Barichello, Liliane Basso

Camargo, Mariza de

Cromianski, Solange Regina

Fortes, Patricia Rodrigues

Portuguese

Lume 5.8

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and AppliedMathematicsAvaliação de Propriedades de Reflectância e Transmitância:Um Problema de Transferência Radiativa em MeioHomogêneo UnidimensionalPatricia Rodrigues Fortes1Mariza Camargo2Departamento de Engenharia e Tecnologia Ambiental, UFSM, Frederico Westphalen, RSSolange Regina Cromianski3Liliane Basso Barichello4Instituto de Matemática e Estat́ıstica, PPGMAp - UFRGS, Porto Alegre, RSResumo. Neste trabalho uma solução é proposta para a equação de transferência radiativaem meio homogêneo unidimensional, buscando avaliar densidade de radiação e propriedadesespectrais tais como reflectância e transmitância, que podem, por exemplo, estar associadasà caracterização de uma vegetação. Resultados numéricos obtidos com o método anaĺıtico deordenadas discretas (ADO), para diferentes formulações das condições no contorno do meio,são discutidos e comparados aos de outros trabalhos que fizeram uso de métodos anaĺıticosclássicos, no tratamento de problemas unidimensionais e homogêneos relacionados à área detransferência radiativa. A análise dos resultados mostra que a formulação ADO é precisa ecomputacionalmente eficiente.Palavras-chave. Método de Ordenadas Discretas, Reflectância, Transmitância1 IntroduçãoO conhecimento da interação da radiação solar com vegetações é fundamental para ainterpretação de dados de sensoriamento remoto, para o desenvolvimento de metodologiasde análise das informações de monitoramentos quantitativos e qualitativos e para a criaçãode novos sensores. A parte do organismo vegetal envolvida nessas interações é denominadadossel, constitúıdo por um conjunto estruturado de folhas, caules, espigas e flores, conformeo tipo e as condições da vegetação. Um determinado dossel é caracterizado pela suaconstituição, pelo comportamento espectral de seus componentes, sua estrutura interna esua organização no espaço [9].Estudos buscam modelar a transferência radiativa em copas de vegetações densas, uti-lizando a equação linear de Boltzmann para obter resultados numéricos das interações da1patricia@ufsm.br2mariza@ufsm.br3solange.regina@ufrgs.br4lbaric@mat.ufrgs.brProceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics, Vol. 5, N. 1, 2017.Trabalho apresentado no CNMAC, Gramado - RS, 2016.DOI: 10.5540/03.2017.005.01.0176 010176-1 © 2017 SBMAC2radiação solar nos dosséis [5, 8]. Partindo de conceitos fundamentais que configuram aelaboração de tais modelos matemáticos, neste trabalho, partimos da formulação unidi-mensional e homogênea da equação de transferência radiativa, cuja solução é determinadapela aplicação do método anaĺıtico de ordenadas discretas (ADO) [2] e chegamos ao cálculode razões como reflectância (razão entre a energia radiante refletida e a energia radianteincidente) e transmitância (razão entre a energia radiante transmitida e a energia radianteincidente) com interesse futuro no estudo de vegetações.2 Formulação MatemáticaConsideramos a formulação unidimensional da equação de transferência radiativa emmeio homogêneo [4]µ∂∂τI(τ, µ) + I(τ, µ) =$2L∑l=0βlPl(µ)∫ 1−1Pl(µ′)I(τ, µ′)dµ′, (1)onde τ ∈ (0, τ0) é a variável óptica (adimensional), τ0 o comprimento óptico do meio plano-paralelo, µ ∈ [−1, 1] é o cosseno do ângulo polar medido a partir do eixo τ positivo, $ ∈[0, 1] é o albedo para o espalhamento simples (relação entre o coeficiente de espalhamento eo coeficiente de extinção). Os βs são os coeficientes da expansão da função de espalhamentoescrita em termos de polinômios de Legendre, e podem ser obtidos por uma fórmularecursiva [7]βl =(2l + 12l − 1)(L+ 1− lL+ 1 + l)βl−1, (2)para l = 1, 2, ..., L, com β0 = 1, sendo L o grau de anisotropia do problema.Estamos considerando a solução da Eq. (1) sujeita às condições de contornoI(0, µ) = F1(µ) + ρs1I(0,−µ) + 2ρd1∫ 10I(0,−µ′)µ′dµ′ , (3)I(τ0,−µ) = F2(µ) + ρs2I(τ0, µ) + 2ρd2∫ 10I(τ0, µ′)µ′dµ′, (4)para µ ∈ (0, 1], F1(µ) e F2(µ) são conhecidas e referem-se à distribuição de radiaçãoincidente em ambas as fronteiras do meio, ρs1 e ρs2 são os coeficientes de reflexão especulare ρd1 e ρd2 são os coeficientes de reflexão difusa.3 Solução em Ordenadas DiscretasDe acordo com as referências [4] e [2], para se obter uma solução mediante a aplicaçãodo ADO, reescrevemos o termo integral da Eq. (1) comoµ∂∂τI(τ, µ) + I(τ, µ) =$2L∑l=0βlPl(µ)∫ 10Pl(µ′)[I(τ, µ′) + (−1)lI(τ,−µ′)]dµ′ . (5)Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics, Vol. 5, N. 1, 2017.DOI: 10.5540/03.2017.005.01.0176 010176-2 © 2017 SBMAC3Assim, a versão em ordenadas discretas da Eq. (5) fica escrita tal como um sistema deequações diferenciais ordinárias de primeira ordem, para i = 1, 2, ..., N , na formaµiddτI(τ, µi) + I(τ, µi) =$2L∑l=0βlPl(µi)N∑k=1ωkPl(µk)[I(τ, µk) + (−1)lI(τ,−µk)] (6)e−µiddτI(τ,−µi)+I(τ,−µi) =$2L∑l=0βlPl(µi)N∑k=1ωkPl(µk)[I(τ,−µk)+(−1)lI(τ, µk)], (7)sendo µk e ωk os respectivos nós e pesos do esquema de quadratura (arbitrário), com Npontos, definido sob o intervalo (0, 1].Buscando resolver o sistema anterior, supomos uma solução escrita em termos de umafunção exponencialI(τ,±µi) = φ(ν,±µi)e−τ/ν , (8)que ao ser substitúıda nas Eqs. (6) e (7) resulta no sistema(1∓ µiν)φ(ν,±µi) =$2L∑l=0βlPl(µi)N∑k=1ωkPl(µk)[φ(ν,±µk) + (−1)lφ(ν,∓µk)], (9)para i = 1, 2, ..., N .Para introduzir uma notação matricial, definimos os vetores de ordem N × 1Φ±(ν) = [φ(ν,±µ1) φ(ν,±µ2) ... φ(ν,±µN )]T e Π(l) =[Pl(µ1) Pl(µ2) ... Pl(µN )]T, (10)as matrizes diagonaisM = diag{µ1, µ2, µ3, ..., µN}e W = diag{ω1, ω2, ω3, ..., ωN}, (11)bem como os vetoresU = Φ+(ν) + Φ−(ν) e V = Φ+(ν)− Φ−(ν). (12)Então, a Eq. (9) pode ser escrita como(IN ∓1νM)Φ±(ν) =$2L∑l=0βlΠ(l)Π(l)TW [Φ±(ν) + (−1)lΦ∓(ν)]. (13)Adicionando as equações escritas em (13) (e posteriormente subtraindo as mesmas) obte-mos após simplificações [4]EX =1νY sendo E =(IN −$2L∑l=0βlΠ(l)Π(l)TW [1 + (−1)l])M−1, (14)Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics, Vol. 5, N. 1, 2017.DOI: 10.5540/03.2017.005.01.0176 010176-3 © 2017 SBMAC4FY =1νX sendo F =(IN −$2L∑l=0βlΠ(l)Π(l)TW [1− (−1)l])M−1, (15)ondeX = MU e Y = MV . (16)Para estabelecer o problema de autovalores, prosseguimos de forma a isolar Y na Eq.(14) para então substitúı-la na Eq. (15). Assim(FE)X = λX onde λ =1ν2. (17)O problema de autovalor obtido nesta formulação está baseado apenas nos pontos po-sitivos da quadratura. Sendo assim, apresenta ordem reduzida (ordem N/2) se comparadoaos obtidos nas aproximações de ordem N das metodologias usuais de emprego do Métodode Ordenadas Discretas.Das Eqs. (14) e (15), podemos escrever:Φ+(νj) =12M−1 (IN + νjE)X(νj) e Φ−(νj) =12M−1 (IN − νjE)X(νj). (18)Tendo calculado os autovalores e autovetores dados pela Eq. (17), e com a deter-minação das soluções elementares Φ+(νj) e Φ−(νj), escrevemos a solução da Eq. (1) naformaI±(τ) =N∑j=1[AjΦ±(νj)e−τ/νj +BjΦ∓(νj)e−(τ0−τ)/νj], (19)onde τ0 é a espessura óptica do problema, ou de acordo com a notação matricialI±(τ) = (I(τ,±µ1) I(τ,±µ2) ... I(τ,±µN ))T . (20)Para finalizar a composição da solução, precisamos ainda determinar os coeficientesAj e Bj , para j = 1, ..., N , que são obtidos mediante substituição da Eq. (19) em ambasas condições de contorno dadas pelas Eqs. (3) e (4). Obtemos assim, o seguinte sistemalinear de ordem 2N × 