本文分析了弱重力场中等速活塞运动驱动恒星大气的气体动力学过程.在活塞前面,气体被压缩.压缩气体利用其部分内能,以及有些情况下其动能,以克服外加重力.当逃逸速度与等离子体速度之比值为一小参数时,所有量可对小参数展开,基态解给出均匀流,如同没有重力场的气体动力学所讨论的那样.一阶关系给出外加引力场对流场的影响,即激波强度变化不大而气体内能不断耗散.对于强激波和活塞附近,近似得到的分析解有类似的特征.由于外加重力场在天体物理和大气物理过程中的重要性,这些结果对于恒星和行星大气中瞬变过程的机制会有启发

胡文瑞

Institute Of Mechanics,Chinese Academy of Sciences

© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.    http://www.cnki.net应用数学和力学 , 第 卷第 期 生 月 应用数学和力学编委会编四川科学技术出版社出版弱重力场中的平面活塞运动’胡 文 瑞中国科学院力学研究所 , 年 月 日收到摘 要本文分析了弱重力场中等速活塞运动驱动恒星大气的气体动力学过程 在活塞前面,气 体被压缩 压缩气体利用其部分内能 , 以及有些情况下其动能 , 以克服外加重力当逃逸速度与等离子体速度之比值为一小参数时 , 所有量可对小参数展开 , 基态解给出均匀流 ,如同没有重力场的气体动力学所讨论的那样 一阶关系给出外加引力场对流场的 影 响 , 即激波强度变化不大而气体内能不断耗散 对于强激波和活塞附近 , 近似得到的分析解有类似的特征由于外加重力场在天体物理和大气物理过程中的重要性 , 这些结果对 于 恒星和行星大气中瞬变过程的机制会有启发己 全、 里 「习恒星重力场控制着它们的大气结构 , 以及大气中的气体动力学过程 气体在重力场中的运动过程 , 特别是非定常运动过程 , 将在本文中讨论 这种问题在天体物理中很重要 , 其中的一个重要的动力学过程与太阳大气中的瞬变现象有关 瞬变现象是不定常过程 , 曾用相似解去讨论天体物理过程 〔‘ ’ 对于常数加速度或多方指数 , 的情况 , 讨 论了一些特解 〔“ ’ 大量的数值计算 曾 用 于 分析 由初始非平衡态驱动的某些动力学过 程 比 如 等 “ ’,等 〔 〕, 吴式璨等 〔 ’, 等 〔。’ 最近 , 我 们 讨 论 了 日冕瞬变的过程 , 并将它看作是 由局部稠密等离子体或磁通量管组成的活塞驱动的气体动力学效应的结果 , 用特征线 方 法 讨 论 了 这 类 活塞 〔 ’。在研究天体物理环境中的瞬变过程时 , 必须包括外加重力场于气体动力学中 , 进而理解重力场对流场的影响 作为第一步 , 我们讨论如图 所示的弱重力场中由活塞驱动的一维动力学过程 这时 , 选用直角坐标系讨论平面活塞运动在第二节中 , 用摄动方法给出弱重力场近似的方程组 , 第三节讨论平面激波 的 间 断 条件 , 在第四节中 ,‘讨论几个典型的激波强度 ,二⋯卜冷叹队队甘卜决图 外加重力场作用下平面活塞问题的一维不定常动力学过程钱伟长推荐© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.    http://www.cnki.net胡 文 瑞几个例子清楚地表示出重力场的影响 , 即激波强度变化很小而气体内能耗散 第五节中分析了强激波近似和活塞附近滚动的分析解 在最后, 一节 , 主要讨论了有激波条件的活塞问题与边界条件都给在活塞处的问题之差别二、基 本 方 程 和 近 似对恒星大气局部区域的瞬变运动 ,气局部区域中的气体动力学方程组为了,一孔‘ 一 戈 · 。取坐标原点位于恒星中心 , 二 轴沿径向向外 恒 星大劣。一 二刹一月。劣母 了立、二戈 、劣其中 , , 。 