En el presente trabajo se realiza un estudio estadístico de series de irradiación solar global diaria, empleando la metodología del análisis estructural, para datos tomados en las ciudades de Córdoba, Marcos Juárez y Paraná. Se ha desarrollado la teoría estadística correspondiente a fin de presentar respectivos modelos para poder generar sintéticamente valores de radiación diarios, lo que permite realizar pronósticos con una muy alta confiabilidad (99%).In this paper a statistical time series treatment for daily global solar irradiance by using structural analysis method is done, with data corresponding to Córdoba, Marcos Juarez and Paraná cities. In order to present models for generating synthetic daily global irradiance values for these cities, the statistical theory was developed which allow us to make forecasting with a high confidence level (99%).Asociación Argentina de Energías Renovables y Medio Ambiente (ASADES

Avila Blas, Orlando José

Grossi Gallegos, Hugo

Spanish

SEDICI - Repositorio de la UNLP

 
 
 
 
 
MODELOS ESTADÍSTICOS ESTRUCTURALES DE SERIES DE IRRADIACIÓN SOLAR GLOBAL 
DIARIA PARA CÓRDOBA, MARCOS JUÁREZ Y PARANÁ 
 
Orlando José Avila Blas1 y Hugo Grossi Gallegos2 
1Av. Bolivia 5150, (4400) Salta, Argentina, Tel. : (0387) 4255385, Email :  oblas@unsa.edu.ar 
2Rutas 5 y 7, (6700) Luján, Buenos Aires, Argentina, Fax: (2323) 425795, Email: grossi@mail.unlu.edu.ar 
 
RESUMEN - En el presente trabajo se realiza un estudio estadístico de series de irradiación solar global diaria, empleando la 
metodología del análisis estructural, para datos tomados en las ciudades de Córdoba, Marcos Juárez y Paraná. Se ha 
desarrollado la teoría estadística correspondiente a fin de presentar respectivos modelos para poder generar sintéticamente 
valores de radiación diarios, lo que permite realizar pronósticos con una muy alta confiabilidad (99%). 
Palabras clave: irradiación solar global, estadística, modelado estructural, pronósticos. 
 
INTRODUCCION 
 
Para las predicciones a largo plazo del comportamiento de los sistemas de aprovechamiento de la energía solar a menudo sólo 
hace falta un conocimiento de los valores medios mensuales de la irradiación global diaria disponible en una localidad (por 
ejemplo, sistemas domésticos de colectores planos para calentamiento de agua). Pero para otras aplicaciones es necesario una 
simulación detallada para la que se requieren datos diarios (o aún horarios) y este tipo de información generalmente no se 
dispone o las series existentes tienen poco desarrollo temporal. Esto dio lugar a que se buscaran alternativas que permitieran 
satisfacer esta demanda. 
 
Pueden diferenciarse tres etapas en el siglo pasado dentro de la estadística de la radiación solar. La primera de ellas, en la 
década del ‘20, fue la marcada por la contribución de Ångström (1924) quien vinculó la información de horas de insolación 
con la radiación global; la segunda, que dio un verdadero impulso a esta rama de la investigación, fue concretada por los 
pioneros Liu y Jordan (1962), quienes analizaron la distribución de probabilidad de la radiación solar recibida en varias 
localidades canadienses y norteamericanas descubriendo una serie de regularidades en los datos de irradiación global y 
difusa, tanto diarios como horarios. Finalmente, a fines de los años ‘70 y comienzos de los ‘80, los investigadores 
comenzaron a utilizar la teoría de modelización estocástica para generar series temporales (series sintéticas, indiferenciables 
de las reales) de valores diarios de irradiación (Brinkworth, 1979; Aguiar et al., 1988; Graham et al., 1988). 
 
