Para trabajo de investigación presentamos los aspectos teóricos y prácticos relevantes para las búsquedas por rangos en espacios de búsquedas geométricamente separables, con la propuesta de utilizar de herramientas no tradicionales como las metaheurísticas.Eje: Base de datosRed de Universidades con Carreras en Informática (RedUNCI

Gagliardi, Edilma Olinda

Hernández Peñalver, Gregorio

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El Servicio de Difusión de la Creación Intelectual

Proyecto Tecnologías Avanzadas de Bases de Datos 22/F314, Departamento de Informática, UNSL.
Proyecto AL2002-1010-2.43/ AL2003-1010-2.55/ AL2004-1010-2.53. Geometría Computacional, UPM.
Separabilidad Geométrica aplicada a las Búsquedas por Rangos
con uso de Metaheurísticas
Edilma Olinda Gagliardi Gregorio Hernández Peñalver
Departamento de Informática Departamento de Matemática Aplicada
Facultad de Ciencias Físico, Matemáticas y
Naturales
Facultad de Informática
Universidad Nacional de San Luis, Argentina Universidad Politécnica de Madrid, España
oli@unsl.edu.ar gregorio@fi.upm.es
Fax: 54-2652-430224 Fax: 34-91-3367426
Resumen
Para trabajo de investigación presentamos los aspectos teóricos y prácticos relevantes
para las búsquedas por rangos en espacios de búsquedas geométricamente separables, con la
propuesta de utilizar de herramientas no tradicionales como las metaheurísticas.
Palabras Claves: Búsquedas por rangos, Separabilidad geométrica, Metaheurísticas.
1. Introducción
El problema de las Búsquedas por Rangos en Bases de Datos puede ser tratado en el marco de la
Geometría Computacional, dado que nos brinda nuevas posibilidades de diseño de algoritmos y
estructuras de datos utilizando herramientas geométricas [AE98] [Aga97] [AM94] [BF79] [BY98]
[Mat94 ] [Mel84].
Una de tales posibilidades es la aplicación de Separabilidad Geométrica que nos permite
proponer nuevos algoritmos de partición  del espacio de búsqueda por medio de la aplicación de
diversos criterios de separabilidad (rectas, cuñas, bandas, entre otras) [AHMS00] [AHMS01]
[DHMS01] [HMRS99] [HNRS01] [HNRS98] [HSS03] [Sea02]. La aplicación de tales separadores
geométricos debe realizarse con relación a la instancia particular del espacio de búsqueda, lo cual
hace presuponer, o, conocimientos de tal configuración, o bien, el uso de herramientas  no
tradicionales que ayuden a la selección de tales criterios de separabilidad.
Por tanto, en este trabajo presentamos una vinculación entre las búsquedas por rangos y la
separabilidad geométrica, mostrando aspectos teóricos relevantes y proponiendo nuevas ideas para
el diseño de estructuras de datos para las búsquedas por rangos en estado de investigación y
desarrollo; y como complemento, proponemos trabajar con metaheurísticas para lograr selecciones
adecuadas de separadores geométricos.
Primeramente, introducimos nociones relacionadas a la separabilidad geométrica y a las
búsquedas por rangos, proponiendo una vinculación entre ambas temáticas. Posteriormente,
brindamos una propuesta de investigación donde, explícitamente, para esta vinculación proponemos
la utilización de metaheurísticas para la obtención de resultados satisfactorios en la elección de los
separadores geométricos.
2. Separabilidad Geométrica
Innovando en nuevos métodos de partición, incorporamos las nociones separabilidad geométrica
como posibles criterios de separación de objetos en el espacio. Los trabajos de separabilidad están
orientados a dos o más conjuntos disjuntos de objetos geométricos, básicamente para puntos, bajo
diversos criterios de separabilidad (bandas, cuñas, sectores, entre otros). Estos criterios de
separabilidad tienen aplicaciones interesantes, como por ejemplo el análisis de imágenes,
clasificación de datos, etc. Siempre que sea necesario discriminar objetos en un espacio de trabajo,
por algún atributo del mismo, los criterios de separabilidad juegan un papel importante.
Para modelar este problema, se dan dos conjuntos disjuntos P y Q de objetos en el plano, los que
se referirán como objetos rojos y azules, respectivamente. Eventualmente, los objetos pueden ser:
puntos, segmentos, polígonos o círculos. En cualquiera de los casos, n es el tamaño de la entrada.
Entonces, dada una familia C de curvas en el plano, decimos que los conjuntos P y Q son C-
separables si existe una curva Ci ∈ C, llamada separador, tal que cada componente conexa de R2-
Ci  contiene solamente objetos, o bien de P, o bien de Q. Se dice que un conjunto finito S de
superficies es un separador de conjuntos de objetos en Rd si las componentes conexas de Rd-S
contienen objetos de un solo conjunto.
Si C es la familia de rectas en el plano, tenemos la separabilidad lineal. Dos conjuntos P y Q son
linealmente separables si y sólo si sus cierres convexos no se intersecan. Dos conjuntos disjuntos P
y Q de objetos en el plano son separables por una cuña si existe una cuña que contiene solamente
todos los objetos de uno de los conjuntos. Aquí se estudia el problema de decidir la separabilidad
por cuñas calculando la ubicación de los posibles ápices de cuñas; como una extensión al problema,
se estudia hallar la cuña de ángulo mínimo (máximo). Dos conjuntos disjuntos P y Q de objetos en
el plano son separables por banda si existe una banda, determinada por dos rectas paralelas, que
contiene solamente todos los objetos de uno de los conjuntos. Aquí se estudia el problema de
decidir la separabilidad por bandas calculando el conjunto de intervalos de pendientes de bandas
separadoras; como una extensión al problema, se estudia hallar la banda  mínima (máxima).
Los algoritmos para resolver los problemas de decisión y optimización propuestos anteriormente
se ejecutan en tiempo O(n log n); salvo en el caso de la separación lineal, que  toma tiempo O(n)
[Sea02].
 
