Silveira, Vinicius Medeiros Gomes da

Lume 5.8

Evento Salão UFRGS 2016: SIC - XXVIII SALÃO DE INICIAÇÃOCIENTÍFICA DA UFRGSAno 2016Local Campus do Vale - UFRGSTítulo O Problema de Kakeya em Corpos FinitosAutor VINICIUS MEDEIROS GOMES DA SILVEIRAOrientador LUCAS DA SILVA OLIVEIRAUniversidade Federal do Rio Grande do SulSalão de Iniciação Científica 2016 - ResumoO Problema de Kakeya em Corpos FinitosAluno: Vinicius Medeiros Gomes da Silveira (219002)Orientador: Lucas da Silva Oliveira (DMPA - UFRGS)19 de maio de 2016A conjectura de Kakeya tem suas origens no seguinte problema proposto por Sochi Kakeya, em 1917:Problema 1. Qual o conjunto do plano com menor área no qual pode ser rotado completa e continua-mente, em seu interior, um segmento de reta unitário?Um conjunto em Rn que cumpre essa condição ou condições similares é dito um conjunto de Kakeya.Retirando a restrição de continuidade para a rotação, Abram Besicovitch, em 1919, dá um exemplo deconjunto no plano com medida de Lebesgue arbitrariamente pequena.Após o exemplo de Besicovitch, a seguinte questão é posta:Problema 2. Todo conjunto de Kakeya em Rn possui medida de Hausdorff igual a n?O caso n = 2 foi provado por Roy Davies em 1971. Avanços e conexões com a análise harmônicaforam feitos por, entre outros, Jean Bourgain, Charles Fefferman, Antonio Córdoba, Terence Tao eThomas Wolff.Em 1996, Thomas Wolff propõe um problema análogo em corpos finitos:Problema 3. Todo conjunto de Kakeya em um corpo finito Fn, onde F tem q elementos, possui cardi-nalidade da ordem de qn?A solução é finalmente dada por Zeev Dvir, em 2008, com a utilização de um método polinomial.O intuito do trabalho é realizar uma revisão histórica do problema - detalhando sua evolução, enfati-zando a conexão com a análise harmônica e mostrando a construção de um conjunto de Kakeya em R2 -e apresentar a solução de Dvir.1

O Problema de Kakeya em Corpos Finitos

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