飯原 慶雄

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飯原, 慶雄

東洋大学学術情報リポジトリ

<論文>オプション・ペイオフの期待値計算とその応用著者 飯原 慶雄著者別名 lihara Yoshio雑誌名 経営論集巻 55ページ 41-50発行年 2002-03-23URL http://id.nii.ac.jp/1060/00005530/Creative Commons : 表示 - 非営利 - 改変禁止http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.ja経営論集 第55 号 （2002 年3 月 ）オプション・ペイオフ の期待値計算とその応用飯 原 慶 雄1 。対数正規分布2.オプション・ペイオフの期待値とオプション価格3.債券オプション4.プロジェクトの評価41オプション価格理論は、Black=Scholes(1973)とMerton(1973) 以来、無裁定条件を表す微分方程式を解いてオプションの価格を求めるという形で発展し、その後、その微分方程式の解は、オプションの基礎資産の確率過程のドリフトを修正したものについて、満期時のオプションのペイオフの期待値を求め。それを割り引いたものであることが明らかになった。したがって、オプション価格理論では、無裁定条件に対応した確率過程の修正が重要な問題となる。コーポレート・ファイナンスの分野、特に資本予算の分野でも、オプション価格理論の応用が盛んに取り上げられているが、対象となるプロジェクトからのキャッシュフローのリスクの市場価格(marketpriceofrisk)を正しく求めることができるかについて疑問がもたれている。しかし、それにもかかわらず、オプション理論の利用は、各種のフレキシビリティを考慮したプロジェクトの評価を可能にするという点から有用性が高い。そこで、この論文では、ドリフトの修正の問題は議論しないことにして、キャッシュフローが適切に修正されたものとして、将来のキャッシュフローの現在価値を求めることにする。その際、将来、キャッシュフローがある水準以上のときにだけ投資を実行することにすると、オプションのペイオフの期待値を求めることに対応する計算が必要になる。そこで。コール・オプションのペイオフの期待値の計算について考察する。Black=Scholes式を変更することにより簡単に得られる結果についても、期待値の計算として求めてみることにする。こうした試みはBlack=Scholes式の理解のためにも役に立つと考えられる。1. 対数 正規分布最初に対数正規分布について考察する。確率変数X の対数値が正規分布するのが対数正規確率変数である。そこで、X を対数正規確率変数とし、x ＝laX (1)42 経営 論集 第55 号（2002 年3 月 ）を平均m ．分散v の正規確率変数とする。(1）式はまた、χ＝e゛と表すことができる。と し 、1A-功 ゜|）X ＞bX<bら(X) ＝£[￥・lx＞A]をX の部分期待値と呼ぶことにする。X の部分期待値はc ＝Inbとすると、越(z)＝re ゛毎 に(≒7)2＆。＼ 、匹 でとなるが、指数関数の指数部分はX －2v 2vV＋m ＋－2と な る の で 、y（xりm-v ）m十一 ゛1 －m-i―t:■^ヨフ プ2v 冶と な る 。A^ （ ・ ）を 標 準 正 規 分 布 関 数 と す る と(2)(3)(4)(5)5(J) ＝尹 ≒ド 驚 二こ〕＝尹 乱じtt+v-iり(6)と な る。 ゐを ・ー・にする こ とによ り 、であることが わかる。（7）式から、。こ£げ) ＝e2 (7)オプション.・ペイオフの期待値計算とその応用ニinE(X) ＝m 十ことなる。(7)式と(8)式を使用すると、ら(X)＝£(X)Nしヌダb]こ1jと表せる。これにたいして、X がろ以上である確率は、J＼nb☆/x-mこイ≒芒〕(8)(9)(10)43となる。