En los años más recientes, se han propuesto métodos estadísticos de generación de series de irradiación horaria (Aguiar, 
1992),  utilizando modelos basados en el tratamiento de Box y Jenkins, es decir, modelos ARIMA(p,d,q), también se han 
modelado series para la ciudad de Salta, específicamente para la localidad de Cerrillos, haciendo uso de la metodología de los 
modelos estadísticos estructurales (Avila Blas et al, 1999, 2000). En este último caso, se obtuvieron muy buenos resultados, 
empleando el denominado modelo de “volatilidad estocástica”, permitiendo que la varianza asociada a los disturbios de la 
serie pueda variar aleatoriamente y sin la necesidad de imponer sobre ellos la condición de tener una distribución normal o 
Guassiana (hecho muy relevante, ya que los datos asociados a radiación no poseen este tipo de distribución). En el presente 
trabajo se han modelado series de irradiación global diaria para las ciudades de Córdoba, Marcos Juárez y Paraná a partir de 
datos medidos por la Red Solarimétrica. Cada una de ellas tiene una longitud distinta y además características especiales que 
las hacen diferentes de la serie de valores estudiada para Salta, aunque finalmente, salvo el enfoque especial introducido para 
el tratamiento de ellas mediante el suavizado y filtrado de Kalman, sus respectivos modelos pertenecen a la “familia de 
volatilidad estocástica”. 
 
ANÁLISIS ESTADÍSTICO ESTRUCTURAL EMPLEADO 
 
La idea básica de los modelos estructurales de series temporales es que ellos pueden ser puestos como modelos de regresión 
en donde las variables explicativas son funciones del tiempo, con coeficientes que pueden cambiar a través del tiempo. La 
estimación actual de los coeficientes ó filtrada, se logra poniendo al modelo en forma de espacio de estado y aplicándole 
luego el denominado Filtro de Kalman. mejor de los estimadores en todos los puntos de la muestra usando al conjunto de 
observaciones. La magnitud por la cual los parámetros pueden variar está gobernada por los llamados hiperparámetros; éstos 
pueden ser estimados por el método de máxima verosimilitud, construyendo la función específica a optimizar.  
 
El tratamiento estadístico de los modelos estructurales de series de tiempo está basado en la forma de espacio de estado, el 
filtro de Kalman y el suaviazador asociado. El suavizador se usa para estimar los componentes que no son observables, como 
por ejemplo, tendencia y estacionalidad, y para el cálculo de estadísticos que son empleados para detectar observaciones 
atípicas (“outliers”) y cambios estructurales. El enfoque de espacio de estado es particularmente interesante de ser empleado 
                                                 
1 Probabilidades y Estadística, Departamento de Matemática, Fac. Cs. Exactas - UNSa 
2 División Física, Universidad Nacional de Luján, Miembro de la Carrera del Investigador del CONICET 
               ASADES 
Avances en Energías Renovables y Medio Ambiente 
Vol. 6, Nº 2, 2002.  Impreso en la Argentina.  ISSN  0329-5184 
 
11.07 
cuando la serie tiene datos faltantes o han sido incorporados temporalmente. En este trabajo, se ha tomado como 
representación matemática del modelo general de espacio de estado relaciona al vector de disturbios {εt} con el vector de 
observaciones {y t } a través de un proceso de Markov {α t }, a : 
 
                                                  y t = Z t α t + G t ε t  ,         ε t ~ f(0, H t) 
                                                 α t = T t α t-1 + H t η t ,     η t ~ f(0, Q t) ;   α0 ~ f(a0 , P0 ) , t=1,…,T                                       (1) 
 
donde αt es el vector de estado de orden mx1, εt es un vector de disturbios de orden kx1 y las matrices del sistema Z t, T t, G t, 
y Ht tienen dimensiones Nxm, mxm, Nxk y mxk respectivamente. La densidad f no es necesariamente normal o Gaussiana. 
Los disturbios son ruido blanco mutuamente no correlacionados con medio cero y varianza Ht. Cuando se supone 
normalidad, los disturbios son independientes entre sí. Las matrices G t y H t pueden interpretarse como matrices de 
selección, lo que le brinda generalidad al modelo. Las cuatro matrices son fijas y si en ellas hubiere elementos desconocidos, 
se incorporan al vector Ψ de hiperparámetros, el que es estimado por máxima verosimilitud.  Los estadísticos de prueba 
usados para la bondad de ajuste son : el BS (de Bowman y Shenton) que emplea estimadores de la asimetría y de la kurtosis 
de los datos ;  el Q (de Box-Ljong) para la autocorrelación seriel y el de DW (de Durbin y Watson), los que junto con otros 
estadísticos adicionales, califican según sus valores, al modelo como adecuado para  ajustar a los datos observados. 
 