2NN∑j=1[AjΦ+(νj) +BjΦ−(νj)e−τ0/νj]− ρs1N∑j=1[AjΦ−(νj) +BjΦ+(νj)e−τ0/νj]−2ρd1N∑k=1N∑j=1wkµk[Ajφ(νj ,−µk) +Bjφ(νj , µk)e−τ0/νj]= F1(µi), (21)N∑j=1[AjΦ−(νj)e−τ0/νj +BjΦ+(νj)]− ρs2N∑j=1[AjΦ+(νj)e−τ0/νj +BjΦ−(νj)]−2ρd2N∑k=1N∑j=1wkµk[Ajφ(νj , µk)e−τ0/νj +Bjφ(νj ,−µk)]= F2(µi), (22)Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics, Vol. 5, N. 1, 2017.DOI: 10.5540/03.2017.005.01.0176 010176-4 © 2017 SBMAC5para i = 1, ..., N e µ ∈ (0, 1]. Nestas equações, as expressões vetoriais F1(µi) e F2(µi)possuem seus componentes definidos em função da radiação incidente (conhecida), F1(µ)e F2(µ), respectivamente. A escrita das Eqs. (21) e (22) complementa a referência [4] emtermos da formulação ADO para problemas unidimensionais e homogêneos relacionados àárea de transferência radiativa.4 Problemas Teste e Resultados NuméricosA partir da determinação da intensidade de radiação I(τ, µ), podemos então avaliar,por exemplo, a densidade de radiação [4]ρ(τ) =∫ 1−1I(τ, µ)dµ, (23)que em termos da solução em ordenadas discretas dada pela Eq. (19), passa a ser escritacomoρ(τ) =N∑j=1[Aje−τ/νj +Bje−(τ0−τ)/νj] N∑i=1wi[φ(νj , µi) + φ(νj ,−µi)]. (24)Segundo a referência [5], definimos reflectância como a razão entre a energia radianterefletida e a energia radiante incidente. AssimR =∫ 10 µI(0,−µ)dµ∫ 10 µI(0, µ)dµ, (25)que em ordenadas discretas, de acordo com dados do problema 2 especificado a seguir,pode ser escrito comoR = 2N∑i=1wiµiN∑j=1[Ajφ(νj ,−µi) +Bjφ(νj , µi)e−τ0/νj]. (26)Ainda de acordo com a referência [5], definimos transmitância como a razão entre aenergia radiante transmitida e a energia radiante incidente. AssimT =∫ 10 µI(τ0, µ)dµ∫ 10 µI(0, µ)dµ, (27)cuja expressão equivalente em ordenadas discretas (segundo dados do Problema 2) éT = 2N∑i=1wiµiN∑j=1[Ajφ(νj , µi)e−τ0/νj +Bjφ(νj ,−µi)]. (28)Para validação da solução obtida pelo método ADO [2], testamos problemas que se di-ferenciam pelas formulações de suas condições de contorno, escolhidos especificamente porProceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics, Vol. 5, N. 1, 2017.DOI: 10.5540/03.2017.005.01.0176 010176-5 © 2017 SBMAC6já terem sido avaliados por métodos anaĺıticos. Para testar a programação em FORTRANformulada para este trabalho, reproduzimos os casos teste com os mesmos parâmetrosutilizados respectivamente nas referências [3] e [4] para cálculo de densidade de radiação,onde também se fez uso do método ADO [2], e chegamos exatamente aos mesmos resul-tados numéricos. Em sequência, buscamos ampliar a proposta apresentada em [3] e [4],assumindo valores diferenciados para as radiações incidentes F1(µ) e F2(µ) (Problema 1),além de que implementamos neste trabalho cálculos de reflectância e transmitância (Pro-blema 2). Os autovalores e autovetores que compõem a solução apresentada foram obtidosmediante uso da subrotina RG do pacote de subrotinas EISPACK-LINPACK.Problema 1. Para compor este caso teste onde avaliamos a Eq. (24), consideramosas condições de contorno completas, com inclusão de reflexão especular e difusa. Tal comona referência [1] adotamos o parâmetro L = 99 (caso anisotrópico), comprimento ópticoτ0 = 10, albedo $ = 0.99, ρs1 = 0.1, ρd1 = 0.2, ρs2 = 0.3, ρd2 = 0.4, com radiações incidentes:F1(µ) =√1− µ2+ 11+µ2+µ log(µ)e−µ e F2(µ) = 0. Na referência [1] os autores utilizaramo clássico método PN , cujos valores para a densidade de radiação lá expostos (Tabela 1)com N = 199 puderam ser totalmente reproduzidos via método ADO a partir de N = 30.Problema 2. Na formulação deste teste, consideramos três diferentes valores para oalbedo ($ = 0.2, 0.8 e 0.995), assumindo L = 0 (caso isotrópico), ρs1 = ρd1 = ρs2 = ρd2 = 0,radiações incidentes F1(µ) = 1 e F2(µ) = 0. Aqui, fizemos a avaliação de