A diferencia de la aproximación para bases de datos tradicionales, la comunidad de Recuperación de Información siempre ha considerado los resultados de las búsquedas como una lista rankeada de objetos. Dada una consulta, algunos objetos son más relevantes a la especificación de la consulta que otros y los usuarios habitualmente están interesados en los objetos más relevantes, es decir los objetos cuyo ranking es más alto. Este paradigma de búsqueda recientemente se ha generalizado en un modelo en el cual un conjunto de objetos pueden sólo compararse de a pares a través de una medida de distancia que satisface las propiedades de un espacio métrico [CBNM2001], [Samet2005], [ZADB2006].Eje: Ingeniería de Software y Base de DatosRed de Universidades con Carreras en Informática (RedUNCI

Chávez, Edgar

Reyes, Nora Susana

Roggero, Patricia

Spanish

El Servicio de Difusión de la Creación Intelectual

Uso de Grafos Geométricos para Calcular  
Join por Similitud en Espacios Métricos 
 
Nora Reyes, Patricia Roggero 
Departamento de Informática 
Universidad Nacional de San Luis  
(5700), San Luis, Argentina 
Tel (+54 2652) 420823 – Fax 430224 
{nreyes, proggero}@unsl.edu.ar 
 
Edgar Chávez 
Escuela de Ciencias Físico-Matemáticas  
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo  
Morelia, México 
elchavez@fismat.umich.mx 
 
1. Introducción 
A diferencia de la aproximación para bases de datos tradicionales, la comunidad de 
Recuperación de Información siempre ha considerado los resultados de las búsquedas como una 
lista rankeada de objetos. Dada una consulta, algunos objetos son más relevantes a la 
especificación de la consulta que otros y los usuarios habitualmente están interesados en los 
objetos más relevantes, es decir los objetos cuyo ranking es más alto. Este paradigma de 
búsqueda recientemente se ha generalizado en un modelo en el cual un conjunto de objetos 
pueden sólo compararse de a pares a través de una medida de distancia que satisface las 
propiedades de un espacio métrico [CBNM2001], [Samet2005], [ZADB2006]. 
Por ejemplo, considerar los datos de textos como el tipo más común de datos usado para 
recuperación de la información. Como el texto es habitualmente representado como una 
secuencia de caracteres, los pares de secuencias se pueden comparar y decidir la coincidencia 
exacta. Sin embargo, a medida que las secuencias son más largas es menos significativa la 
coincidencia exacta: las secuencias pueden contener errores de cualquier tipo y aún las 
secuencias correctas pueden tener pequeñas diferencias. De acuerdo a [Kukich1992], los textos 
típicos contienen cerca del 2% de errores de tipeo y ortográficos. Esto motiva una búsqueda que 
permita errores, o búsqueda aproximada o búsqueda por similitud, la cual requiere una 
definición del concepto de similitud,  además de un algoritmo para evaluarla. 
Otras numerosas aplicaciones modernas de sistemas de bases de datos, tales como 
multimedia, biología molecular, medicina y análisis de series de tiempo, entre otras, necesitan 
también poderosas herramientas de búsqueda. Los objetos de datos en estas aplicaciones son 
comúnmente representados por vectores de alta dimensión. Una operación común entre esos 
datos es encontrar los k objetos más cercanos o más similares a un objeto de consulta dado, lo 
cual se traduce en una consulta de los k vecinos más cercanos en espacios de alta dimensión.  
Dentro del conjunto de operaciones de búsqueda por similitud, sin duda, son necesarios los 
joins o ensambles por similitud [DGZ2003], [DGSZ2003]. Por ejemplo, considerar una 
colección de documentos de libros y una colección de documentos de discos compactos. Una 
posible consulta podría requerir encontrar todos los pares de libros y discos compactos con 
títulos similares. Sin embargo, el join por similitud no es sólo aplicable a textos. En nuestro caso 
nos interesa el problema desde una perspectiva más amplia y suponemos que las medidas de 
distancia son métricas, de forma tal que extendemos el rango de los posibles tipos de datos a la 
dimensión multimedia, lo que es más habitual para sistemas de recuperación de información 
modernos.  
Para resolver el join o ensamble por similitud con rango r de una base de datos X respecto de 
otra Y, podemos pensar en que queremos emparejar cada elemento de X con aquellos elementos 
de Y que sean suficientemente similares, a distancia a lo más r. Este emparejamiento se puede 
representar por un grafo de disco unitario (GDU) bipartito en el cual los vértices son objetos del 
universo que pertenecen a X o a Y. Dos nodos, uno desde X y otro desde Y, estarían conectados 
por un arco si la distancia entre los objetos es menor que una unidad dada, donde la unidad 
representa un radio de similitud R, el cual esperamos que sea mayor que los radios de similitud 
habituales con los que luego pretenderemos resolver el join.  
Es claro que no se puede mantener completo el grafo GDU que se genere, se necesita 
mantener un subgrafo, llamado subgrafo geométrico, que nos sea útil desde el punto de vista de 
la resolución del join. Existen numerosos tests para obtener subgrafos geométricos con alguna 
característica particular, que dado el grafo GDU determinan para cada arco si éste se mantendrá 
o no en el subgrafo. De todos estos tests se planea utilizar el test de Half-Space Proximal (HSP) 
[CDKOSTU2006], pero dado que la idea es  trabajar en espacios métricos y no en el espacio 
euclidiano, se adaptará HSP a espacios métricos con el objetivo de resolver join por similitud. 
2. Conceptos Previos 
Un tipo de consulta, que combina elementos de dos bases de datos X e Y, donde X, Y ⊆ U, es 
el join por similitud [DGZ2003],  [DGSZ2003]. En este caso nos concentraremos en resolver el 
join por rango, ya que es posible obtener a partir de él los otros considerando un valor de r 
decreciente. 
Join por rango  X >< r Y : obtener todos los pares desde el producto cartesiano de X x Y 
tales que se encuentran a lo sumo a distancia r entre sí; es decir,  obtener el conjunto                   
{ (x, y) / x ∈ X ∧ y ∈ Y ∧ d(x, y) ≤ r }. 
La Figura 1 muestra un ejemplo de un join por rango entre X e Y,   considerando que ambos 
son conjuntos de puntos de R2, en el que mediante flechas bidireccionales mostramos qué pares 
se formarían entre elementos de X e Y, y donde para mayor claridad mostramos circunferencias 
de radio r alrededor de cada elemento de X  que evidencien qué elementos de Y aparecen dentro 
del radio y los elementos de X e Y en diferentes colores y formas. 
 
