Connectivity of graph easily can be given when we see it with the bare of eyes, but needs an algorithm that can assure the connectivity in computerization. Some graphs require the connectivity in their definitions, such as Hamiltonian graph, Eulerian graph and tree. The connectivity become important in order to solve any of graphs' problems by using computer technology. Most of the algorithm cannot run perfectly, if the graph which is given was not connected. It is happened to Djikstra and Prufer graphs for example. However, this study will provide the solution by modifying Prufer algorithm to show the connectivity in the graph

Aiyub, Al

Ihsan, Mahyus

Zuhra, Rahma

Indonesian

Jurnal Natural

 Jurnal Natural Vol. 13, No. 1, 2013  19  IDENTIFY CONNECTIVITY GRAPH USING A MODIFIED PRÜFER’S ALGORITHM LABELLING TREES    Al Aiyub, Mahyus Ihsan, Rahma Zuhra  Multimedia Research Group Jurusan Matematika FMIPA Universitas Syiah Kuala Darussalam - Banda Aceh    Abstract. Connectivity of graph easily can be given when we see it with the bare of eyes, but needs an algorithm that can assure the connectivity in computerization. Some graphs require the connectivity in their definitions, such as Hamiltonian graph, Eulerian graph and tree. The connectivity become important in order to solve any of graphs' problems by using computer technology. Most of the algorithm cannot run perfectly, if the graph which is given was not connected. It is happened to Djikstra and Prufer graphs for example. However, this study will provide the solution by modifying Prufer algorithm to show the connectivity in the graph.  Keywords: graph, connectivity, algorithm, Djikstra’s algorithm, Prufer’s algorithm.  I. PENDAHULUAN  Penggunaan graf dalam berbagai bidang untuk menyelesaikan berbagai macam persoalan telah menjadi  hal  yang  lazim  sekarang  ini.  Contohnya pada kasus pencarian jarak terpendek suatu rute perjalanan angkutan kota di suatu daerah. Sebuah graf G memuat 2 himpunan berhingga yang dinyatakan dengan V dan E. Tiap elemen dari himpunan  V  disebut  sebagai  vertek  dan  setiap elemen dari himpunan E disebut sebagai sisi yang merupakan  pasangan  tak  terurut  dari  2  vertek. Vertek  yang  berderajat tepat 1  pada  graf  disebut dengan leaf dan vertek yang berderajat 0 disebut sebagai isolate vertek [4].  derajat untuk sebarang vertek v  dari graf  merupakan jumlah berapa kali vertek v menjadi titik ujung dari suatu sisi dan dinotasikan dengan d(v) [8].  Sebuah graf G yang terkoneksi dan tidak memuat cycle di dalamnya maka graf G dikatakan sebagai tree [6]. Tree merupakan jenis graf yang sering dipakai    untuk  memodelkan rute perjalanan, pengeluaran biaya dalam   suatu  proyek,  rute pemasangan  kabel  dengan  tujuan dapat meminimumkan waktu dan biaya dikarenakan tree tidak memuat   cycle. Untuk   memudahkan penulisannya, tree dapat dibuat dalam bentuk label dan label tersebut dapat di-rekonstruksi kembali menjadi bentuk tree yang isomorfis [4]. Dalam menyelesaikan masalah pada  tree  seperti masalah pembentukan label atau pencarian jarak terpendek untuk tree berukuran kecil dapat dilakukan secara manual, sedangkan untuk tree yang berukuran besar dibutuhkan media komputer untuk memudahkan dalam  penyelesaiannya. Algoritma yang tepat dibutuhkan agar komputer dapat menyelesaikannya dengan cepat dan efisien. Algoritma  dapat diartikan sebagai prosedur komputasi yang terdefinisi dengan baik yang mengambil beberapa nilai  sebagai  masukan dan menghasilkan   beberapa   nilai   sebagai   output. Sebuah algoritma juga dapat dikatakan sebagai urutan langkah komputasi yang mengubah input menjadi output [1]. Setiap algoritma memiliki tingkat  kompleksitas  yang  berbeda-beda. Kompleksitas suatu algoritma diukur dari waktu (time) dan ruang (space) yang dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu proses semakin cepat waktu penyelesaian dan semakin kecil ruang yang dibutuhkan maka semakin bagus algoritmanya dan sebaliknya [2].  