reflectância etransmitância, dadas respectivamente pelas Eqs. (26) e (28).Os resultados obtidos via ADO na avaliação das Eqs. (26) e (28) considerando seisvalores para o comprimento óptico (τ0=0.1, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0 e 10.0), foram comparados aosda referência [5] (caso em que o albedo é considerado uniforme) onde foi usado o métodoaproximado Fn.Na referência [5] é observada uma precisão de quatro a cinco d́ıgitos obtidos pela apro-ximação F7, cuja ordem não tem relação direta com a ordem de quadratura em ordenadasdiscretas. Neste trabalho, reproduzimos estes mesmos valores a partir de N=12, a menosdos resultados para τ0 = 0.1 e τ0 = 0.5, cujas discrepâncias ocorrem apenas em alguns dosdois últimos d́ıgitos apresentados nos resultados correspondentes a estes dois comprimen-tos ópticos espećıficos. Variações de resultados para τ0 = 0.1 também foram observadaspor Clements e Özişik quando os autores compararam os resultados que obtiveram comoutros trabalhos de abordagens exatas. Observa-se que mesmo aumentando o valor de N(testados N = 20, N = 50, N = 100 e N = 200) não ocorrem alterações nos resultadosobtidos via método ADO.5 ConclusõesRessaltamos que os casos teste das referências [3] e [4] e ambos os Problemas 1 e 2já haviam sido analisados através do método ADO em [6]. Contudo, os resultados parareflectância e transmitância com N < 10 da referência [6] não se equivalem aos valoresobtidos neste trabalho onde a convergência de três d́ıgitos já é assegurada a partir de N =6. Há um comentário na referência [6] que revela possibilidade de erro de implementaçãoda solução ADO tendo em vista a inconsistência de valores obtidos naquele trabalho paraProceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics, Vol. 5, N. 1, 2017.DOI: 10.5540/03.2017.005.01.0176 010176-6 © 2017 SBMAC7N < 10, fato que agora ficou comprovado.Assim, em função dos bons resultados alcançados na resolução dos diferentes casosabordados neste trabalho, pretendemos prosseguir estudando a aplicabilidade do métodoADO [2] na solução de problemas de transferência radiativa. Para trabalho futuros, serãoconsiderados problemas unidimensionais com termos de fonte (não homogêneos), fato quetrará a associação de soluções particulares à solução aqui apresentada. Tais modificaçõesdevem tornar posśıvel o cálculo de reflectância especificamente para vegetações, bem comoabsorção da radiação (transmitância) pelo solo.Referências[1] L. B. Barichello, R. D. M. Garcia and C. E. Siewert, On Inverse Boundary-ConditionProblems in Radiative Transfer, Journal of Quantitative Spectroscopy and RadiativeTransfer, 57:405–410, 1997.[2] L. B. Barichello and C. E. Siewert, A Discrete-Ordinates Solution for a Non-GreyModel with Complete Frequency Redistribution, Journal of Quantitative Spectroscopyand Radiative Transfer, 62:665–675, 1999.[3] L. B. Barichello. Discrete Ordinates Solutions for Thermal Radiation Problems.METTI IV - Thermal Measurements and Inverse Techniques. Rio de Janeiro, 2009.[4] L. B. Barichello. Explicit Formulations for Radiative Transfer Problems. In: H. R.B. Orlande, O. Fudyin, D. Maillet, R. M. Cotta (Org.). Thermal Measurements andInverse Techniques. Boca Raton: CRC Press, pages 541-562, 2011.[5] T. B. Clements and M. N. Özişik, Effects of Stepwise Variation of Albedo on Re-flectivity and Transmissivity of an Isotropically Scattering Slab, Int. J. Heat MassTransfer, 26:1419–1426, 1983.[6] L. R. 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Avaliação de propriedades de reflectância e transmitância : um problema de transferência radiativa em meio homogêneo unidimensional

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