 
X Y 
r 
 
 
Figura 1: Ejemplos de un join por rango  entre dos bases de datos X e Y, como conjuntos de R2.  YX r><
 
 
3. Half-Space Proximal 
Half-Space Proximal (HSP) es un nuevo test, propuesto en [CDKOSTU2006] para construir 
un  t-spanner de un GDU. Sin embargo, a diferencia del test de Yao [Yao1982], el test HSP 
aplicado a una rotación del grafo GDU G produce una rotación del grafo geométrico (spanner) 
HSP de G. Por lo tanto, las propiedades del grafo geométrico HSP son independientes de la 
orientación del GDU en el plano.  
Test HSP 
Para definir el test HSP se asume que el grafo G = (V, E) es un GDU donde cada nodo v 
tiene coordenadas vx , vy en el plano Euclidiano y cada vértice está asignado a un rótulo entero 
único. 
 
Entrada: un vértice u de un grafo geométrico y una lista L1 de los arcos incidentes con u. 
Salida: Una lista de arcos dirigidos L2 que se retienen para el grafo . HSP
→
(G)
1. Colocar el área prohibida F(u) como ∅ 
2. Repetir lo siguiente mientras L1 no sea vacía 
a. Eliminar desde L1 el arco más corto, digamos [u,v], (cualquier empate es resuelto por el rótulo del 
vértice final) e insertar en L2 un arco dirigido (u, v) con u siendo el vértice inicial. 
b. Agregar a F(u) el semiplano abierto determinado por la línea perpendicular a un arco [u,v] en el 
medio del arco y conteniendo el vértice v (Notar que los puntos sobre la línea no pertenecen al 
área olvidada) 
c. Revisar la lista L1 y eliminar desde ella cualquier arco cuyo vértice esté en F(u). 
 
