistema
PMC resulte diagramable debe cumplirse que:
∀ ≥ ≥ = + 



=
=
−
−∑i      T D t t C C tT ei i i hh
i
h
C ii, min | . ( ( ))
1
1
1S (1)
En [[11] se muestra que un sistema con inversión de prioridades será diagramable si:
∀ ≥ + −i T ei C k ii, ( )( ( ))S 1  (2)
donde k es el máximo número de inversiones a la que puede verse sometida τi.
Luego, para que τ3 y el trabajo formado por las tareas τ4 y τ5 resulten diagramables,
debe satisfacerse:
D t t C C t
T
C t
T3 3 1 1
2
2
≥ = + ⋅




+ ⋅




min  |  
D t t C C t
T
C t
T
C t
T
C t
T
C C C t
T
C t
T
C t
T
5 5 1
1
2
2
3
3
4
4
4 5 1
1
2
2
3
3
≥ = + ⋅




+ ⋅




+ ⋅




+ ⋅




=
= + + ⋅




+ ⋅




+ ⋅




min  |  
(3)
Nótese que en la expresión anterior t T4 1=  ya que las tareas τ4 y τ5 al estar
vinculadas por una relación de precedencia tienen el mismo período y, ser contiguas en la
pila de prioridades pueden considerarse como una tarea cuyo tiempo de ejecución de C4+C5.
Un razonamiento análogo es aplicado en [[5] para extender el método de las ranuras vacías
a sistemas con tareas con tiempos de ejecución no unitarios.
3.1.2. Alternativa 2
Consideremos el sistema con la siguiente pila de prioridades {τ1, τ2, τ3, τ5, τ4}, siendo
τ1 la tarea de mayor prioridad. Este caso de ordenamiento es provoca un comportamiento
del sistema es idéntico al de la alternativa anterior. La tarea τ3 debe satisfacer la misma
inecuación que en la alternativa 1, mientras que el trabajo compuesto por las tareas τ4 y τ5
será diagramable si la (C4+C5)-ésima ranura libre que deja el sistema S(3), e C C( )( ( ))4 5 3+ S , es
menor que el vencimiento de dicho trabajo.
3.1.3. Alternativa 3
Consideremos el sistema con la siguiente pila de prioridades {τ1, τ2, τ4, τ3, τ5}, con τ1
tarea de mayor prioridad. Para que el sistema sea diagramable, deben satisfacerse las
siguientes inecuaciones:
D t t C C t
T
C t
T
C t
T3 3 1 1
2
2
4
4
≥ = + ⋅




+ ⋅




+ ⋅




min  | 
D t t C C C t
T
C t
T
C t
T5 4 5 1 1
2
2
3
3
≥ = + + ⋅




+ ⋅




+ ⋅




min  | 
El vencimiento de la tarea τ3 debe ser mayor que en la alternativa 1 debido a que en el
peor caso de generación debe tolerar la ejecución de τ4 por ser de mayor prioridad. Sin
embargo, para la tarea τ5 el vencimiento permanece invariante debido a que sólo se
modifica el sumando de la tarea τ4. Como t debe ser menor o igual a T4 para que el trabajo
compuesto por las tareas τ4 y τ5  sea diagramable, el factor que tiene C4, por la ecuación de
las ranuras vacías es igual a uno. De esta manera podemos afirmar que si la tarea
predecesora posee mayor prioridad que la sucesora, ambas tareas pueden considerarse,
para el estudio de la diagramabilidad de la sucesora, como una tarea con tiempo de
ejecución igual a la suma de los tiempo de ejecución de ambas tareas, y con prioridad igual
a la prioridad de la sucesora.
3.1.4. Alternativa 4
Consideremos el sistema con la siguiente pila de prioridades  {τ1, τ2, τ5, τ3, τ4}, siendo
τ1 la tarea de mayor prioridad. Para que el sistema sea diagramable, deben satisfacerse las
siguientes inecuaciones:
D t t C C t
T
C t
T
C t
T3 3 1 1
2
2
5
5
≥ = + ⋅




