Se demuestra que en las Aplicaciones de los Métodos Numericos a la Ingenieria, es necesario generar verificar Sucesiones Numéricas para obtener, a la vez, Soluciones Aproximadas y sus correspondientes Estimaciones de Error, requeridas, ambas, cuando no existe Solución Exacta o mientras no se disponga de Soluciones Experimentales clásicas. Se concluye que la Estimación Computacional presentada permite obtener, fácilmente, el Error de Discretizacidn en Aplicaciones del Método de los Elementos Finitos, generando y verificando una Sucesión de Aproximaciones especificas / uh 1 que, en determinadas condiciones, converge como una Serie Geometría de Razón conocida (r)

Conca, J.

Spanish

Scipedia

Revista internacional de mCtodos numéricos para cálculo y diseño en ingeniería. Vol. 3, 1, 15-22(1987) 
ESTIMACION COMPUTACIONAL DEL 
ERROR DE DISCRETIZACION 
JOSE MANUEL GARCIA CONCA 
Centro de Cálculo del INTA 
Ctra. Torrejón-Ajalvir (Torrejón de Ardoz) 
Madrid 
RESUMEN 
Se demuestra que en las Aplicaciones de los Métodos NumCricos a la Ingenierfa, es necesario generar 
y verificar Sucesiones Numéricas para obtener, a la vez, Soluciones Aproximadas y sus correspondien- 
tes Estimaciones de Error, requeridas, ambas, cuando no existe Solución Exacta o mientras no se 
disponga de Soluciones Experimentales clásicas. 
Se concluye que la Estimación Computacional presentada permite obtener, fácilmente, el Error 
de Discretizacidn en Aplicaciones del Método de los Elementos Finitos, generando y verificando una 
Sucesión de Aproximaciones especificas / uh 1 que, en determinadas condiciones, converge como una 
Serie Geometría de Razón conocida (r). 
SUMMARY 
It is shown that in the Applications of the Numerical Methods to Engineering it is neccesary to 
produce and verify Numerical Sequences in order to obtain, at the same time, Approximate Solutions 
and their corresponding Error Estirnates, required, both, when there is no Exact Solution or while 
classical Experimental Solutions are not yet available. 
It is concluded that the Computational Estimate presented allows to obtain, easily, the Discretiza- 
tion Error in Applications of the Finite Element Method, by producing and verifying a specific 
Sequence of Approximations { uh 1 that, in some circunstances, converges like a Geometrical Series 
of known Rate (r) .  
INTRODUCCION 
En la Ingenierfa de Diseño, durante el estudio de un Modelo Matemático determi- 
nado, suele ser necesaria una cierta Discretización del Dominio (D) donde se define la 
Solución Exacta (u) antes de realizar el Cálculo de la correspondiente Solución Aproxi- 
mada (uh )  en el Reticulado Discreto (D,) elegido. Este es el caso, por ejemplo, del 
Análisis de Estructuras mediante el Método de los Elementos Finitos u otros y el de 
otras muchas Aplicaciones. 
E l  Problema fundamental que dicha Discretización plantea al Ingeniero es la  
inexistencia de criterios a priori que le orienten sobre la forma y el tamaño de los 
Elementos, o similares, en cada zona de D,. En definitiva, incluso una vez elegidas 
Recibido: Octubre 1986 
~Universitat Politecnica de Catalunya (España) 
ISSN 0213-1315 
16 J .  M .  GARCIA CONCA 
formas y tamaños locales semejantes que, en principio, parezcan convenientes en una 
Aplicación concreta se carece de indicaciones rigurosas sobre el Diámetro ( h )  que 
caracteriza al Reticulado en cuestión y que garantice un Error de Discretización 
aceptable e, ). 
En efecto, aunque en general la Teorfa permite anticipar que, en cada Punto de D, 
( Runge) : 
para un Diámetro h y un Método de Orden p, nada puede decirse de antemano por ser 
Cp una función desconocida de argumento desconocido y, por tanto, difícilmente 
acotable en general. En estas circunstancias es generalmente imposible utilizar dicha 
expresión para elegir h a priori pese a lo que es práctica habitual en aplicaciones 
académicas ("acotar" Cp) o pragmáticas ("tantear" h). 
En este orden de ideas conviene subrayar que e~ no puede conocerse exactamente 
en general salvo en casos triviales que admitan Solución Exacta, de interes exclusiva- 