为浓度 , 压力和速度 , , 为多方指数 , 为重力常数 , 是恒星的质 量 当没有重力时 , 方程组 退化为纯气体动力学方程组 这时 , 基于量纲分 析 , 只 能组建一个具有速度量纲的量 , 即当包含有外加重力项时 , 可以引入另一个具有速度量纲的量 , 即口一了瞥一般而言 , 方程组 一 的解应该是 占和 , 的二元函数 , 而不仅仅是 占的函数在弱重力场时 , 特征逃逸速度 小于声速和等离子体速度 基本流动是黎曼流 此时 , 容易分析重力对流动的影响 引进无量纲量矛”一气 ,一吟一刀苦以及无量纲小参数劣戈补《其中 刚 , 为声速 , 吟 和 介 为典型的速度和长度 如恒星半径 , 上 标 “ 一 ” 表 示无量纲量 , 为了简单今后将予忽略 ‘ 进一步 , 我们讨论等嫡流场 , 则一维方程组退化为一一工八﹃十⋯抓一叙 一丫一￡公 砂其中 的 式右端表示外加重力场将所有量展开为口 。 ⋯ , ⋯© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.    http://www.cnki.net弱重力场中的平面活塞运动则零阶基态方程为劣 劣、廿、声︸厂、矛叮、劣 戈基态方程 和 的解可 由黎曼流给出 , 相应地 ,。 舀 , 。》 舀则方程 和 变为摆 一 。蓄’ 一 。 。、产、月矛沪、了·和 一约 丫’。、。 一 军‘方程组 和 为黎曼流 , 其不变量为· 土 一默 一常数而特征线关系为戈才一 ’一 ’ 土 ‘ 一 ‘可以讨论活塞问题的一个特解 如果活塞以常速运动 , 活塞前的流动量是均匀的 。, 常数 , , 常数一个激波将均匀流区域和宁静背景分开类似地 , 一阶方程组为口劣十 , 尹 · 。豁’ 一 。,土一戈一一, 。 、 口十 刀 、“ , 。下一十沉同样可导出更高阶的方程组方程 的和 是线性的 在这种解法中 , 只有一阶方程是非线性的 , 所有高阶方程 , 同时外加重力的影响都是线性的 。根据量纲分析理论 , 一阶方程的解是 睿和 。 , 的函数 , 或换言之 , 是 雪和 的函数 讨论下列形式的解“ , 睿, 二 协 省 , “ ’ 君, 夕 君由方程组 和 可导出优 怜若典型的有量纲速度 吟 取为均匀活塞速度 巧进而 , 活塞上的边界条件为这样 , 扰动方程 的和 简化为兄 , 夕 三 一君夕 占, 则基态速度为‘。, 尹 雪 一夕 君© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.    http://www.cnki.net胡 文 瑞￡ , 。 二 一“ , “ 兰 一。,, “ 一 ‘一其中弓进无量纲参数 舀一 丁·激波条件确定扰动态将由 和 再加上活塞边条件 及三、激 波 条 件 和 解平面活塞问题中 , 激波前的气体均匀静止 ,量标以下标 ‘ ” , 则激波关系为一 草, 盗么一, 一 了之 一活塞 与激波之间气体状态均匀 , 将激波前的下其中 为激波传播速度 , 与 类似 ,异’将 。 , , 户和 对 。展开 , 则零阶关系为万 , , ’一 丢,。 一 , 。 挥。 ’一早, 众’上式中用到 ‘ 。 ‘, , ⋯ , 以及类似的展开关系二‘ ,二,下十 茄。 , ‘。, ’ “同样地 , 一阶激波关系为夕, ‘ ’二‘ ,。, ’ 。夕一州下十 丫十口刀’其中下标 表示激波面处占 占的值 对于声速 , 其展开式给出一丫岁口 竺一 、、“ 、 ”© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.    http://www.cnki.net弱重力场中的平面活塞运动将 和 代入 , 声速为“‘一 ‘ 一 牙 , 夕。 户。 ‘。, 一 孟 一 夕一 万 ‘。, 艺 活、产、了,补口关系式 和 要求一 盆一 。全利用基态关系 , 关系 和 导出联系函数 占 和 抓省, 之间的关系省一 雪 ,而系数 为工一翅夕「,、‘ ” 吸夕 言 万‘ “一 丢 护一 万 丢‘ 一 急, 落用边条件 和 可求解扰动方程 和 , 求解的区域为 《雪《 ‘”, 。 , ·我们讨论三个例子 , 即,由基态关系 一 , 基态解分别为匹之少,刃“巧利用这些基态解 ,旦。