(6)式、(8)式、(10)式から、X の部分期待値は、X の期待値に、X の期待値の対数値がVだけ増加したときの確率分布でX がろ以上になる確率をかけたものになっていることがわかる。(8)式を使って(10)式を書き直すと、mx>b) ＝イln[£(鸞]-v/2 〕となる。次に、対数正規確率変数X とy について、E[max(x－Y,O)]=E[(X －Y)l χツr]を求めてみる。命題2 変量の対数正規確率変数J 、 川こついて、＼n(X/Y)の分散をy とすると(H)E[m叫X －Y,0]]＝EiX)ダ ＼n{E(X)lE(Y))+vl2トE(Y) ダ ＼n{E(X)lE{Y))-vl2〕(12)となる。証明 求める値をj とし、Z ＝X ／Yとすると、A=E[max(A' －r,O)]＝E[rmax(Z －l,O)]となる。Z もまた対数正規確率変数である、yノ＝lnY、z=lnZ とすると、44 経営論集 第55 号 （2002 年3 月）に £レ(e^- ＼)＼,刃]となる・y と2 は正規確率変数であるからヽその平均ヽ分散ヽ共分散をμyヽμzヽ a] ヽo] ヽ" ■yzとするとヽZ が与えられたときのy の条件付確率分布は、平均がμy＋(^yz(Z一几j 司 、分散が(φ一昨 加 洲) の正規分布になる。j の値を求めるため、y についての条件付期待値を求めた上で、Z についての期待値を求めると、A ＝E]exp(μタ＋り{z- μz/司 十司ト 峠/ りal)/2)し-l)lz>o]＝exp(ん 一Gyμ^^lai＋aj( 一^昨/a 抑 球×e{[exp((l＋(り/a?)z)-exp( りz/a 刈しo}となる。正規確率変数X の期待値と分数をm とy とすると(7)式と(9)式から、£o(e゛ )゜cxp〔am十寸となるので、(13 ）式の最後の式の期待値 の部分は、???十⑤帽子ヅト帽よ大子サド 宍勺平 儡〕士唯郵。昔ト吟尚となる。これを代入して整理すると、とな る。j =exp〔μy十孚この式について〕卜xp〔μZ十手十(Jyト〔μz十O; 十戸N £≒kF2！)』であることと、E(x)＝cxp(μ2ノ)雍) ＝exp〔μタ＋2・〕Z °X 一y ， μz °μx －μタ， （t} °0} －2axy十(yj・O 戸ニa々-ojV ＝var(ln岡F)] ＝(t2(13)(14)オプション・ペイオフの期待値計算とその応用であ る こと を使 っ て 整 理す る と(12) 式 が得 られる。 (証明終)2. オプション・ペイオフの期待値とオプシ ョン 価格株式のようなオプションの基礎となる資産の価格をX とし、その動きが、dX＝μXdt十oXdfV (15)で表わされるものとする。r はウィーナー過程で、μとa は時間のみの関数であるとする。ズ＝laXとすると伊藤のレンマにより、dx=〔μ丿万 〕冶十adWとなるので、時点Z でのX の値石は匈＝洵 十f〔μ十万 〕冶 十かj『となり、X, の期待値S と分散y はm=xo 十f〔μ 十万 〕ds，V ＝f( 鍔dSとな る。 μ(s,t)と(y^(s,t) をと定義すると、μ(以)＝か力，(y2( μ) ＝f(y2dTm ＝XQ 十μ(O,t)十0-2(0,0- V ＝(7^(0,0(16)(17)(18)(19)45となる。μあるいはa が定数であれば、μ(O,t)＝μZ あるいはa^(O,t)＝ah となる。X の時点Z での値を石 とすると、時点O での痢 の期待値は£(Xt) °cxp〔m十万 〕ニg ゛0＋μ(^'')ニ^0^μ(0,0 (20)となる。したがって、満期までの期間がZ で行使価格が 尺のコール・オプションの満期でのペイオフの期待値は(9)式と(11)式から、46 経営論集 第55 号（2002 年3 月）一可 や 十μ(O,t)－(X^(O,t-o(G,t)(21 ）となる。