Sato Shigeto

佐藤 茂人

Shigeto Sato

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組合せについての一つの問題（授業から）佐　藤　茂　人　場合の数の練習として次の様な問題を出した。　「大，中，小，三個のサイコロを同時に投げて，出た目の和が7以下になる場合は何通りあるか。」　場合の数を数えると35通りになる。ところが，生徒の中に次の様な解答をしたものがあった。　　・C・－1激1－－35故・・35通り．　・C・の7は7以下，3は3個を示すものと思うが．7C3になるという適当な理由がない。この場合だけたまたま正解と一致するのではないかという疑問が残るのだが．実は正しいことが証明出来るようである。ただし，生徒は必ずしも，そこまでは理解していない様であるが。　　　’　これを一般化すると次の様になる。　「m個の未知数Xl，　X2，　XS，……，　Xmについて　Xl＋x2＋x3＋……＋Xm≦nをみたす自然数の解の組はnC。、通りである。　ただし，　m，11はm≦nなる自然数」　証明に入る前に次の補助問題をしておく。　「Xl，　X2，ヱ3，……，　Xmについて　　Xl十a’2十a’3十●・．…　　十Xm　 ＝　1をみたす自然数の解の組はmH’i．nb通りである。ただしm，1はm≦∠なる自然数」　証明　Xl＋x2＋x3＋…一・・＋Xm－1より（x・－1）＋（x・－1）＋（x・一　1）＋一＋（Xm－1）＝＝　1－m…………（1）一33一　Ci、一一1＝二yi　（i＝1，2，3，……，m）とおくと　ツ1十ツ2十Ys卜・・。…　十Ym＝1－m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・…　。・。一・・　（2）となりyi（i－1，2，3，……，　m）は0または1－m以下の自然数であるから（2）の解の組の数は刎固から1－m個とってくる重複組合せmHi．。、となる。　もとの問題の証明に入る。　証明　補助問題において，1を71Zからnまでの数としたときの総和を求めれぽよいから，求める数は。、私胴n＋mH（en十1）一。、＋呪H侮・）－m＋……＋mH。．m＝7n．Ho十mHi　十mll2十．○，．一・十mHn＿m＝，n－iCo十mCi十η、＋iC2十……十n＿ICn＿mここでm－iC。＝。．C。であるから＝＝高bo十mCi十m＋1C2十・・…∴F　n＿1Cn＿”，また最初の2項についてmC。＋mC1＝＝m＋iClだから，＝m＋IC1十”、＋IC2十……十n＿iCn＿”、同様にして最初の2項をまとめると＝m＋2C2十m＋2C3十……十n＿iCn＿mくり返して＝n＿ICn＿m＿1十，、＿1C処→、＝・ 獅bn＿m＝＝，nCn、　これで証明されたが，最初の問題にもどって，「異なる3個のサイコロを投げて出る目の和が7以下になる場合の数は7C3である。」の理由を直接説明する方法があったら，お教え願いたい。　なお，3個のサイコロを投げて，9以下，10以下，……，18以下という問題にすれば上の様に答えることは出来ないので，場合の数を数えることになると思う。一34一

クミアワセ ニツイテ ノ ヒトツ ノ モンダイ ジュギョウ カラ

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クミアワセニツイテノヒトツノモンダイジュギョウカラ

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