Separabilidad líneal   Separabilidad por Cuña  Separabilidad por Banda 
 
Figura 1 
 
Los principales resultados sobre separabilidad con bandas y cuñas, con diferentes versiones
sobre combinaciones y propiedades de ellas, son algoritmos eficientes para decidir la existencia de
los separadores y calcular soluciones factibles. Algunos de estos resultados pueden ser extendidos
en el plano al uso de otros objetos geométricos que no sean puntos y al espacio tridimensional
[HSS03] en donde sólo existen algunos algoritmos para resolver algunos de los problemas vistos.
En este marco, también queda abierto el estudio sobre nuevos criterios de separabilidad. Es decir,
no sólo usar planos o semiplanos, sino otros objetos como pirámides dobles (bipirámides),
cilindros, cónicas, cónicas dobles, etc. En todos los casos resueltos, la complejidad crece
polinomialmente respecto del tamaño de entrada, por lo cual los algoritmos propuestos caen en la
clase de los algoritmos polinomiales.
3. Búsquedas por Rangos
Trasladándonos a las búsquedas por rangos, comenzamos por presentar algunos aspectos
teóricos. Así, se define
• Un Espacio de Rangos como un sistema  Ω = (U, F), donde U es un conjunto de objetos
geométricos y F es una familia de subconjuntos de U. Los elementos de F son llamados
Rangos de Ω.
Por ejemplo: Ω1 = (Rd, { h/ h es un semiespacio en Rd });  Ω2 = (Rd, { h/ h es una bola en
Rd }), etc.
• Dados un espacio de rangos Ω = ( U, F), S  un subconjunto de objetos de U  y R  un rango de
F,  consultar los objetos geométricos que están en S ∩ R.  En este caso, a  R suele llamárselo
rango de consulta (query range).   
El problema real para el cual tiene sentido este estudio, es que el conjunto de objetos
geométricos, S,  es dado con anterioridad y luego, repetidas veces, variando el rango R, se consulta
por la intersección. Entonces, no es suficiente con diseñar un buen algoritmo sino que también se
debe diseñar una estructura de datos apropiada para almacenar el conjunto S, de forma tal que cada
consulta por un rango R, pueda ser respondida eficientemente.
La mayoría de las estructuras de datos para búsquedas o consultas por rango, son construidas de
forma recursiva, dividiendo el espacio de objetos geométricos en varias regiones, con propiedades
geométricas deseables sobre ellas. La búsqueda por rangos, esencialmente,  consiste en buscar los
objetos geométricos que contiene una determinada región (rango) del espacio.
Los análisis de las complejidades tanto en tiempo de construcción de la estructura de datos, en
espacio que ocupa y en tiempos de respuestas de las consultas, depende de la dimensión del espacio,
de la cardinalidad de S, de la estrategia de partición de S y del tamaño de la respuesta de la consulta.
4. La vinculación y el uso de metaheurísticas
Como hemos visto acerca de separabilidad geométrica, tenemos conjuntos disjuntos de objetos
en el plano, los cuales queremos separar acorde a algún criterio de separabilidad. Los conjuntos son
disjuntos debido a alguna propiedad específica de los objetos y de su posición en el espacio. Nos
interesan particularmente las descripciones de las curvas que determinan las regiones que contienen
tales conjuntos disjuntos, dado que ellas constituyen los separadores geométricos. Con esta
información podemos obtener un esquema de partición, en cuyo caso estamos en condiciones de
crear una estructura de datos apropiada para acceder a los puntos. En la figura 2, podemos visualizar
estas ideas:
Á r b o l  T
N u b e  d e  p u n to s , d iv id id a  e n   re g io n e s
p o r  a lg u n a  c a r a c te r ís tic a  d e  lo s  m is m o s
N u b e  d e  p u n to s  S
R a n g o  d e  co n s u lta  G
R e g io n e s  se le c c io n a d a s
p a r a  la  b ú s q u e d a
G
F i g u ra  2
Las consultas se pueden realizar en función de las características dadas de los puntos, o bien, por