Las series originales analizadas en este trabajo, constan de  T=5053, T=2699 y T=8402 valores promedios diarios de 
irradiación solar global diaria, respectivamente. La falta de normalidad en los datos, la presencia de outliers (en poca cantidad 
y de valores grandes) y períodos sin mediciones, que es el caso de las series aquí tratadas (Figuras 1, 3 y 5) (en el eje de las x, 
se representa el número de día de observación).  Se observa además que los respectivos correlogramas (Figuras 2 , 4 y 6) 
muestran un proceso de convergencia excesivamente lento (en estos gráficos, el eje de las x es adimensional, por tratarse de 
un índice relativo).  
 
  
Figura 1: Serie de irradiación para Córdoba (MJ/m2)                       Figura 2: Correlograma de la serie para Córdoba 
  
  
Figura 3: Serie de irradiación para Marcos Juárez (MJ/m2)             Figura 4: Correlograma de la serie para Marcos Juárez 
 
  
Figura 5: Serie de irradiación para Paraná (MJ/m2)                       Figura 6: Correlograma de la serie para Paraná 
11.08 
Estos aspectos sugieren el empleo de un tratamiento más complejo que implica el uso de una función de verosimilitud, a 
maximizar por métodos iterativos, dado que las ecuaciones ortogonales asociadas no son lineales. En este sentido, hemos 
intentado varios modelos previos  para cada serie, entre los cuales se pueden citar a: 
 
1) el uso de modelos de volatilidad estocástica simple, aplicados en forma directa a la serie original: 
 
 yt  = σ t ε t  =σ ε t exp(h t /2) ,  ε t ~ IID(0, 1),    t=1,…,T 
                                                         h t =φ h t-1 + η t    ,   η t ~ NID(0, ση2),       |φ| ≤ 1                                                              (2) 
 
donde el término σ2 es un factor de escala, φ es un parámetro y η t  es un término de disturbio que se considera no 
correlacionado con  ε t.  Los valores φ, ση2  y σ, son  en este modelo los hiperparámetros a estimar. 
 
2) el tratamiento de las series de disturbios mediante procesos iterativos, donde se supone que éstos tienen una 
densidad de probabilidad que es una combinación lineal de dos distribuciones normales ó de una distribución 
normal y una distribución t de Student. 
  
Lamentablemente, ninguno de éstos modelos dieron resultados estadísticos confiables, especialmente al analizar la 
información brindada por los estadísticos usados para mediar la bondad del ajuste (BS, Q y DW). 
 
Un tercer tratamiento, el cual resultó ser la solución a nuestro problema de modelado, consiste en tratar a las series de 
disturbios como una combinación lineal de dos distribuciones de tipo t de Student, de la forma 
 
                                                                                    h(ε t) = (1-β) h 1 (t)+ β h 2 (t)                                                             (3) 
 
donde las funciones h 1 y h 2 son densidades de Student con n1 y n2 grados de libertad respectivamente, es decir: 
 
                                      h i (ε t ) =  [c(ni) /  σε ][1+ε 2t(c(ni)-2)-1 σε-2 ]- (c(ni) +1)/2   , ni  > 2,  i=1,2                          (4) 
 
en esta expresión, se considera que las las c(ni) son constantes y se escriben de este modo, de manera que la varianza residual 
σε
2  
se mantiene también constante, a fin de independizar relativamente la estimación de estos parámetros en el proceso de 
estimación de los hiperparámetros asociados al modelo estructural correspondiente. 
 
La densidad h 1  tiene como objetivo principal representar la mayor parte de la distribución real de los disturbios y h 2 tiene 
como función manejar solamente un número relativamente pequeño de datos atípicos o “outliers” numéricamente grandes. 
 
