L'orniérage, dû aux déformations permanentes des matériaux non traités (assise en grave non traitée), est l'un des principaux modes de dégradations des chaussées souples. De nos jours, des lois d'élasticité linéaire sont utilisées pour le dimensionnement. Une méthode d'analyse limite pour la prédiction des déformations permanentes des graves non traitées soumises à un chargement cyclique a été développée et présentée dans le cadre de ce travail. Cette méthode, basée sur le concept de l'état limite (shakedown theory), est développée par Zarka (1979) pour les structures métalliques soumises à un chargement cyclique. L'état de contraintes initiales, la teneur en eau et l'anisotropie initiale des graves non traitées sont pris en compte dans la méthode proposée. Une procédure, basée sur les résultats d'essais triaxiaux à chargements répétés, a été développée pour la détermination des paramètres du modèle proposé. Les résultats de modélisation éléments finis, du comportement à long terme d'une structure de chaussée, obtenus avec le modèle sont présentés et comparés aux résultats issus de l'expérience du manège de fatigue du LCPC

ALLOU, Fatima

CHAZALLON, Cyrille

HORNYCH, Pierre

PETIT, Christophe

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Modélisation de l'orniérage des chaussées à faible trafic 
 
 Fatima Allou1, Cyrille Chazallon1, Pierre Hornych2 & Christophe Petit1 
1 Laboratoire de Mécanique et Modélisation des Matériaux et Structures du Génie Civil. Université de 
Limoges, IUT d’Egeltons, boulevard Jacques Derche,  19300 Egletons, France. allou@egletons.unilim.fr, 
chazallon@unilim.fr. 2 LCPC de Nantes, DMSC, 44100 Bouguenais, France 
 
Résumé : 
 
L’orniérage, dû aux déformations permanentes des matériaux non traités (assise en grave non traitée), 
est l’un des principaux modes de dégradations des chaussées souples. De nos jours, des lois d’élasticité 
linéaire sont utilisées pour le dimensionnement. Une méthode d’analyse limite pour la prédiction des 
déformations permanentes des graves non traitées soumises à un chargement cyclique a été développée et 
présentée dans le cadre de ce travail. Cette méthode, basée sur le concept de l’état limite (shakedown 
theory), est développée par Zarka (1979) pour les structures métalliques soumises à un chargement 
cyclique. L’état de contraintes initiales, la teneur en eau et l’anisotropie initiale des graves non traitées 
sont pris en compte dans la méthode proposée. Une procédure, basée sur les résultats d’essais triaxiaux à 
chargements répétés, a été développée pour la détermination des paramètres du modèle proposé. Les 
résultats de modélisation éléments finis, du comportement à long terme d’une structure de chaussée, 
obtenus avec le modèle sont présentés et comparés aux résultats issus de l’expérience du manège de 
fatigue du LCPC. 
 
Abstract : 
 
Rutting, due to permanent deformations of unbound materials, is one of the principal damage modes for 
low traffic pavements. Actually, the design methods are based on  linear elasticity.  The objective of this 
paper is to use a simplified method, based on the concept of the shakedown theory developed by Zarka for 
metallic structures under cyclic loadings, to estimate the permanent deformations of unbound granular 
materials (UGM) subjected to traffic loading. Based on repeated loading triaxial tests, a general 
procedure has been developed for the determination of the material parameters of the constitutive model. 
Finally, the results of a finite elements modelling of the long-term behaviour of a flexible pavement with 
the simplified method are presented. The mechanical initial states of granular layers are taken into 
account with an anisotropic hyperelastic model and the calculation of the rut depth evolution with time is 
carried out. 
 