rangos. En el primer caso, por ejemplo, podemos solicitar las regiones correspondientes a los puntos
rojos, pudiendo obtener como respuesta una o varias regiones; o también, consultar cuáles son los
diferentes colores existentes. En caso de los rangos, podemos utilizar un rango de consulta que
abarque parte de una región o varias regiones. Por ejemplo, un rango de consulta dado por un
semiplano H, definido por una recta h, puede corresponderse con partes de regiones, con regiones
completas, y posiblemente (es deseable), dejar excluidas regiones íntegras.
Para concluir con estas ideas, hemos creado un árbol de partición, obtenido por medio de la
aplicación de diversos criterios de separabilidad geométrica. Nos planteamos qué cosas podrían
continuar haciéndose, y vemos que se abre un abanico de posibilidades. Por cada hijo de la raíz
podemos analizar qué posibilidades de separación existen y basándose en ello, volvemos a aplicar
algunas de las variantes vistas previamente. Repitiendo proceso con cada hijo, estamos en
condiciones de conformar los diversos niveles del árbol. Observemos que la clasificación en cada
nivel debe realizarse en función de características diferentes de la nube de puntos [GH02a] [GH02b]
[GH03a] [GH03b].
Considerar cuáles son los criterios de separabilidad más propicios para la nube de puntos resulta
una incógnita a resolver y que dependerá, en la mayoría de los casos, de la instancia de la nube de
puntos a tratar.  Así, encontrar la secuencia óptima (o aceptable) de separadores geométricos puede
resultar un problema difícil, lo cual nos puede llevar a la aplicación de distintos tipos de búsquedas
en un espacio considerable de soluciones. Para resolver este problema proponemos el uso de
metaheurísticas.
Entonces, supongamos que llamamos ES a nuestro espacio de soluciones, conformado por todas
las secuencias posibles de separadores de cualquier longitud. Nuestro objetivo consiste en hallar un
x ∈ ES que resulte adecuado; es decir, que represente una secuencia de separadores geométricos
adecuada respecto de alguna métrica en particular como por ejemplo longitud de la secuencia,
complejidad final de la secuencia, entre otras. Ello permitiría obtener una partición del espacio de
rangos que permita crear, finalmente, el árbol de partición como estructura de datos apropiada para
acceder a la nube de puntos.
De acuerdo a lo anterior, podemos ver este problema como de optimización combinatoria, donde
se pueden tratar los siguientes problemas computacionales: i) caracterización del espacio de
búsqueda en cuanto a la posible existencia de soluciones no factibles; ii) optimización: encontrar
una solución óptima; iii) evaluación del costo de las soluciones consideradas.
Como métodos de búsqueda en este espacio de soluciones, se pueden considerar diferentes
clases. Nosotros en particular proponemos las metaheurísticas, dado que permiten resolver
problemas de optimización de interés práctico y, además, estos enfoques incluyen muchas
variaciones, basadas en enfoques de la naturaleza misma, otros en evolución biológica,
neurofisiología, y comportamientos biológicos, entre otros. Algunos ejemplos de estos  son:
simulated annealing (SA), tabu search (TS), algoritmos evolutivos (AE), optimización basada en
colonias de hormigas (OCH), etc.
5. Conclusiones y visión de futuro
Este trabajo de investigación constituye un proyecto de tesis de postgrado y se enmarca dentro de
la línea de investigación Geometría Computacional y Bases de Datos, perteneciente al Proyecto
Tecnologías Avanzadas de Bases de Datos 22/F314, Departamento de Informática, UNSL. Además,
el grupo de trabajo en Geometría Computacional de la UNSL, mantiene un proyecto de
investigación conjunto con la UPM, Proyecto AL2002-1010-2.43/ AL2003-1010-2.55/ AL2004-
1010-2.53. Geometría Computacional, con el objetivo principal de consolidar la línea de trabajo en