mente academico. En otro orden de ideas, las Soluciones Experimentales, pese a su 
enorme valor cientffico, no están disponibles hasta mucho después de haber ultimado 
el Diseño y, por ello, no  tiene utilidad invocarlas en sus etapas intermedias de Cálculo 
en el contexto de la Matemática Aplicada. 
En este contexto, basándose en la expresión (1) y en los propios resultados generales 
de Verificación de Sucesiones (ver Referencias), sin embargo, es posible disponer de 
una alternativa practicable en cada caso concreto. Este procedimiento es una sistemati- 
zación de las prácticas habituales de tanteo y de algunas teoríasclásicas de extrapolación, 
consistente en elegir los Diámetros de la forma (B número natural): 
donde h, se elige arbitrariamente, mientras que B suele ser 2 por razones computacio- 
nales (base digital). 
La combinación de (1) y (2), en determinadas circunstancias, garantiza la Convergen- 
cia de la Sucesión / u, / y, lo que es mas importante, permite asegurar que es Monó- 
tona con Razón: 
función únicamente de B y p, ambos conocidos' de antemano. En definitiva, pues', en el 
Limite deberá tenerse esta Relació'n de Incrementos en la Serie compañera de la 
Sucesión, lo que es directamente verificable como se demostrará e ilustrará a continua- 
ción. 
La estimación de e, es entonces inmediata, como se verá. Es de destacar que dicha 
estimación no hace referencia alguna a Soluciones Exactas y/o Experimentales pero, 
por ello, sólo es aproximada, aunque rdebe serlo en el grado deseado, y no debe 
reemplazar a la estimación final - que solamente puede realizarse en el contexto de la 
Física Experimental en última instancia, supuesta factible. 
FUNDAMENTOS 
El fundamento básico de esta Verificación de Sucesiones es el hecho, demostrado 
e ilustrado en las Referencias propias, de que la Razón de Convergencia es especifica 
de cada Aplicación. En este caso,  anticipad^ en la Introducción, teniendo en cuenta 
que B > 2 y p 2 1 son constante, dicha Razón tambien lo es, de modo que la Conver- 
gencia es Lineal y no demasiado rápida en general1. 
La fundamentación concreta de esta Estimación Computacional estriba en que dicha 
Razón es la Relación entre un término y el anterior de la Serie que genera la Sucesión, 
es decir, la que tiene por término general A u, en este caso. En el Limite, el Error, es 
decir, el Resto de la Serie vale, evidentemente: 
luego dicha Relación es, precisamente, la de los Errores que, según (1) y (2) es, precisa- 
mente, (3) en este caso. 
Esto implica que C, existe, está acotada y tiende a una constante en el Limite o sea 
que el Metodo de Discretización es ~onsi i tente .  Además, para ello no debe haber 
acumulación de Errores de- Redondeo, es decir que el Método sea, además, Estable, 
todo ello de acuerdo con el Teorema de Lax (Consistencia+Estabilidad=Convergencia). 
Es importante, sin embargo, observar que con todo ello no  sb10 se garantiza la 
Convergencia sino, ademas, una Razón de Conyergencia la cual resulta muy facil de 
verificar. Por otra parte, observese que la acotación del Error no  puede hacerse con los 
Incrementos porque éstos son solamente el Termino General de la Serie, de modo que 
su acotación es necesaria peio no suficiente en general. 
En otro orden de ideas y ya, realmente, de cara a las Aplicaciones, es importante 
mantener k pequeño, por razones computacionales, especialmente en Problemas Tridi- 
mensionales. En el caso del Método de los Elementos Finitos con Dominios Tridimen- 
sionales con B=2, cada subdivisiídn del Diámetro Tfpico multiplica porB3=8 elnúmero 
de Elementos, con lo que el número de Puntos y, en consecuencia, el Espacio de 
Memoria y el Tiempo de Cálculo pueden ser prohibitivos. 
En principio esta es una cuestión que no afecta a los Fundamentos. En realidad 
afecta a las Aplicaciones pero sus efectos se minimizan si se toman solamente tres 
valores de k (O, 1 y 2) tanteando con cierto h,  (la elección habitual) como se indica a 
continuación. 
APLICACIONES 
La aplicación de este procedimiento se ilustra con tres Ejemplos: 
1. Cuadratura 