Una ilustración del test HSP aplicado a un GDU, con puntos en el espacio Euclidiano, se 
muestra en la Figura 2, se hace un acercamiento a un nodo seleccionado y el área prohibida 
aparece sombreada. 
 
  
(a) Conjunto de puntos originales, notar el 
acercamiento realizado en (b). 
(b) El grafo geométrico HSP 
 
 
             (c) Primer Vecino   (d) Segundo Vecino    (e) Tercer Vecino        (f) Cuarto Vecino 
 
Figura 2: Aplicación del test HSP a un GDU. El conjunto original de puntos en el espacio Euclidiano (a), y el 
grafo no dirigido resultante al aplicar el test (b). Un acercamiento alrededor de la vecindad de un nodo 
seleccionado (c) … (e). Observar el área sombreada en (b). 
4. Join por Similitud usando HSP 
Como se ha mencionado se adaptará el test HSP para aplicarlo a espacios métricos y además 
para que sea útil al momento de resolver el problema del join por rango entre dos bases de datos 
X, Y ⊆ U:   X >< r Y .  
Primero se podría fijar un radio R considerado la distancia unidad y el cual se debería elegir 
de manera tal que cubra los radios de join habituales entre X e Y. Luego, se construiría el grafo 
GDU bipartito de forma tal que los arcos vayan de elementos de X a elementos de Y siempre que 
su distancia d sea menor o igual a R. 
Aunque en principio el test HSP se plantea para espacios Euclídeos, se puede observar que 
la eliminación que lleva a cabo el test también se puede aplicar en espacios métricos, hablando 
de hiperplanos en lugar de semiplanos entre dos elementos. 
Entonces, luego de haber obtenido el grafo GDU bipartito G se aplicaría el siguiente test 
HSP,  adaptado a espacios métricos y a nuestro problema, a cada elemento de X para quedarnos 
con el grafo  que se obtendría con el siguiente algoritmo. Además se debería mantener 
alguna información extra, con el fin de poder resolver más eficientemente los joins y aprovechar 
más aún las distancias calculadas [WS1990].    
HSP
→
(G)
Test HSP Adaptado a Espacios Métricos 
Se asume que el grafo G = (V, E) es un GDU bipartito, donde V = X∪Y , donde cada nodo v 
está asignado a un rótulo entero único. 
 
Entrada: un vértice u de un grafo geométrico y una lista L1 de los arcos incidentes con u. 
Salida: Una lista de arcos dirigidos L2 que se retienen para el grafo , donde además con 
cada arco se guarda su distancia y un conjunto de elementos de Y, junto con una distancia. 
HSP
→
(G)
1. Colocar el conjunto prohibido F(u) como ∅ 
2. Repetir lo siguiente mientras L1 no sea vacía 
a. Eliminar desde L1 el arco más corto, digamos (v, u) con dvu (cualquier empate es resuelto por 
el rótulo del vértice final) e insertar en L2 un arco dirigido (v, u) con u siendo el vértice final, 
junto con la distancia dvu. 
b. Agregar a F(u) los objetos y de Y tales que d(u, y) < d(v, y), es decir aquéllos que se 
encuentran en el hiperplano que separa los elementos más cercanos a u de los más cercanos 
a v (Notar que los puntos que se encuentran a igual distancia de v que de u no pertenecen a 
la región olvidada) y registrar la distancia máxima desde u a un elemento en F(u) como 
dmáx(u). 
c. Guardar junto con el arco (v,u) con dvu en L2 el conjunto F(u) y la distancia máxima entre u y 
los elementos en F(u) dmáx(u). 
d. Revisar la lista L1 y eliminar desde ella cualquier arco cuyo vértice esté en F(u). 
 
