Fachin, Maria Paula Goncalves

Loreto, Aline Brum

Negrón, Manuel José Malásquez

Toscani, Laira Vieira

Portuguese

Lume 5.8

XXIICNMAC XXII CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL IISII11diS CllllliCIÇiiS 13 a 17 de setembro de 1999 Mendes Plaza Hotel - Santos, SP JPJtGS ')E INFCRMATlCA: JIOTECA 373 Resolução de Equações de Recorrência e sua aplicação na Complexidade de Algoritmos Os algoritmos recursivos são muito usados em computação. O cálculo de sua complexidade é equacionado como uma equação de recorrência cuja solução é sempre a parte mais dificil para o analista de algoritmos. Usando equações características, como é usado em solução de equações em diferença.s, obtém-se uma solução direta das equações de complexidade. As equações de complexidade podem variar bastante, em conseqüência, o polinômio característico obtido a partir da.s equações pode variar, e é comum apresentarem-se com ausência de tennos, por exemplo: Xn + x •. ] =b Ull x. + Xn.] ~bn', (I) onde falta o tenno x •. J, ou Xn • Xn12 =b, isto é, o tenno independente também é representado por um polinômio em 11. Este trabalho ilustra a passagem de equação de recorrência obtida da análise da complexidade do algoritmo para a equação em diferença, dessa para o polinômio característico. A seguir são calculadas as raízes do polinômio, e conforme sua multiplicidade, é montada a solução geral expressa como uma combinação linear dessas raizes. Obtém-se um sistema de equações a partir da solução geral. Da solução desse sistema tem-se as constantes da função de Complexidade. Para os casos mais simples é possível resolver esse sistema manualmente, mas para casos mais complexos é necessário utilizar um software de programação simbólica. A grande vantagem dessa abordagem, em relação à solução usual, de procurar uma função candidata a solução de complexidade e depois provar por indução é que, é um método direto que evita esta prova c ainda calc-ula uma solução exata de complexidade. No processo usual invariavelmente, para simplificar o cálculo, calcula-se um limite assintótico. A equação mais simples sem ausência de tennos e tennos independentes constantes foi resolvido e os resultados generalizados. Equações do tipo ( I) também foram estudados, nesse caso foi utilizado o aplicativo matemático Matlab para resolver os sistemas de equações, obtendo-se soluções para os vàrios casos. Outros casos estão sendo estudados. Referências Bibliográficas: [AHO 74] AHO, A. V. , HOPCROFT, J. E. and ULLMAN, J. D., The dtmgn and AnalySIS of compurer Algorirhms. (Addison-Wesley, Reading, C 1974). [BAL 90] BALCAZAR. José Luiz; DIAZ, Josep; GABARRO, Joaquim. Structural Complexity. Berlin: Springer-Verlang, C 1990, 283p. [BOV 93] BOVET, O. & Crescenzi, P. "lntroduc:tion to the Theory ofComplexity", Prcntice Hall, 1993. [COOK 83) COOK, S. A. An Ovcrv~ew of Compurational Complexlty. Comunications of the ACM. 26 (6):401-7, jun. 1983. [GOL 58) GOLDBERG, Samuel. /ntroductlon ro Dif!crence E.'quarlons. Library of Congress Catalog card: 58-10223, United of America, 1958. [LUE 80) LUEKER, George S. "Some Techniques for Soving Recurrences". Computing Surveys, vol. 12, n• 4, De<lember 1980. {PAP 94) PAPADIMITRIOU, C "Computational Complexity'', Addison-Wesley, 1994. (TOS 86) TOSCANl, La ira V. & VELOSO, Paulo A. S. DIVIsão e Conquista: Análm da complexidade. In: Seminário Integrado de Software e Hardware, 13, Olinda, jul. 19-25. Anais. Recife, SBC/UFPE, 1986. P. 89-104. [TOS 88]TOSCANI, L. V. Métodos de Desenvolvimento de Algorumos: Análise comparativa c de Complcxrdade. Tese de doutorado. Depto. De Informática, PUCIRJ. 1988. Alllores· Mestranda Aline Brum Lorcto (nhncuma1 ufrg,<br, abluunosc br) Prof Dr. Laira Vieira Toscani (laomuinf.ufr,;s.br) Pro f. Dr. Manuel Malásquez Ncgrón (pcpc u po!~ns.tuusc br) Prof. Dr. Maria Paula Fachin (n•pfacluna ""'l.ufn;s br) 

Resolução de equações de recorrência e sua aplicação na complexidade de algoritmos

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