Teniendo en cuenta que podemos expresar a los disturbios como ε t = y t - Z t α t , es importante determinar el índice de 
contribución relativa de la densidad compuesta h a la distribución conjunta del vector de estado α y el vector de datos y T, el 
cual se determina como 
 
      I={∂ log h( y t - Z t α t )/∂ α t }/{∂P(α t, y T)/∂ α t }= Z’ t h(ε t)-1( y t - Z t α t )[(1-β)( c(ni)-2) h 1 (t)+ β (c(ni)-2) h 2 (t)]      (5) 
 
 Y entonces, proponiendo la ecuación del estimador del desvío estándar (S) de los disturbios como 
 
                                        [Sε2(ε t )]-1 = (n1 + n2 +2) σε2 / (n1 + n2 - 4)                                         (6) 
 
y tomando el valor ε*t = y t - Z t α* t , a partir del valor experimental α* t , la ecuación de contribución relativa adopta la forma  
 
                                          I = [Sε2(ε t )]-1 Z’ t ( y t - Z t α t )                                                              (7) 
 
la que ahora tiene una forma cuasi-Gaussiana estándar,  y en consequencia podemos aplicarle el método de suavizado y 
filtrado de Kalman (SFK) a la serie transformada por el modelo de volatilidad estocática, para realizar las estimaciones 
asociadas al modelo original. En el caso especial de las series bajo estudio, se ha logrado trabajar cómodamente con un muy 
alto nivel de confiabilidad (99%), es decir, un nivel de riesgo del 1%. 
 
ANALISIS ESTADISTICO DE LAS SERIES 
 
Una vez realizado el tratamiento estadístico descripto en las ecuaciones (5) a (7), para cada serie de datos, hemos llegado a 
los correspondientes modelos finales, que presentan la siguiente estructura genérica (lo que queda corroborado por  los 
valores de los estadísticos asociados a la bondad de ajuste : BS, Q y DW).  
yt  = σ t ε t  =σ ε t exp(h t /2) ,  ε t ~ IID(0, 1),    t=1,…,T 
                                                              h t =φ h t-1 + η t    ,   η t ~ NID(0, ση2),       |φ| ≤ 1                                                     (8) 
 
El término σ2 es un factor de escala, φ es un parámetro y η t  es un término de disturbio que se considera no correlacionado 
con  ε t. 
11.09 
En este tipo de modelo no podemos realizar directamente la maximización de la función de verosimilitud a fin de aplicar el 
Filtro de Kalman como en los modelos básicos. Sin embargo, podemos aplicar un método de cuasi-máxima verosimilitud 
(QML), fácil de aplicar y razonablemente eficiente. El mismo está basado en la siguiente aproximación en serie de Taylor : 
 
                              log yt2 ≅ log (yt2 + 0.02 sy2) -  0.02 sy2 / (yt2 + 0.02 sy2) ,   t=1,…,T                                                             (9) 
 
donde sy2 es la varianza de los datos.  
 
Finalmente, los modelos particulares para las 3 series bajo estudio, y que responden a la ecuación (8), tienen respectivamente 
los valores característicos que se indican en la Tabla 1. 
 
Localidad σ φ ση2 Cantidad de períodos 
para pronósticos 
Nivel de 
significancia 
Córdoba 1.324 0.992 0.780 53 1% 
Marcos Juárez 1.444 0.997 0.173 60 1% 
Paraná 1.301 0.986 0.107 50 1% 
 
Tabla 1: Valores característicos estimados de los hiperparámetros para el modelo estructural final. 
 
Cabe destacar que para cada una de las tres series se logró en promedio obtener la convergencia apropiada, al maximizar la 
función de verosimilitud, en un promedio de 30 iteraciones. Además, el cambio relativo promedio para todos los 
hiperparámetros fue del orden de 10-16 , y para el vector de estado, del orden de 10-10 
 
Teniendo en cuenta que la etapa más dificultosa del procedimiento de ajuste y estimación en los modelos estructurales de 
series de tiempo es usualmente la estimación de los hiperparámetros, estos resultados son altamente satisfactorios 
 
Los resultados analíticos se pueden corroborar con las gráficas para el tratamiento residual (Figuras 7, 9 y 11) y de pronóstico 
( comparadas con las series originales, en Figuras 8, 10 y 12), una vez que se les aplicó a las series originales el tratamiento 
estadístico anteriormente indicado. 
 