“,一 一,之一 ”·,,护一护可求出系数 , 它们分别是, , 。在下一节 , 我们将分析这三个例子 。四 、 扰 动 解可以看出 , 方程组 和 以及相应的边界条件都是线性的 这个问题可以化为求下列两个基本解 , 即兄 , , 夕 , 兄 , 一以及兄 , , 兄 , 夕 二 ,则平面活塞问题的解为此基本解的线性组合占 , 舀 省 ,其中的常数 由条件 给出为, 二 , ,上︸资﹄,占 省 占君。 一 占。夕 雪一 一 省,不难验证 , 解 满足方程组 和 , 也满足边界条件 和 两个基© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.    http://www.cnki.net胡 文 瑞本解 和 都是对两个活塞边界条件求解对于情况 , 函数 豹 和 豹 的分布分别表示如图 , 图 和 图 幻表示为实线 豹为虚线 这些结果给出外加重力场对流动的影响 从能量的观点看 , 内能 ,有时还有动能 , 将消耗以克服外加重力场 另一方面 , 激波强度变化不大 激波的传播速度是 ‘。 。 ‘, , 当 、‘ , 为正时 , 激波强度增加 , 反之亦然 式表明 , 、 ”与此”有同灿、‘‘︶、样的符号 , 因而 与 “ , 同号 图 图 给出 “、 对所有情况都成立 这表明外加引力场使激 波强度变化不大 二图 图 还表明 , 豹 单调地 减小 , 从活塞 占“ 附近的 正值到激 波 雪 省, 附 近 接近于零的值 此结果意味着活塞 与激波之间气体的内能消耗了 但 是 , 豹 在活塞附近增加 , 从零增到最大值后减少到激波处的值接近于零 故气体先加速而后减速 。 气体的动能在活塞附近增加 , 在激波附近减少 综合这些结果 , 在活塞附近 , 气体内能耗散以克服重力并加速气体 在激波附近 , 气体内能和动能都耗散以克服重力场一一习图 满足激波条件时函数了 占 和雪 的分布 , 其中 ‘ ,二 , 实线为了, 虚线为巨卜队⋯匕。八勿勺价切介仪、 、 一 一长二才一」’ 之图 满足激波条件时函数了 舀 和抓约的分布 , 其中 伽, 实线为 , 虚线为图 满足激波条件时了 占和 省的分布 , 其中, 实线为了, 虚线为五、 强 激 波 近 似当激波很强时 , 流动区域狭窄 , 使 占一 《 雪。一 《 这时 , 方程组 和 可简化为下一 ‘”, 尹 占 一夕 占© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.    http://www.cnki.net弱重力场中的平面活塞运动“‘。’“ ’“ ’一‘‘,一 叠对方程 微商 , 并用 消去函数 了 豹 , 可导出函数 豹 的方程为,·十欲一 、向方程 的齐次方程是欧拉方程 ,占 ,君声 么占一 ,其通解不难导出为刀夕一 舀急利用 , 由方程 可得到 抓约为夕 省 装一, 、一 , 一 彩 幻其中 方 ‘。, , 而系数 和 由条件 和 确定为口尸合认一一‘、、卜户月一刀, 一尹一。 。一仁, 一 。 脸一 占 护一 十 占,刀一口刀 下一丫一“· ‘, 〔卜‘ , ““· 〕卖。一分 , 与 十 绍利用上述关系 , 一阶解的剖面为“ “ , 幼“ ’ 一宁一 ‘一 ’ 声、 劣了才、一一劣“ ’ 二 , 丫一劣· 一寸’‘ ’ 一 一丁‘一 夕 刀一刀二对强激波近似 ”, 。 , 它导出占, ” 一,卜 、 一 。 ‘ , ,· 浏 丁 丫 万 , 扒 们 蜘一 二一 。 依 · 田上述结果 , 扰动态解为占 一 舀,·“ ’ 。省一 ’· “ , ’一占“夕 占 二 一 占· “ ‘ 一 占一 “· “ ’,的结果给出 氛 是负的 , 故激波强度有所减弱 关系 式 给 出 抓约 单 调 递减 , 故气体的内能耗散 这些结果与前节的一致 上面给出的分析解是近似 的 , 不 十 分 准确 , 因为 雪, 一 并非比 小得多 但分析解定性地描述了夕助口重力场影响的一些基本特征类似地 , 分析解可以用来讨论活塞附近区域的流动 , 这时会更准确 从方程 可以看出 ,产了 气当 。