2. Ecuaciones en Derivadas Parciales 
2.1. Método de Diferencias Finitas 
2.2. Método de Elementos Finitos 
1 .  Cuadratura 
Dados fíx) Y e,,, 
1 
Calcular u =i fdx  con e,< e,. 
El Reticulado elegido, por comodidad, es un0 Equidistante, de modo que h es 
constante y nh= l .  
18 J.  M. GARCIA CONCA 
Los Metodos elegidos son dos, ambos de Newton-Cotes, de Ordenes p =2  (Trapecio) 
y 4 (Simpson). 
El h, elegido es 1, por simplicidad, ya que en este caso ello no se traduce en mucho 
más trabajo computacional. 
En el caso. de una función Suave los resultados son absolutamente satisfactorios y 
se han representado en la Figura 1. 
TRAPECIO 
SIMPSON 
CUADRATURA 
Figura 1. 
La interpretacibn de la Figura 1 es que con k=5 se ha conseguido la RazQn de 
Convergencia Limite r = .25 (Trapecio) 6 .O625 (Simpson) y una acotación razonable 
de e, aunque la elección de uno u otro Método dependerá del valor de e, evidente- 
mente2. 
Esta Aplicación es muy elemental y, sin embargo, pone de manifiesto que, incluso 
aqui, la elección de h dista de ser trivial y no puede hacerse a priori en general. 
2. Ecuaciones en Derivadas Parciales 
Dados f(x) y e,, Con A u = -f = O 
Calcular u (x ,y)  con e, < e, 
El Reticulado elegido, por comodidad, es uno Equidistante Cuadrado, con h 
constante, análogamente. 
Los Metodos elegidos son dos y se tratan separadamente. 
ESTIMACION DEL ERROR DE DISCRETIZACION 19 
2.1 Método de Diferencias Finitas 
El Esquema utilizado es el de los Cinco Puntos (p = 2), los Algoritmos empleados 
para la resolución de los Sistema Algebraicos Lineales resultantes son los de Sobrerela- 
jación con Factor Optimo y muy pequeña tolerancia para eliminar los efectos de otros 
Errores (Truncación y Redondeo). 
Los Resultados se han representado en la Tabla 1 solamente para kaX, aunque lo 
mismo se haria para otro u,  de modo que se considera ea escalar, pero no habría 
inconveniente en considerarlo vector si se tomasen las normas vectoriales oportunas. 
TABLA 1 
EDP Poisson-Dirichlet en el Cuadrado MDF 
k 
1 
2 
3 
4 
5 
TABLA 2 
EDP Poisson-Dirichlet en el Cuadrado MEF 
NOTA: Para k mayores se producen anomalfas (incrementos negativos, etc) 
debidos al Redondeo (B=2). 
Umax 
.500000 
S62500 
S82261 
S87564 
S88955 
k 
O 
1 
2 
A umax 
.O625 
.O197 
.O053 
.O0 13 
--- 
NOTA: Para k mayores no hay resultados en el original pero serfan necesarios 
uno o dos pasos más (ver Tabla 1; aunque no se trata del mismo Problema: 
f diferente). 
Umax 
2.6802 
2.7079 
2.7156 
r 
--- 
.3 1 
.26 
.25 
--- 
b u m a x  
0.0277 
0.0077 
--- 
Observaciones 
Limite (p=2) 
Resultado 
r 
--- 
.35 
--- 
Observaciones 
Lejano @=2?) 
Inaceptable 
La interpretación es inmediata, como antes, y es que se ha alcanzado la Razón de 
Convergencia Límite Teórica r =  .25 para k =  4 y una acotación de Error Estimado 
(Tabla 1, ver lo que sigue13 : 
- e,, -- x .25 < 5. x lo-4 
.75 
Esta Aplicación, aunque un tanto academica, ya no es elemental pues la aritmetica 
involucrada es considerable y los errores de los algoritmos auxiliares influyen fuerte- 
mente en la verificación. 
En este caso se conoce la Solución Exacta y esto puede aprovecharse para cotejar la 
estimación correspondiente a k=5 de la que no se conoce el incremento por ser la 
rliltima calculada. La estimación del incremento es inmediata: r veces el anterior, de 
modo que el error estimado es la cuarta parte del arriba obtenido o seamenos de 5 x lo4 
lo que permite asegurar que las tres primeras cifras decimales son exactas; este valor, 
redondeado a la tercera cifra decimal coincide con las tres primeras cifras del valor 
exacto, lo que puede ser aceptable en este contexto: si no lo fuese convendrfa utilizar 
un MCtodo más rápido, es decir, de mayor Orden. 
2.2 Método de los Elementos Finitos 
El Elemento utilizado es desconocido (p ?) ya que los resultados se han tomado de 
las referencias. 
Los Diámetros sucesivos están en la proporción B=2 y se limitan a los tres imprescin- 
dibles según se ve en la Tabla 2. (ver6 Capitulo 7 Tabla 7.1). 
La interpretación de la Tabla 2 es simple: se aprecia una Convergencia Mon6tona. 