+ ⋅




+ ⋅




min  | 
τ5 sólo podrá ejecutarse luego de τ4  y ambas deberán soportar la carga producida por
τ3  hasta la completa ejecución de τ4. Esta finalizará su ejecución en eC4 1 2 3({ , , })τ τ τ , ya que τ5
no puede interferir su ejecución. Luego, si en (2), k C e TC= ⋅3 4 1 2 3 4 3({ , , , )}τ τ τ τ  y
D t t C
e
T
C C C t
T
C t
T
C
5 3
4
3
4 5 1
1
2
2
1 2 3≥ = ⋅









	



+ + + ⋅




+ ⋅




min  | ({ , , })τ τ τ (4)
Si tomamos t1 y t4 como las soluciones de las expresiones (3) y (4) de las alternativas 1
y 4 respectivamente vemos que t1 es la primer ranura libre que deja el sistema {τ1, τ2, τ3,
τ4, τ5} y eC4 1 2 3({ , , })τ τ τ  es la primer ranura libre que deja el sistema {τ1, τ2, τ3} con lo que
t eC1 4 1 2 3> ({ , , })τ τ τ
, luego C t
T
C
e
T
C
3
1
3
3
4
3
1 2 3



≥








({ , , })τ τ τ
De esta manera, la inecuación que debe satisfacer la tarea τ5 es menos restrictiva
respecto a las alternativas anteriores.
Del estudio de los diferentes ordenamientos que pueden tener las tareas con relación de
precedencia, se hace notoria la conveniencia de otorgar a las tareas sucesoras mayor
prioridad que a las predecesoras.
3.2. Resultado 2: prioridades y precedencias
Otro resultado interesante muestra la conveniencia de particionar las tareas en
subtareas con una relación de precedencia entre ellas que ya que así el sistema presenta
más posibilidades de resultar diagramable. Por ejemplo: es preferible tener dos tareas
predecesora y sucesora con tiempos de ejecución 1 en lugar de una tarea con tiempo de
ejecución 2. Esto se debe a que las relaciones de precedencia tienen un mecanismo implícito
de diagramación que, utilizado correctamente, puede mejorar la condiciones de
diagramabilidad del sistema. Para ilustrar el efecto que presentan las relaciones de
precedencia en la diagramación, consideremos el siguiente ejemplo:
Sea el sistema S(3)={τ1, τ2, τ3}, con los siguientes parámetros:
i Ci Ti
1 3 6
2 3 8
3 1 8
Tabla I
La figura 2 muestra la evolución del sistema en el peor caso de carga. Como puede
observarse, la tarea τ3 alcanza su vencimiento en la ranura 7 al no poder ejecutarse.
Figura 2
Estudiemos el caso en que las tareas τ1 y τ2 están compuestas, cada una, por un par de
tareas sucesora y predecesora con tiempo de ejecución unitario. τ1 se descompondrá en τ1a
y τ1b predecesora y sucesora respectivamente. τ2 se descompondrá en τ2a y τ2b predecesora y
sucesora respectivamente. El sistema queda conformado por S(5)={τ1a, τ1b, τ2a, τ2b, τ3}, con
los parámetros mostrados en la Tabla II:
i Ci Ti
τ1a 2 6
τ1b 1 6
τ2a 1 8
τ2b 2 8
τ3 1 8
Tabla II
Consideremos que el diagramador del sistema tiene la siguiente pila de prioridades: τ1b,
τ2b, τ3, τ1a, τ2a siendo τ1b la tarea de mayor prioridad. Las figuras 3.a, 3.b y 3.c muestran
los peores casos de generación para los trabajos τ1, τ2 y τ3 respectivamente. Las tareas
sucesoras son generadas al término de ejecución de su correspondiente predecesora.
3.a 3.b
Figura 3
3.c
Puede observarse que ninguna tarea alcanza su vencimiento. También puede notarse
que las tareas no están ordenadas por períodos monotónicos crecientes, y que el sistema es
diagramable mediante prioridades fijas debido a la diagramación implícita que tienen las
relaciones de precedencia.
Nuevamente es posible observar que, para obtener relaciones de diagramación menos
rigurosas, es conveniente asignar mayores prioridades a las tareas sucesoras que a sus
respectivas predecesoras. De esta manera es aprovechada la diagramación interna que