Algoritma akan  berjalan dengan baik  jika  input yang diberikan sesuai dengan apa yang dibutuhkan oleh algoritma. Misalkan pada  proses pembentukan label  dengan   menggunakan algoritma Prüfer dan proses penentuan jarak terpendek dengan   menggunakan algoritma Djikstra.   Secara komputasi, kedua algoritma ini tidak  akan  berkerja  sempurna  untuk  suatu  graf yang   tidak   terhubung.   Suatu   graf   dikatanan  Identify Connectivity Graph Using a Modified Prüfer’s Algorithm Labeling Trees (Al Aiyub et al.)  20          terhubung jika dan hanya jika ada jalan (path) yang menghubungankan setiap pasangan vertek dari graf [7]. Untuk menjamin keterhubungan graf ini diperlukan suatu validasi input yang dapat mengetahui graf atau tree yang diberikan terhubung atau tidak. Dalam penelitain ini akan ditunjukkan bahwa bagaimana memodifikasi algroitma Prüfer dalam pembentukan label  sehingga dapat menentukan suatu graf terhubung atau tidak terhubung.  II. METODOLOGI  Analisa proses kerja algoritma Prüfer dalam pembentukan label  Algoritma Prüfer dalam pembentukan label terdiri dari 5 langkah yaitu: 1.  Inisialisasi i = 0, dan Ti = T 2.  Temukan  leaf  Ti    dengan  label  paling  kecil sebagai v 3.  Simpan label vertek yang berdekatan dengan v 4.  Hapus v dari Ti untuk membuat tree baru Ti+1 5.  Jika Ti+1 = K2 maka berhenti. Jika Ti+1> K2 maka tambahkan i dengan 1 dan kembali ke langkah 2.  Dimana i menunjukkan indeks iterasi, T merupakan tree, v vertek terkecil yang terdapat dalam T, dan K2 merupakan graf komplit dengan 2 vertek.            Gambar 1. Bentuk awal graf T.  Bila diberikan suatu input graf T yang diperlihatkan pada Gambar 1, proses kerja algoritma Prüfer dalam menangani graf tersebut adalah sebagai berikut:     Iterasi i = 0,  T0 = T, v = 4 karena 4 adalah leaf terkecil dari T0, 1 disimpan sebagai label, dan vertek  v  beserta  sisi  yang  berdekatan dihapus dari   T0    untuk   membentuk   T1    seperti   pada Gambar 2.           Gambar 2. T1 yang terbentuk pada iterasi I = 0.    Iterasi I = 1, v = 1 karena 1 adalah leaf terkecil dari T1, 6 disimpan sebagai label, dan vertek v beserta sisi  yang berdekatan dihapus dari T1 untuk membentuk T2 seperti pada Gambar 3           Gambar 3. T2 yang terbentuk pada iterasi i = 1.   Iterasi i = 2 tidak bisa dilanjutkan lagi dikarenakan tidak ada lagi leaf yang dapat dipilih sebagai v padahal hasil akhir dari algoritma yaitu sederatan label dan terbentuknya graf komplit dengan 2 vertek.  III. HASIL DAN PEMBAHASAN  Hasil analisa dari proses kerja algoritma Prüfer memperlihatkan bahwa algoritma tersebut tidak akan bekerja untuk sebuah graf yang tidak terhubung sehingga dengan memodifikasi algoritma tersebut dapat menentukan suatu graf terhubung   atau   tidak.   Adapun   modifikasinya adalah sebagai berikut:  1.  Inisialisasi i = jumlah sisi, and Ti = T 2.  Selama i ≥ 0 dan tidak ada isolate vertek di dalam Ti    jika tidak terdapat vertek berderajat 1 maka hapus satu sisi dari vertek v yang paling kecil indeks dan derajatnya serta berdekatan dengan suatu vertek dengan indeks paling kecil   dari   vertek   lain   yang   berdekatan dengan  vertek  v  untuk  membentuk  Ti+1 serta kurangkan i dengan 1    Jika  terdapat  vertek  berderajat  1   maka hapus satu vertek yang berderajat 1 dengan indeks terkecil beserta sisi yang berdekatan dengannya untuk membentuk Ti+1 dan kurangkan i dengan 1 3.  Jika i = 0 maka terhubung = true. Jika i > 0 maka terhubung = false.  