μとa が定数の場合はμ(o,t)＝μ/ 、(j^(O,t)＝a^t となり、危険中立的確率ではX, の期待値はXo ／ となるので、μOJ) をrt として、ペイオフの期待値を割り引くためにe ‾″をかけてやれば、Black=Scholes式が得られる。次に交換オプションについて考えてみる。2 つの資産があり、それらの資産価格X とy が、それぞれ、dX ＝iixXdt＋OλむWxdY＝μYYdt十avY/町(22)で変動し、a χOydW が/町 ＝dxydt であるとする。時点Z で価格}; の資産を引渡し、価格^, の資産を受取る交換オプション(exchangeoption)を考える。このオプションの時点Z でのペイオフは、max(几 一柘O)であり、H 石 ／石)の分散を(t2(0,0、X, ＝lnA'、、y 、=＼nY,とすると、弗 一dy,＝μ＆十了xdlVx－aバ町となる（ドリフトμは以下の議論に関係ないので計算を省略）ことから、0-2(0,0)= ＼暖 －laxY ＋CY) ゐとなるので、オプションのペイオフの時点Oでの期待値は(12)式から、E匡??ln(£(痢 十(T^(0,0/2(y(o,t)Å匡)9'oeべを押〕? ―??－a(T(0,0くJo 〕(23)となる。交換オプションのオプション価格は、資産価格については危険中立的確率ではドリフトが修正されるだけで、分散は同じであり、時点r での資産価格の期待値はX. ／ と 稲／ になるので、オプション・ペイオフの期待値計算とその応用 47ln(臥Jr,)/£{};))=ln収o/ro) となり、E(X,) とE(Y,) を割引いたものはそれぞ れ^0 と 耶 こなるので、オプションの価格は蜀叫l 府o/裂万万(0,0/2卜 づ と0(0,t)(24)となる。通常のオプションの場合、時点Z での行使価格 尺の時点0 での値は ね“ー であるから、(24)式の}i)に心 ‾″を代入し、司 ＝0、a χy＝Oとすると、(21)式でμ(O,t)＝rt としたものと同じものになる。3. 債券オプション時点z で行使価格£で満期t＋T の純粋割引債を購入することができるコール・オプションを考えてみる。利子率が確率的に変動する債券価格モデルの中で、現在の瞬間利子率がr で、満期までの時間の長さがs のときの債券価格P(s，r』がP(s,r 』＝exp[A(s) －B(s)r] (25)となるものは、アフィン期間構造(affinetermstructure)を持つといわれる。このタイプのモデルにはVasicek モデルを始め、Ho=Lee モデル、Cox=Ingersoll=Rossモデルなどが含まれる。以下ではこのタイプの債券価格モデルに限定して考えることにする。オプションの満期力行 で、行使価格K で満期t＋T の純粋割引債を購入できるオプションは、時点z で、満期がz で額面尺の純粋割引債を引渡し満期がt＋T で額面1 の債券を受取る交換オプションと考えることができる。すなわち時点z での利子率をりとしたとき、E[msK(P(T,r,)－KP(O,r)O)]がこのオプションの価格となる。交換オプションの価格式(24)から明らかのように。(T^(0,0がわかればオプション価格は容易に求めることができる。満期がz 十r とr の債券の時点s(O<s<t) の価格はP(t 十T－s,rA とP(t－s.n) であり、その比をZ(s,r,)とすると、Z(s,r,)は(25)式から、Z(s,rs)＝ex){AトT －s}一A{t－s)-[B(t ＋T －s)一Bit－s)]rs}となる ので、利子 率の変動が48で表すことができる ときには、経営論集 第55 号（2002 年3 月）面 ＝μ(r,t)dt十a(r,t)dWrdZ ＝μzds一[B(t十T －s)－B(t－s)]Za(r,s)dWr(26)となる( μzの値は以下の議論に関係ないので計算を省略した)。これから、(24)式の0-2(0.0はa2(0,0)＝????o^r,s)[B(t ＋T －s)-B(t －s)fdsとなる。