Mots-clefs :  
Chaussée à faible trafic ; orniérage ; théorie de l’état limite 
 
1 Introduction 
 
La méthode française de dimensionnement des chaussées à faible trafic utilise une 
description simplifiée du comportement des matériaux composant la chaussée, en ne retenant 
entre autre qu’un modèle élastique linéaire pour les matériaux granulaires. Dans ce contexte, on 
propose un modèle simplifié pour la prédiction de l’orniérage des couches en graves non traitées 
des chaussées à faible trafic. Ce modèle, basé sur l’élastoplasticité, utilise la théorie de l’état 
limite pour déterminer directement l’état final de la structure, conduisant à une stabilisation des 
déformations permanentes (adaptation ou accommodation). Le concept de l’état limite appliqué 
aux structures de chaussée a été initialement introduit par Sharp et Booker (1984) et appliqué 
ensuite aux structures composites par Maier et al. (2003). Les travaux de Habiballah et 
Chazallon (2005) sont basés sur le modèle de Zarka et Casier (1979), qui décrit les différents 
états limites des  matériaux à écrouissage cinématique (aciers), dont l’adaptation au matériau sol 
permet de décrire le comportement à long terme des matériaux granulaires dans les chaussées. 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
2 
Dans la suite, on présentera le modèle, puis l’identification qui a été menée à l’aide de 
résultats d’essais triaxiaux à chargements répétés (TCR) sur la grave non traitée (GNT) des 
Maraîchères et sur le sable de Missillac. Enfin, on terminera par la comparaison des résultats 
d’une modélisation par éléments finis du comportement à long terme d’une structure de 
chaussée avec les résultats obtenus dans l’expérience à l’échelle 1 menée sur le manège de 
fatigue du LCPC (Hornych (2005)).   
 
2 Le modèle élastoplastique 
 
La structure est considérée élastoplastique, et représentée par un domaine de volume V  
possédant une surface Γ . Cette surface est soumise à des forces de surfaces )t,x(Fdi  appliquées 
sur une partie iFΓ   et des déplacements imposés )t,x(U
d
j   appliqués sur l’autre partie jUΓ . x  
représente un vecteur de l’espace. Les forces massiques )t,x(Xdj  et les déformations initiales 
)0t,x(Iij =ε  sont définies dans le volume V . Cette structure est supposée satisfaire la théorie des 
déplacements et des déformations infinitésimales. Le problème mécanique général peut être 
résolu par la méthode des éléments finis comme suit : 
)t,x()t,x()t,x(M)t,x( Iijpijklijklij ε+ε+σ=ε  
Le tenseur des déformations totales actuelles )t,x(ijε  est cinématiquement admissible avec 
)t,x(Udj  sur jUΓ  et le tenseur des contraintes actuelles )t,x(ijσ  est statiquement admissible 
avec )t,x(Fdi  sur iFΓ  et avec )t,x(X
d
j  dans V . )t,x(
p
ijε  et )0t,x(Iij =ε  sont respectivement le 
tenseur des déformations plastiques et le tenseur des déformations initiales. ijklM  est la matrice 
de souplesse d’élasticité linéaire.  
 
2.1 Partie élastique 
 
La réponse du problème élastique est donnée par la relation suivante : 
)0,x()t,x(M)t,x( Iijelklijklelij ε+σ=ε   
Le tenseur des déformations élastiques )t,x(elijε  est cinématiquement admissible avec )t,x(Udj  
sur jUΓ  et le tenseur des contraintes élastiques )t,x(elijσ  est statiquement admissible avec 
)t,x(Fdi  sur iFΓ  et avec )t,x(X
d
j  dans V . La partie élastique du comportement est considérée 
non linéaire et est décrite avec le modèle de Boyce anisotrope (Hornych et al. (1998)).  Une 
linéarisation est ensuite faite entre l’état initial et l’état final pour la détermination des 
paramètres de la loi d’élasticité (Allou et al., (2007)) 
 