时 , 活塞附近流动将被加速 , 当 抓 时 , 将减速 同样可 由 看出 ,© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.    http://www.cnki.net胡 文 瑞尸 二 一 丫一占所以 , 活塞附近内能总是不断减小 如果再考虑到方程 和 左端的第一项 , 就可以分析整个流场的动能和内能变化趋势 , 特别是在激波附近 , 从而解释图 图 的 剖面分布六、讨 论方程 所确定的特征线的关系与没有重力时相同 , 即三族特征线为 〔吕 ’劣才一 十价 一 , 刀但是 , 特征关系改变了 将 代入 , 得到。‘”, ‘“ , 。 “ ’ ‘”口‘“ , 一 ‘“ , 一 ‘”一 “介︸血答犷一‘” ‘”“ ’这些结果表明 , 特征线不再是直线而是曲线 第一和第三族特征线的斜率在活塞附近增加 ,第二族特征线则减少 由于假设了弱重力场近似 , 特征线接近于直线 , 略有弯曲 , 曲率变化的量级只是 此结论可与太阳重力场的情形比较 , 其中的特征线亦接迸直线而略有弯曲【”类似地可讨论激波阵面 没有重力场时它是一直线 , 有重力场时其位置为丁一 研‘激波前沿的斜率变化不大 , 因为激波强度变化不大现在讨论平面活塞问题 , 其中两个边界条件都给在活塞上 一个典型的例子给出下列边界条件一 二 , 常数 , 一 , 常数它要求扰动态的边界条件为, 夕用边界条件 求解方程 和 , 两个函数 幻和 豹都是 睿的单调递减函数 , 并且都是负的 图 图 分别给 出比值 。, 。 , , 和 的结果 这些结果意味着 ,气体的内能和动能都耗散以克服外加重力场 , 并且激波强度将因重力场而减弱 但是 , 如果给定了边值 , 函数值 占, 和 言。 就都 固定了 , 激波处的边界条件难于满足 。 这表明了激波条件的重要性 在利用某些相似解时 , 若用到无界空间而不包括激波条件 , 不仅容易引进奇异性 , 而且会对动力学过程给出不同的物理图象二重力在恒星和行星大气动力学过程中有重要影响 , 需要逐步开展对包括重力场的气体动力学进行研究 本文讨论了一个简单情况 , 但它分析了一个基本过程 , 并给出外加重力场的影响© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.    http://www.cnki.net弱重力场中的平面活塞运动。︵︺肠‘ 口洲产,‘‘翎、厂多一户‘ 目沪一图 全部活塞边值时 了 约 和 戚雪 的分布其中 。 ”。二 , 实线为 , 虚线为一 「 一 — — 丁 —一。几益丹卜助、了匕⋯一一一夕‘一 一吸。了巨 ,图 全部活塞边值时 省 和 戚 占 的分布其中 。 。 , 二 , 实线为 了, 虚线为© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.    http://www.cnki.net峥血」﹀灿卜几、、图 了 全部活塞边值时 约 和 或 占 的分布其中 。 , 二 , 实线为,虚线为参 考 文 献一〕 , , ‘ ‘ ‘亡 ” ‘, ” ‘ ‘” ‘ , ,〕 , , 询 ‘ ,,, , , 月 夕‘ , , , ,〕 , , , 马 ,, , 。才。户 夕。 , ,〕 , , , , , ,〕 , , 班 夕 ‘ , ,〔 〕 , , 。夕 一 ‘ 伪 。 ￡, 、一 , ,© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.    http://www.cnki.net弱重力场中的平面活塞运动扭一‘才。 , 。‘ 。‘ ,七 扭五“ , ,, , 五, 五, ,一, , 五五 ,五 , 五 盯 五 五 五 五乎

弱重力场中的平面活塞运动

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