Congedo, G.

Lepore, A.

Italian

Università del Salento: ESE - Salento University Publishing

- 5 -fluo-u o1'IF(x, t) Idt+o(x _ _ _J :zl(t)I'I~(t)-~(t)ldt +Iul-ullodalla Ila delle (7) si ha(x~ J Iz 2m - z2(01o;\(OdE; + g(x).Per il lemma di Gromwall generalizzato, risulta(8)rXI À (O dE; +)l oexpx(J À(OdE;t)dt.-Dalla (8), ponendo U o = uo, ul - uI ' ~(t)= ~(t), risultao < x < X o ,e, per la la delle (7)Pertanto è dimostrato che:I) il problema (3),(4), ammette in C\CO,xo]) al più una soluzione.2. DIPENDENZA CONTINUA DAI DATI.Sussiste il seguente teorema:sia tale che lu(x)1 ~ R,II) se esistono e X o > 0, tali che, dati uo,u1CO(CO,xo]), esiste la soluzioneu(x) dipendee ~(x), con2u(x) e C ([o,x"])allorao < x < x o ,- -R > O< R, ,luol ~ R, lulldi (1),(2), e-- 6 -con continuità dai dati.-Siano u(x) e u(x) soluzioni di (1), (Z) con i dati rispettivamente- - -e u.,ul ' ~(x). Poiché IjJ(x) e C([o,x.]), esiste A > O ta,le che 1~(x)1 ~ A per O < x < x•. Posto z(x) - (Zl (x)'ZZ(x)),- - -z(x) - (Zl (x),zZ(x)) - -con Zl(x) - u(x),zZ(x) - u'(x)'Zl(x) - u(x),- -zZ(x) = u' (x),tenendo presente le posizioni del paragrafo precedente, si hax.Àm l {Ia I + r IF(x.,t)ldd l {Iali +O < < } <, , l' ,[aZI laZIo+ n'l'(t)ldt r IlZl (~)II ~(~) [d~+ r r+ dt dt [zlmii~(~)ld~)~o o o o t<, •Applicando all'ultimo integrale la formula di inversione di Dirichlete ponendo - s,tt~= s'o(x.r r(~I~(~ ~d~+ ~ d~ t{Iall + A x.+R [ dt [ [~(-)Idd -) } ~ .oo o o(x. (l (x lf I~ (s') I~ds •}{[ali + A x. + R J dt J 1~(s)lt ds +:R I d~ -}o o o o+ R Bzx.2Ne segue che- 7 -'a II 2 ItPosto K-2x~ }, la precedente disuguaglianzadiventa fXÀ(S)dS ~ K, e tenuto conto della (8), si haItDa questa disuguaglianza e dalla prima delle (7) consegue la tesi delteorema.3. TEOREMA DI ESISTENZA PER IL PROBLEMA (I), (2).III) Se esiste R > O tale che, posto2R •2 JII~(s)ldSl+lullo• abbia:Sl(Xo • R + Iuo I < R-(9)H R<,lallora-il problema (1),(2), ha soluzione in C2([o,xo]) .Sia I Izi I la norma di z nello spazio di Banach CO ([O,Xo1,R2)(I). Intale spazio consideriamo l'insieme(l) Esplicitamente Ilzll= max{llzIII,llz21IlI /z21 1= max /z2(x)1x€ rO,xo]con = max IZI(x)1 ex€[O,xoJ

Dipendenza continua dai dati

A storage with constant service rate and fractional Brownian input is considered. It is shown how large deviation asymptotics of the buffer occupancy and the ongoing busy period can be obtained applying a generalized Schilder's theorem. The crucial point of the method is to identify the "most probable path" satisfying some criterion. Whereas this turns out to be very simple in the case of achieving a given buffer occupancy, the case of achiev-ing a given length of the ongoing busy period remains an open problem. Instead, tight bounds are obtained in this latter case

Norros, Ilkka

VTT Research System

Busy periods of fractional Brownian storage:A large deviations approach

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Dipendenza continua dai dati

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