Sin embargo, la aplicación del procedimiento anterior indica claramente que (r1=.35) 
se está lejos del Limite (presumiblemente r=.25) y, por tanto, dichos resultados son 
inaceptables; hay que seguir iterando (o cambiar de Elementos). 
Es importante insistir en que en las Aplicaciones no basta con elegir Métodos 
Convergentes: hay que asegurarse de haberlos llevado al Limite pues, de otro modo, 
dichos resultados no tienen sentido alguno y se compararán muy mal con la Solución 
Yxacta y/o las Experimentales y en este sentido este procedimiento es, evidentemente, 
de gran ayuda incluso cuando, como en este caso, se tiene muy poca información 
sobre la Sucesión de Aproximaciones. 
Esta Aplicación, inicialmente académica, ilustra un hecho frecuente en la práctica 
profesional: la elección tentativa de un Diámetro no sirve ni siquiera cuando se completa 
con las tres mínimas aquí sugeridas, si no se verifica la Convergencia como ahora se 
ha hecho, aunque el resultado haya sido negativo en apariencia: al menos se sabe que 
los resultados son inaceptables por haber truncado prematuramente la Sucesión, es decir 
son cualitativamente rechazables como aproximación de los exactos en el contexto de 
la Matemática Aplicada: la cifra de las centésimas es errónea. 
CONCLUSIONES 
La Discretización de todo Modelo Matemático implica la Elección de Reticulados & 
y, en particular, la Selección de un Diámetro h ,  así como la de un Metodo de Orden p 
que determinan el correspondiente Error de Discretización, según (1). 
20 J .  M. GARCIA CONCA 
-- 
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ESTIMACION DEL ERROR DE DISCRETIZACION 2 1 
Las Estimaciones de dicho Error e~ no  pueden basarse, en la práctica, en el conoci- 
miento previo de la Solución Exacta u ni en la obtención posterior de una Solución 
Experimental U, ambas inexistentes o no disponibles en las etapas intermedias de 
Cálculo en un Diseño determinado. 
Esta Estimaci~n Computacional es una alternativa, entre acaddmica y experimental, 
practicable en todos los casos, que s610 requiere generar y verificar una Sucesión de 
Aproximaciones uh correspondiente a Reticulados Semejantes según (2). 
Este Procedimiento, en determinadas circunstancias, garantiza una Convergencia 
Monótona de Razón Conocida, según (3) y cuya verificación permite, en todo caso, 
decidir si se ha llegado o no al Límite y, en su caso, decir cuál es el Error, según (4). 
El costo de este Procedimiento, que es minimo cuando sólo se utilizan tres Diáme- 
tros, es el cálculo de un número de casos adicionales, dos como iminimo, lo que se 
traduce en unas mayores necesidades de Memoria y Tiempo de Cornputadora, depen- 
dientes de Modelo, que pueden llegar a ser prohibitivas según se ha ilustrado y se detalla 
en las Referencias. 
En definitiva, es necesario y factible tener una estimacibn del error en cada caso 
concreto durante el Diseño, aún a costa de incrementar el Cálculo requerido, como en 
la estimación computacional propuesta. 
AGRADECIMIENTOS 
El autor desea agradecer a los Editores de esta Revista y Organizadores del Simposio 
la doble oportunidad de exponer este tema en ambos contextos ampliando asf la 
difusión del mismo a ámbitos más extensos y específicos donde este procedimiento 
pueda ser utilizado y/o discutido. 
REFERENCIAS 
1. J .  M. Ga CONCA, Verificación de Sucesbnes Numtricas IAA, nP 154, (1976). 
2. J. M. Ga CONCA, Algunas Contribuciones al Análisis de Sucesiones Numkricas IAA, n? 265, (1985). 
3. J.M. Ga CONCA, Nuevas Verificaciones de Sucesiones INTA, (1986). 
4. J .  M. G? CONCA, Verification par ordinateur de Successions, XIX Congres National d Analyse 
Numerique, (1986). 
5. J. M. G.? CONCA, Estimación Computacional del Error, II Simposio Aplicaciones MEF en la Inge- 
niería, (1986). 
6. A. J. DAVIES, Tke FEM: a first approach. Oxford, (1980). 



Estimación computacional del error de discretización

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Estimación computacional del error de discretización

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