presentan las relaciones de precedencia entre las tareas.
4. Conclusiones
En este trabajo se muestran algunos resultados que revelan la conveniencia de
establecer relaciones de precedencia en sistemas multitarea-monoprocesador que son
diagramados utilizando una disciplina de prioridades fijas. Por otro lado, una adecuada
partición de tareas en subtareas con relaciones de precedencia de menor duración, facilita
la diagramabilidad del sistema. Por supuesto que existe una relación de compromiso entre
la eficiencia del diagramador y el aumento del número de tareas. Esta debe ser tenida en
cuenta por la sobrecarga que produce, en determinadas implementaciones, al sistema
operativo. Por otro lado es posible, en términos prácticos, que la partición de una tarea de
tiempo de ejecución Ci en n subtareas conduzca a un conjunto, cuyo tiempo de ejecución,
total sea mayor que el de la tarea original ( C Ci hh
n
i,
=
∑ ≥1 ). Esto se debe a que resulta
necesario implementar mecanismos de comunicación entre las tareas que previamente no
eran necesarios. A pesar de la complejidad del problema su tratamiento es importante ya
que, como se ha ejemplificado, existen problemas intratables para un diagramador PMC
estándar que, con un adecuado tratamiento de las relaciones de precedencia entre subtareas,
puede tornarse factible.
Actualmente se encuentra en desarrollo la formalización de estos resultados y una
metodología que permita sistematizar la partición y asignación de prioridades a las
subtareas.
Referencias
[1] Liu, C.L. and Layland, J.W., “Scheduling algorithms for multiprograming in hard real time
enviroments”, J. ACM, Vol. 20, No 1, pág. 46-61, 1973.
[2] Joseph, M. and Pandya, P., “Finding Response Times in a Real-Time System”, The
Computer Journal, Vol. 29, No 5:390-395, 1986.
[3] Leung J., Whitehead J., “On the complexity of Fixed Priority Sheduling of periodic, Real -
Time tasks”, Perfomance Evaluation, Vol. 2, No 4, pág. 237-250, 1982.
[4] Lehozcky, J.P., Sha, L. and Ding, Y., “The Rate Monotonic Scheduling Algorithm: Exact
characterization and average case behavior”, In Proc. Real Time Symp. IEEE CS, Los
Alamitos, CA. 1989.
[5] Santos, J. and Orozco, J., “Rate Monotonic Scheduling in Hard Real-Time Systems”,
Information Processing Letters, No 48, pág. 39-45, 1993.
[6] Sha L., Rajkumar R., Lehoczky J.P., “Priority Inheritance Protocols: An aproach to Real-
Time Synchronization”, IEEE Trans. Computers, Vol. 39, No 9,pág 1175-1185, 1990.
[7] Zhao W., Ramamritham K., Stankovic J., “Preemptive Scheduling under Time and Resource
Constraints”, special issue on Real-Time Systems, IEEE Trans. Computers, Vol. 36, No 8,
pág. 949-960, 1987.
[8] Tindell K., Burns A., Wellings A., “Allocating hard Real-Time tasks: An NP-hard problem
made easy”, Real Time Systems, pág. 145-166, 1992.
[9] Lawler, "Optimal Sequencing of a Single Machine Subject to Precedence Constraints",
Management Science, No 19, 1973.
[10] Ramamritham, K., “Allocation and scheduling of complex periodic task”, In Proc. 10th
International Conference on Distributed Computing Systems, pp. 108-115, 1990.
[11] Orozco and J. Santos. 1994. “Diagramación de tareas en sistemas operativos de tiempo
real PMC con inversión de prioridades”. 23 Jornadas Argentinas de Informática e
Investigación Operativa, pp. 1.25-1.35.


Diagramabilidad de sistemas de tiempo real multitarea-monoprocesador con relaciones de precedencia

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