la UNSL, aportando nuevos enfoques y técnicas algorítmicas a las líneas de investigación ya
establecidas en su Departamento de Informática. Asimismo, dentro del Departamento de
Informática se está trabajando con el apoyo de integrantes del Grupo LIDIC, de la UNSL, quienes
tienen experiencia en el desarrollo y trabajo de Metaheurísticas.
6. Referencias bibliográficas
[AE98] Agarwal, P.; Erickson, J. Geometric range searching and its relatives; Advances in Discrete and
Comput. Geom. (B. Chazelle,J. Goodman, and R. Pollack, eds.), American Mathematical Society,
Providence, 1998.
[Aga97] Agarwal, P.; Range searching  CRC Handbook of Computational Geometry (J. Goodmand and J.
O'Rourke, eds.).
[AHMS00] Arkin, E.M.; Hurtado, F.; Mitchell,S.B.; Seara, C.; Skiena, S.S.; Some Separability Problems in the
Plane; 16th European Workshop on Computational Geometry, Eilat, Israel, 2000.
[AHMS01]  Arkin, E.M.; Hurtado, F.; Mitchell,S.B.; Seara, C.; Some Lower Bounds on Geometric Separability
Problems; 11th Fall Workshop on Computational Geometry, Polytechnic University, Brooklyn, NY,
2001.
[AM94] Agarwal, P.; Matousek,J.; On range searching with semialgebraic sets; Discrete Comput. Geom., 11:
393-418, 1994.
[BF79] Bentley, J.L.; Friedman, J.H; Data Structures for range searching; ACM Comput. Surv. 11:397-
409;1979.
[BY98] Boissonnat, J.D.; Yvinec, M. Algorithmic Geometry, Cambridge University Press, 1998.
[DHMS01] Devillers, O; Hurtado, F.; Mitchell,S.B.; Seara, C.; Separating Several  Point Sets in the Plane; 13th
Canadian Conference on Computational Geometry, 2001.
[GH02a] Gagliardi, E.O.;  Hernández Peñalver, G.; Geometría Computacional y Bases de datos: Búsquedas por
Rangos y Separabilidad Geométrica. I Workshop de Bases de Datos, Jornadas Chilenas de Ciencias
de la Computación, Copiapó, Chile, 4-9 de Noviembre de 2002.
[GH02b] Gagliardi, E. O.; Hernández Peñalver, G.; Un enfoque propuesto para las Búsquedas por Rangos con
Separabilidad Geométrica. VIII Congreso Argentino de Ciencias de la Computación 2002 (CACIC
2002). Capital Federal, 15-18 de Octubre de 2002.
[GH03a] Gagliardi, E.O.;  Hernández Peñalver, G.; Las búsquedas por rangos en espacios de búsquedas
geométricamente separables. II Workshop de Bases de Datos, Jornadas Chilenas de Ciencias de la
Computación, Chillán, Chile, 3-7 de Noviembre de 2003.
[GH03b] Gagliardi, E. O.; Hernández Peñalver, G.; Separabilidad Geométrica aplicada a las Búsquedas por
Rangos; Workshop de Investigadores en Ciencias de la Computación 2003, WICC 2003. Tándil,
Buenos Aires, 22-23 de Mayo de 2003.
[HMRS99] Hurtado, F.; Mora, M.; Ramos, P.A.; Seara, C.;  Separación de Objetos en el Plano por Doble Cuña y
por Θ-Poligonal; VIII Encuentros de Geometría Computacional, Castelló, España, 1999.
[HNRS01] Hurtado, F.; Noy, M.; Ramos, P.A.; Seara, C.; Separating Objects in the Plane with Wedges and
Strips; Discrete Applied mathematics, Vol 109, pp 109-138, 2001.
[HNRS98] Hurtado, F.; Noy, M.; Ramos, P.A.; Seara, C.; Separating Objects in the Plane with Wedges and
Strips; 110th Canadian Conference on computational Geometry, Montreal, Canadá, 1998.
[HSS03] Hurtado, F.; Seara, C.; Sethia, S.; Red-Blue separability problems ein 3D; to appear in the 19th
European Workshop  on Computational Geometry, Bonn, Germany, March 24-26, 2003.
[Mat94 ] Matousek,J.; Geometric Range searching; ACM Comput. Survey, 26:421-461;1994.
[Mel84] Melhorn, K. Multidimensional Searching and Computational Geometry Springer Verlag 1984.
[Sea02] Seara, C; On geometric separability; Tesis Doctoral 2002, Univ. Politécnica de Cataluña.


Separabilidad geométrica aplicada a las búsquedas por rangos con uso de metaheurísticas

http://sedici.unlp.edu.ar/bitstream/handle/10915/21223/Documento_completo.pdf?sequence=1

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