2.2 Partie inélastique 
 
Le problème inélastique est obtenu par la différence entre le problème total et le problème 
élastique : 
),(),(),(),(),( txtxRMtxtxtx pijklijklelijijineij εεεε +=−=     
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
3 
)t,x(ineijε  est cinématiquement admissible avec 0 sur jUΓ . Dans cette formulation, la matrice 
d’élasticité ijklM  est anisotrope. Le champ de contrainte résiduelle )t,x(R ij  est obtenu par la 
différence entre le champ des contraintes actuelles et le champ des contraintes élastiques : 
)t,x()t,x()t,x(R elijijij σ−σ=        
)t,x(R ij  est statiquement admissible avec 0 sur iFΓ  et avec 0 dans V . Ce formalisme a été 
utilisé par Zarka, pour développer une méthode simplifiée d’état limite qui détermine l’état 
stabilisé des structures métalliques soumises à un chargement cyclique pour des matériaux à 
écrouissage cinématique linéaire. Depuis, cette approche a été modifiée par Habiballah pour 
décrire le comportement des matériaux granulaires non liés sous un chargement cyclique. La 
translation de la surface de charge est régie par la variable d’écrouissage cinématique )t,x(y ij . 
La loi d’écoulement est associée, et suit la règle suivante :  
- si ( ) ( ) ( ) k)t,x(I)t,x(y)t,x(S:)t,x(y)t,x(S
2
1gfrr ij1ijijijijmin −σα−−−==⇒≤ . 
- si ( ) ( ) Cte)t,x(y)t,x(S:)t,x(y)t,x(S
2
1gfrr ijijijijmin +−−==⇒> . 
minr  fixe la taille du domaine élastique. )t,x(S ij  est la partie déviatoire du tenseur des 
contraintes actuelles ( ))t,x(dev)t,x(S ijij σ=  et ( ))t,x(I ij1 σ  est le premier invariant des 
contraintes actuelles. α  et k sont les paramètres de Drucker Prager. La variable d’écrouissage 
cinématique est liée aux déformations plastiques par la relation suivante : 
)t,x(
3
H2)t,x(y pijij ε=   
H est le module d’écrouissage cinématique. On définit alors la variable interne structurelle 
transformée : 
),(),(),( txRdevtxytxY ijijij −=       
Le problème inélastique peut être écrit en fonction des variables structurelles transformées, 
selon l’expression suivante : 
)t,x(Y
H2
3)t,x(R'M)t,x( ijklijklineij +=ε      
ijklM ′  est la matrice de souplesse élastique anisotrope modifiée. Ainsi, la connaissance du 
champ de variable interne structurelle transformée résout le problème. 
 
2.3 Réponse d’une structure soumise à un chargement cyclique 
 
Pendant un chargement cyclique, la réponse élastique d’une structure est définie par : 
)x(S)t()x(S))t(1()t,x(S
max
el
ijmin
el
ij
el
ij Λ+Λ−=     
)(tΛ  est une fonction périodique variant entre 0 et 1 avec le temps. )x(Set  )x(S
max
el
ijmin
el
ij  sont 
les valeurs minimales et maximales des contraintes élastiques déviatoires. Le convexe 
d’élasticité )S(C elij , dans le plan des variables internes transformées structurelles, est un cercle 
de centre elijS  et de rayon r. Le mécanisme plastique est actif seulement si la variable structurelle 
transformée se trouve sur la limite du convexe )S(C elij . La nature de l’état limite de la structure 
dépend de la réponse élastique. Selon l’amplitude du chargement elijS∆ , le convexe 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
4 
el
ij0
el
ij SC)S(C +=  subit une translation linéaire entre )S(C min
el
ij  et )S(C max
el
ij . S’il existe une 
partie commune entre les extremums, la structure est adaptée sinon elle est accommodée. 
 
2.3.1 Cas de l’adaptation 
 
Trois cas sont alors possibles et conduisent à des calculs différents de ( )
moyij )x(Y  et donc 
de moyij )R(  et moypij )(ε  (Zarka et Casier, 1979) (Habiballah et Chazallon, 2005) (voir figure 1). 
 
• 
min
el
ijS  •  
lC  
( ) ( )ijij YY 10 =  
max
el
ijS  • • • 
lC  
• 
( )ijY0  ( )ijY1  
min
el
ijS  
max
el
ijS  
 
• 
• 
• • 
lC′  
• ( )ijY0  
( )ijY1  
min
el
ijS  
max
el
ijS  
 
FIG. 1- Evolution des Yij  en fonction de (Y0)ij dans le plan des variables transformées 
structurelles. 
 