Algoritma  hasil  modifikasi  menunjukkan bahwa bila suatu graf memuat isolate vertek sudah dapat dipastikan bahwa graf tersebut tidak terhubung. Kompleksitas waktu pengerjaan algoritma hasil modifikasi tersebut adalah linier terhadap jumlah sisi dari graf yaitu O(n), dimana n menunjukkan jumlah sisi dari graf. Skenario terbaik algoritma ini adalah  untuk  input  graf  yang  memuat  isolate vertek  dan  skenario  terjelek  adalah  untuk  input graf yang semua verteknya terhubung. Identify Connectivity Graph Using a Modified Prüfer’s Algorithm Labeling Trees (Al Aiyub et al.)  21              Bila diberikan suatu graf seperti pada diperlihatkan pada Gambar 4 maka langkah kerja algoritma hasil modifikasi  untuk  menentukan keterhubungan graf tersebut yaitu:           Gambar 4. Bentuk Awal dari graf T.     i = 7 (karena jumlah sisi graf adalah 7), vertek 6 beserta sisi yang berdekatan dengannya dihapus dari graf karena derajatnya 1 untuk membentuk graf T1 seperti diperlihatkan pada Gambar 5 dan kurangkan i dengan 1.           Gambar 5. T1 yang terbentuk pada i = 7.     i   =   6,   karena   tidak   terdapat   vertek   yang berderajat satu maka   dihapus sebuah sisi yang menghubungkan vertek  1  dan  vertek  4  untuk membentuk  graf  T2   seperti  diperlihatkan pada Gambar 6 dan kurangkan i dengan 1.           Gambar 6. T2 yang terbentuk pada i = 6.     i  =  5,  1  merupakan  vertek  yang  berderajat 1 terkecil dari graf. Kemudian vertek 1 serta sisi yang berdekatan dengannya dihapus untuk membentuk graf  T3   seperti  diperlihatkan pada Gambar 7 dan kurangkan i dengan 1.             Gambar 7. T3 yang terbentuk pada i = 5.     i = 4, 4 merupakan vertek berderajat 1 terkecil dari graf. Kemudian vertek 1 serta sisi yang berdekatan dengannya dihapus untuk membentuk graf T4  seperti diperlihatkan pada Gambar 8 dan kurangkan i dengan 1.           Gambar 8. T4 yang terbentuk pada i = 4.     Karena   telah   terdapat   isolate   vertek   yaitu vertek 7 dan i > 0 maka terhubung = false.  Hasil akhir dari proses algoritma yang dimodifikasi menunjukkan bahwa graf pada Gambar 4 adalah graf yang tidak terhubung.  KESIMPULAN  Algoritma Prüfer yang telah dimodifikasi dapat menentukan keterhubungan dalam graf  sehingga algoritma tersebut dapat  digunakan untuk  mem- validasi input  graf  dalam  menyelesaikan permasalahan graf dengan bantuan media komputer. Kompleksitas waktu pengerjaan dari algoritma ini linier terhadap jumlah sisi dari graf dan dapat dinyatakan dengan O(n), dimana n menyatakan jumlah sisi dari graf.  UCAPAN TERIMA KASIH  Ucapan terima kasih Penulis kepada anggota Multimedia Research Group Jurusan Matematika FMIPA   Unsyiah   yang   telah   turut   membantu hingga penelitian ini dapat terlaksana dengan baik.  REFERENSI  1. T.H.  Chormen,  C.E.  Leiserson,  R.L.  Rivest, Clifford Stein, 2001, Introduction of Algorithm, McGraw-Hill, San Francisco. Identify Connectivity Graph Using a Modified Prüfer’s Algorithm Labeling Trees (Al Aiyub et al.)  22    2. Oded Goldreich,  2008, Computational Complexity a Conceptual  Perspective, Cambridge University, New York.  3. Goodaire,  G.E.,  and  Parmenter,  M.M.  2002. Discrete   Mathematics   with   Graph   Theory, Prentice Hall, Upper Saddle River.  4. Harris, M.J., Hirst, L.J., and Mossinghoff, J.M. 2008. Combinatorics and Graph Theory, Springer, New York.  5. J.W. Moon, 1970, Labelled Trees, University of Alberta.  6. Kӧnig,  D,  1936,  Theorie  der  endlichen  und unendlichen Graphen, Akademische Verlagsgesellschaft, New York.  7. R.J.   Wilson,   1996,   Introduction   to   Graph Theory, Addison Wesley, London.  8. S.  Evan,  1979,  Graph  Algorithm,  Computer Science, Maryland. 

IDENTIFY CONNECTIVITY GRAPH USING A MODIFIED PRÜFER’S ALGORITHM LABELLING TREES

http://www.jurnal.unsyiah.ac.id/natural/article/download/840/778

IDENTIFY CONNECTIVITY GRAPH USING A MODIFIED PRÜFER’S ALGORITHM LABELLING TREES

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Jurnal Natural