If we have a system where the Hamiltonian’s self-state is non-degenerate, after a cyclic adiabatic evolution it will return to its initial state plus a phase. This is due to the dynamics of the system and also due to the path traced in R, where R is parameter space that retains memory of its path referring to the system of interest. If we consider this trajectory a closed curve C, we can say that geometric phase is the flux of a field that crosses a given surface bounded by C and Berry’s phase can be rewritten using Stokes’s theorem. Finally we have a local manifestation of invariance of the properties of wave functions in the parameter space which is called Berry curvature. In the context of semiconductors, these developments have changed our conception of the usual band structure theory, which now naturally incorporates issues of topology, dispersion relations, and their self-states. In mathematics, topology studies properties that are not affected by continuous deformations through a topological variety M, and since these properties are somewhat constant by continuous transformations we can say that these are topological invariants.In particular, Thouless, Kohmoto, Nightingale, den Nijs, they showed that in the presence of intense magnetic fields, the quantization oh the quantum Hall conductivity can be understood in terms of a topological invariant, the Chern number; which is calculated by integral of the Berry curvature along the Brillouin zone, and to calculate this integral a beautiful differential theorem of geometry is used, which is primarily due initially to Gauss and Bonnet, and later to the Chinese Chern. Thus, because this theorem connects the geometry of a surface with its topology, we can derive information from it simply by looking at its topology, from a magnitude called genus g, which is invariant by continuous transformations. The genus which is roughly the number of holes contained in a closed surface.CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e TecnológicoTrabalho de Conclusão de Curso (Graduação)Se tivermos um sistema em que o autoestado do hamiltoniano é não degenerado, após uma evolução adiabática cíclica ele retornará ao seu estado inicial acrescido de uma fase devido a dinâmica do sistema e ainda também devido ao caminho traçado no espaço R, onde R é um espaço de parâmetros que retém memória de sua trajetória referente ao sistema de interesse. Se considerarmos essa trajetória uma curva fechada C, podemos afirmar que a fase geométrica é o fluxo de um campo que atravessa uma determinada superfície limitada por C e a fase de Berry pode ser reescrita usando o teorema de Stokes. Por fim temos ainda uma manifestação local de invariância das propriedades geométricas das funções de onda no espaço de parâmetros que é denominada curvatura de Berry. No contexto de semicondutores, estes desenvolvimentos mudaram nossa concepção da teoria de estrutura de bandas usual, que agora incorpora naturalmente questões da topologia das relações de dispersão e de seus autoestados. Na matemática, a topologia estuda propriedades que não são afetadas por deformações contínuas através de uma variedade topológica M e como estas propriedades de certa forma são constantes por transformações contínuas, podemos dizer que estas são invariantes topológicos. Em particular, Thouless, Kohmoto, Nightingale, den Nijs mostraram que na presença de campos magnéticos intensos, a quantização da condutividade do efeito Hall quântico pode ser compreendida em termos de um invariante topológico, o número de Chern, que é calculado através da integral da curvatura de Berry ao longo da zona de Brillouin e para poder calcular está integrar usa-se um teorema belíssimo da geometria diferencial que é sobretudo devido inicialmente a Gauss e Bonnet, e posteriormente, ao chinês Chern. Assim, pelo fato desse teorema conectar a geometria de uma superfície com sua topologia, conseguimos tirar informações da mesma simplesmente olhando sua topologia, a partir de uma grandeza denominada genus g, que é invariante por transformações contínuas. O genus que de modo grosseiro é o número de buracos contidos em uma superfície S fechada