  
Figura 7: Correlograma residual para Córdoba                                Figura 8: Predicciones 53 días hacia delante (Córdoba) 
 
  
 
Figura 9: Distribución empírica residual para Marcos Juárez         Figura 10: Predicciones 60 días hacia delante (M. Juárez) 
 
 
11.10 
Figura11 : Correlograma residual para Paraná                                 Figura 12: Predicciones 50 días hacia delante (Paraná) 
 
 
  
CONCLUSIÓN 
 
Mediante el empleo del tratamiento estructural de series de tiempo, se consiguió modelar series de valores de irradiación 
global diaria medidas por la Red Solarimétrica, con una bondad de ajuste muy buena, lo permite realizar estimaciones a corto 
plazo con una confiabilidad alta (99%), además de poder realizar estas predicciones a largo plazo (todas superiores a los 50 
días). El procedimiento utilizado difiere de los que habitualmente se encuentra en la bibliografía citada y que tienen vasta 
difusión entre los investigadores; además, el haberlo ensayado ya con muy buenos resultados en cuatro ubicaciones que 
presentan diferencias apreciables por la longitud de sus series y la ubicación geográfica de las estaciones de medición permite 
pensar en la recomendación del uso de esta metodología de manera más general para la simulación detallada del 
comportamiento de sistemas de aprovechamiento de la energía solar que así lo requieren.  
 
REFERENCIAS 
 
Abril J. C. (2000) Análisis Estadístico de Series de Tiempo Basado en Modelos de Espacio de Estado, 1ª. Edición. EUDEBA, 
Buenos Aires. 
Aguiar R. y Collares Pereira M. (1992) Tag: A time dependent, autoregressive, gaussian model for generating synthetic 
hourly radiation. Solar Energy 49, 3, 167-174. 
Aguiar, R.J., Collares-Pereira, M. and Conde, J.P. (1988) Simple procedure for generating sequences of daily radiation values 
using a library of Markov transitions matrices. Solar Energy vol. 40 No. 3, pp. 269-279. 
Ångström, A. (1924) Solar and terrestrial radiation. Q. J. R. Meteorol. Soc.  vol. 50,  pp. 121-125. 
Avila Blas O. J., Abril J. C. y Lesino G. (1999) Análisis estadístico estructural de series de radiación diarias. Avances en 
Energías Renovables y Medio Ambiente 3, 2, 11.17-11.20. 
Avila Blas O. J., Abril J. C. y Lesino G. (2000) Radiación y temperaturas diarias: Un modelo de correlación estructural. 
Avances en Energías Renovables y Medio Ambiente 4, 2, 11.31-11.36 
Brinkworth, B.J. (1979) Autocorrelation and stochastic modelling of insolation sequences. Solar Energy vol. 19, pp. 343-348. 
Graham, V. A., Hollands, K.G.T. and Unny, T.E. (1988) A time series model for Kt with application to global synthetic 
weather generation. Solar Energy vol. 40 No. 2, pp. 83-92. 
Harvey A. y Shepard N. (1993) Structural Time Series Models, Handbook of Statistics 11, 621-302. 
Liu, B.Y.H. and Jordan, R.C. (1960) The interrelationship and characteristic distribution of direct, diffuse and total radiation. 
Solar Energy vol. 4 No. 3, pp. 1-19. 
 
ABSTRACT – In this paper a statistical time series treatment for daily global solar irradiance by using structural analysis 
method is done, with data corresponding to Córdoba, Marcos Juarez and Paraná cities. In order to present models for 
generating synthetic  daily global irradiance values for these cities, the statistical theory was developed which allow us to 
make forecasting with a high confidence level (99%). 
 
 
 
 
 
 
11.11 


Modelos estadísticos estructurales de series de irradiación solar global diaria para Córdoba, Marcos Juárez y Paraná

http://sedici.unlp.edu.ar/bitstream/handle/10915/80618/Documento_completo.pdf?sequence=1

Modelos estadísticos estructurales de series de irradiación solar global diaria para Córdoba, Marcos Juárez y Paraná

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

SEDICI - Repositorio de la UNLP