Ahora que ya se ha determinado el grafo geométrico sobre el cual vamos a trabajar, falta 
analizar cómo usaríamos este grafo para resolver el join por rango  X >< r Y . Por lo tanto el 
trabajo propuesto es el de determinar cómo realizar el join por rango  X >< r Y , entre las bases de 
datos X e Y, usando el grafo  obtenido desde el GDU con radio unitario R,  donde 
consideramos que R ≥ r. 
HSP
→
(G)
5. Conclusiones 
La búsqueda por similitud es un concepto importante en la recuperación de información 
moderna. Sin embargo los costos computacionales de las funciones de similitud son 
generalmente altos, considerar por ejemplo la complejidad computacional del cálculo de la 
distancia de edición entre cadenas de caracteres que es cuadrática. 
Aunque existen numerosas técnicas de indexación para soportar las búsquedas por rango o 
de los k vecinos más cercanos, existen sólo unos escasos estudios de índices para los joins por 
similitud.  
Aquí hemos iniciado el estudio de un nuevo método, que a través de conceptos de teoría de 
grafos y de una adaptación del test HSP,  recientemente presentado, nos permitirá diseñar un 
algoritmo que resuelva el    X >< r Y  entre dos bases de datos X e Y.  
Como trabajo futuro, además hay que analizar el desempeño tanto teórico como 
experimental del algoritmo y demostrar que resuelve el join por rango   X >< r Y . También nos 
resta analizar cómo podemos usar nuestro grafo para resolver el join por rango cuando r > R y 
qué sucede si X = Y, porque es posible que en ese caso algo se pueda simplificar en nuestro 
proceso. 
Para el análisis experimental, deberíamos no sólo probar el algoritmo sobre distintos tipos de 
espacios métricos, de alta y baja dimensión, sino también compararlo contra la solución trivial de 
calcular las distancias de todos contra todos, contra la solución de realizar una búsqueda por 
rango (q, r)d de cada elemento de X dentro de la base de datos Y  y contra algunas de las 
soluciones existentes para resolverlo. 
6. Referencias 
[CDKOSTU2006]  E. Chávez, S. Dobrev, E. Kranakis, J. Opatrny, L. Stacho and J. Urrutia: 
Half-Space proximal: a new local test for extracting a bounded dilation 
spanner of a unit disk graph. Proceedings of OPODIS 2005,  LNCS 3974, 
235-245, 2006. Springer.  
[CNBM2001]  E. Chávez, G. Navarro, R. Baeza-Yates, and J. Marroquín. Searching in 
metric spaces. ACM Computing Surveys, 33(3):273 - 321, September 
2001. 
[DGSZ2003]  Dohnal, V., Gennaro, C., Savino, P., and Zezula, P. 2003. D-index: 
Distance searching index for metric data sets. Multimedia Tools and 
Applications 21, 1, 9 - 33. 
[DGZ2003]  V. Dohnal, C. Gennaro, and P. Zezula. Similarity join in metric spaces 
using eD-index. In Proc. 14th Intl. Conf. on Database and Expert Systems 
Applications (DEXA’03), LNCS 2736, pages 484–493, 2003. 
[Kukich1992]  K. Kukich: Techniques for automatically correcting words in text. ACM 
Computing Surveys, 1992, 24(4) : 377 – 439. 
[Samet2005]  Samet, H. 2005. Foundations of Multidimensional and Metric Data 
Structures (The Morgan Kaufmann Series in Computer Graphics and 
Geometric Modeling). Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco, 
CA, USA. 
[WS1990]  T. Wang, D. Shasha: Query Processing for Distance Metrics, Proceedings 
of the 16th VLDB Conference Brisbane. 1990, 602 - 613. 
[Yao1982]  A.C.-C. Yao, On constructing minimum spanning trees in k- dimensional 
spaces and related problems, SIAM Journal on Computing 11(4) (1982) 
721-736. 
[ZADB2006]  Zezula, P., Amato, G., Dohnal, V., and Batko, M. 2006. Similarity Search: 
The Metric Space Approach. Advances in Database Systems, vol. 32. 
Springer. 
 


Uso de grafos geométricos para calcular join por similitud en espacios métricos

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Uso de grafos geométricos para calcular join por similitud en espacios métricos

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