2.3.2 Cas de l’accommodation 
 
Si un seul point de la structure n’appartient pas à l’intersection, la structure est 
accommodée. Dans le plan des variables transformées structurelles, maxijY  appartient au 
convexe centré en elmaxijS  et minijY  appartient au convexe centré en 
el
minijS . Les champs des 
variables transformés ( )ijmoyij Y,)Y( ∆  peuvent être obtenus à partir de conditions géométriques 
(Zarka (1979), Habiballah et Chazallon (2005)). 
 
2.4 Prise en compte du nombre de cycles de chargements dans le calcul des déformations 
permanentes 
 
Afin de décrire les déformations permanentes des GNT en fonction du nombre de cycles 
de chargements lors d’essais triaxiaux, les déformations plastiques stabilisées ELpij )x(ε  sont 
multipliées par une fonction )N(F . Cette dernière prend la forme analytique proposée par 
Hornych (Hornych et al. (1998)). Dans le cadre d’un calcul aux éléments finis, la structure doit 
être équilibrée à la fin de chaque calcul élastoplastique à N cycles. Sachant qu’il existe une 
relation unique entre elijS  et EL
p
ijε , le calcul à N cycle de )N(pijε  se fait en considérant 
( )elijS . )N(F  (Allou et al. (2007)). 
 
3 Détermination des paramètres du modèle 
 
Afin de déterminer les paramètres du modèle, une campagne d’essais triaxiaux à 
chargements répétés a été effectuée, sur la grave non traitée des Maraîchères (0/20mm) issue 
d’un gneiss, et sur le sable de Missillac (0/4mm). Ces deux matériaux ont été utilisés en couche 
d’assise et sol support de la chaussée à faible trafic lors d’une expérience sur le manége de 
fatigue du LCPC par Hornych (2005). 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
5 
La grave non traitée des Maraîchères a été testée à une densité sèche de 21 kN/m3 (97% de 
l’optimum Proctor modifié), et à deux teneurs en eau : 4% et 5% (Hornych (2005)). Dans cet 
article, on présente seulement les résultats à la teneur en eau de 4%. Le sable de Missillac a été 
testé à une densité sèche de 20,4 kN/m3 (97% de l’Optimum Proctor Modifié), et à une teneur 
en eau de 11%. Le modèle simplifié nécessite :  
- les paramètres d’élasticité : les paramètres du modèle de Boyce anisotrope (Ka, Ga, n et γ) 
sont obtenus en utilisant les résultats d’essais triaxiaux à chargements répétés pour l’étude du 
comportement réversible. 
- les paramètres de Drucker Prager : le paramètre α=∗ 3/kp  est la position du sommet du 
cône de Drucker Prager sur l’axe isotrope. Il est déterminé à partir de la droite de rupture de 
trois essais de cisaillement monotones. Le paramètre ( )33artg α=ψ  représente l’angle 
d’ouverture du cône d’élasticité dans le plan des contraintes )q,p( . Il est déterminé afin 
d’obtenir un comportement élastique pour un domaine de déformation de 10-5-10-4 avant tout 
écoulement plastique pour un chemin de contrainte à 2p/q =∆∆ . 
- les paramètres plastiques : la fonction )N(F  et la loi d’évolution du module d’écrouissage 
H . Une procédure d’identification des paramètres plastiques a été mise au point, à partir de 
l’ajustement du modèle élastoplastique sur les résultats d’essais triaxiaux à chargements répétés. 
Les essais de déformations permanentes sont réalisés selon la procédure par paliers, proposée 
par Hornych  (Hornych et al. (1998)), qui consiste à soumettre chaque éprouvette à différents 
niveaux de contraintes successifs croissants suivant un même chemin de chargement (le rapport 
de contrainte )p/q( ∆∆  reste constant). 
 