Vasicekモデルでは、利子率の変動をとしてお り 、とな る ので 、とな り 、dr＝a(r一戸)＆＋afd 恥B(t)＝Le ‾“)aB(t＋T －s)-B(t －s ＝が''(″‾り( －e‾“^)a ＝e ‾峠 ‾''h(T)aHo,t)＝司 [B(T)]'fe ‾'郎‾')冶 ＝a0となる。したがってオプション価格はとな る。P(t ＋T,ro????KP(向)j[B{T)バ よー^叫/2ロ?? リ(27)(28)(29)(30)(31)4. プロジェクトの評価T期の寿命を持つプロジェクトについて、今からZ 期後に状況に応じて投資を実行するかどうかを決定するときのプロジェクトの評価について考える。こうした状況はテスト・プラントでの小規オプション・ペイオフの期待値計算とその応用 49模な操業の後、大規模なプラントの建設を行うかとうかを考えるときや．R&D の結果。本格的な商品化生産を行うかどうかを考えるときに生じる。大規模な投資についての評価をテストム プラントの実行前あるいはR&D の実行前に行うことが必要である。利子率の変動はVasicek型で、キャッシュフローの変動と利子率の変動は独立であると仮定する。キャッシュフローはリスク修正済みで、その変動はdC ＝μrCdt＋arCdWr (32)で表すことができるものとする。他方、時点Z でのプロジェクトの投資コスト は、そ の時点のキャッシュフローに比例するものとする。すなわち、時点f からt＋dtまでのキャッシュフローがCtdtであるとき、投資コスト 柘 は柘 ニyC,であるとする。時点Z でプロジェクトを実行したときの正味現在価値が正のとき投資が実行される。←??＼CsP{s ーt,n)ds一yCtそこで、時点O でのこのプロジェクトの価値F は－[戸外-t,r,)ds－TCいO]↑(33)(34)となる。利子率の変動とキャッシュフローの変動が独立であるという仮定から、先にキャッシュフローについての期待値を求めることにより、となる。た だし、で あ る。F ＝坤n))Co 匹(*^'卵{max[斤(り)柏-t ，り)dS－T，0]}μC脳) ＝jydl ・ ＼Fん(り)郎 一t,ri)ds (35)がy に等しくなるようなr をバとする。債券価格は利子率の単調減少関数で、利子率が大きくな50るにつれ零に近づくので、経営論集 第55号(2002 年3 月）r ・≒片㈲)ゐ＞yぺ ぶ ザ 酢n)/-≫*>_L 立> ―.VX,-1_サ* ふ ゅ。1C睨) 心P 民 リ 、rf よ一 、&*、び: よ り 。r 包1 更 つ こv ＝p{t n))Co匹(O 山于max[Jユ叫](P(s一t,rt)一印 一t,r*))ds,0]|と表わすことができる。り＞r’のとき、そしてそのときだけ(34)式の値はy より小となる。また、すべてのs(t<s<t ＋T)にういて、り＞/ のとき、そしてそのときだけP(s-t.r,) はP(s －t,r*)より小となるので、V ＝種,り))Coド(^゛)£[msa.(/(s－t,rt)－P(s 一回),o)] ゐ (36)と表すことができる。P(t,り))E[max(p(s-t,rt)－P(s一回＊)o)は現在の価格が/(s・r))の債券に対するコール・オプ ションのオプション価格である。このオプションの行使価格はP(s-t.r*) であり，満期はZ である。債券オプションの価格式(31)からとな る 。r ＝Cop ゛≒/^(0.^)[P{s,ro]イ・一Pり，心)P(s 一丿 ＊)可 色司0,t)＝司(恥)] ト^ ノ“'匹ト (37)(2002年1 月9 日受理)

<Article>Expectation of Option Payoff and its Application

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<論文>オプション・ペイオフの期待値計算とその応用

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