4 Modélisation numérique d’une structure de chaussée à faible trafic 
 
La modélisation par éléments finis de la structure de chaussée est réalisée avec le code de 
calcul Cast3m (figure 2), suivant deux étapes. La première étape consiste à résoudre le problème 
élastique (paragraphe 2.1) et à déterminer les champs de contraintes correspondant aux niveaux 
de chargement minimal et maximal. Ensuite, la nature de l’état limite est déterminée à partir de 
ces champs de contraintes et de la surface de charge. La seconde étape consiste à calculer les 
déplacements inélastiques, les déformations inélastiques et plastiques dans la structure en 
fonction du nombre de cycles de chargements et à l’état limite. 
 
Avec le modèle simplifié, les déplacements inélastiques minimums, moyens et maximums 
sont obtenus à l’issu du calcul en chaque point de Gauss du modèle éléments finis. On 
représente figure 3 l’évolution de la profondeur d’ornière moyenne et maximale en fonction du 
nombre de cycles de chargements et à l’état limite, comparée aux résultats expérimentaux. On 
remarque que les résultats obtenus pour l’ornière maximale sont assez proches de l’ornière 
 
4 cm 
20 cm 
250 cm 
Béton bitumineux 
Grave non traitée 
Sol support 
 
 
FIG. 2 – Géométrie et maillage éléments finis de la structure de chaussée considérée. 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
6 
mesurée sur site. Cependant, le modèle conduit à une stabilisation plus rapide des déformations 
permanentes que dans l’expérience.   
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0,0E+00 5,0E+05 1,0E+06 1,5E+06 2,0E+06 2,5E+06 3,0E+06
nombre de cycles
O
rn
iè
re
 
(m
m
)
expérience ornière moyenne
expérience ornière minimale
expérience ornière maximale
w = 4% - ornière maximale
w = 4% - état limite - ornière maximale
w = 4% - ornière moyenne
w = 4% - état limite - ornière moyenne
 
FIG. 3 - Comparaison entre la profondeur de l’ornière mesurée sur le manège et calculée. 
 
5 Conclusion 
 
Cet article décrit un modèle simplifié, basé sur la théorie de l’état limite. Les prédictions 
obtenues ont donné des résultats très encourageants par comparaison à ceux obtenus 
expérimentalement, malgré les difficultés à modéliser le comportement réel de la chaussée 
soumise aux variations climatiques (température variable, teneur en eau variable). 
  
Références 
 
Allou, F., Chazallon, C., Hornych, P. 2007 A numerical model for flexible pavements rut depth 
evolution with time. International Journal for Numerical and Analytical Methods in 
Geomechanics, 31, pp 1 - 22.  
 
Habiballah, T.M., Chazallon, C. 2005 Cyclic plasticity based model for the unbound granular 
materials permanent strains modelling of flexible pavements. International Journal for 
Numerical and Analytical Methods in Geomechanics 29: 577-596. 
 
Hornych, P., Kazai A., Piau J.M. 1998 Study of the resilient behaviour of unbound granular 
materials. Proc. 5th Int. Conf. On the Bearing Capacity of Road and Airfield, Balkema editor, 
Vol. 3, pp. 1277-1287. 
 
Hornych, P. 2005 Rapports interne. L.C.P.C. de Nantes. 
 
Maier, G., Pastor, J., Ponter, A.R.S., Weichert, D. 2003 Direct methods of limit and shakedown 
analysis. Numerical and Computational Methods 12 (3); de Borst and Mang editors, Elsevier. 
 
Sharp, R., and Booker, J. 1984 Shakedown of pavements under moving surface load. Journal of 
Transportation Engineering, pp. 1-14. 
 
Zarka, J., Casier, J. 1979 Elastic plastic response of structure to cyclic loading : practical rules. 
Mechanics Today 6; Ed Nemat-Nasser, Pergamon Press: 93-198. 


Modélisation de l'orniérage des chaussées à faible trafic

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