In [1], Granados proved the existence of a whole family of conformal metrics to the Euclidean metric on Sn having scalar curvature n(n−1). In this paper, we find another solution to the problem of prescribing scalar curvature on Sn. Furthermore, if a family of solutions of the general problem is known, we get a new family of solutions.MSC: 53.A30; 53.A10Granados, en [1], ha demostrado la existencia de una familia de métricas conformes a la usual de la esfera unitaria con curvatura escalar n(n−1). En el presente artículo se halla otra solución al problema de prescribir la curvatura escalar de Sn por medio de una transformación conforme adecuada. Más áun, si se conociera una familia de soluciones al problema general, se obtendría otra familia de soluciones.MSC: 53.A30; 53.A1

Granados-Pinzón, Claudia

Olaya-León, Wilson

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Revistas académicas Universidad EAFIT

Ingenier´ıa y Ciencia, ISSN 1794–9165Volumen 6, nu´mero 11, enero-junio de 2010, pa´ginas 47–56Transformacio´n conforme para prescribircurvatura escalar a la esferaTransformac¸a˜o conforme para prescrever curvatura escalar a` esferaConformal transformation for prescribing scalar curvature onsphereClaudia Granados–Pinzo´n1 y Wilson Olaya–Leo´n2Recepcio´n:12-nov-2009/Modificacio´n:22-feb-2010/Aceptacio´n:22-feb-2010Se aceptan comentarios y/o discusiones al art´ıculoResumenGranados, en [1], ha demostrado la existencia de una familia de me´tricasconformes a la usual de la esfera unitaria con curvatura escalar n(n−1). En elpresente art´ıculo se halla otra solucio´n al problema de prescribir la curvaturaescalar de Sn por medio de una transformacio´n conforme adecuada. Ma´s au´n,si se conociera una familia de soluciones al problema general, se obtendr´ıaotra familia de soluciones.Palabras claves: me´trica conforme, curvatura escalar, espacio de Hilbert,transformacio´n conforme.ResumoGranados [1] mostrou a exiseˆncia de uma familia de me´tricas conformes a`usual da esfera unita´ria com curvatura escalar n(n − 1). No presente artigoencontra se uma outra soluc¸a˜o ao problema de prescrever a curvatura escalarda Sn por meio de uma transformac¸a˜o conforme adecuada. Mais ainda, se1 Mag´ıster en Ciencias matema´ticas, cigranad@uis.edu.co, profesora, Universidad Indus-trial de Santander, Bucaramanga–Colombia.2 Mag´ıster en Ciencias matema´ticas, wolaya@uis.edu.co, profesor, Universidad Industrialde Santander, Bucaramanga–Colombia.Universidad EAFIT 47|Transformacio´n conforme para prescribir curvatura escalar a la esferaconheˆceramos uma familia de soluc¸oes ao problema geral, obteriamos umafamilia de soluc¸oes.Palavras chaves: me´trica conforme, curvatura escalar, espac¸o de Hilbert,transformac¸a˜o conforme.AbstractIn [1], Granados proved the existence of a whole family of conformal metricsto the Euclidean metric on Sn having scalar curvature n(n−1). In this paper,we find another solution to the problem of prescribing scalar curvature on Sn.Furthermore, if a family of solutions of the general problem is known, we geta new family of solutions.Key words: conformal metric, scalar curvature, Hilbert space, conformaltransformation.1 Introduccio´nSea Sn = {(x1, x2, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 :∑n+1i=1 x2i = 1}, n > 3, la esfera unitariaen Rn+1 con la me´trica usual g0 =∑n+1i=1 dx2i . Sn tiene entonces curvaturaescalar constante igual a K0 = n(n − 1). Si g es otra me´trica riemannianaen Sn, se dice que g es una deformacio´n conforme de g0 si y so´lo si existeuna funcio´n u suave positiva tal que g = u4n−2 g0. Un problema cla´sico engeometr´ıa diferencial es determinar las funciones K definidas sobre Sn paralas cuales existe una me´trica conforme a la me´trica g0 con curvatura escalarprescrita K en Sn.Dada la funcio´n K, la existencia de dicha g equivale a la existencia deuna solucio´n positiva suave u, definida en Sn con valores reales, a la ecuacio´ndiferencial−△u+n(n− 2)4u =n− 24(n− 1)K(x)un+2n−2 , x ∈ Sn , (1)donde g = u4n−2 g0.Si K(x) es constante, el problema es conocido como la conjetura de Yama-be, el cual fue estudiado por Yamabe (1960), Tru¨dinger (1968), Aubin (1976)y finalmente demostrado por Richard Shoen en 1984, ver [2, 3, 4]. Para una|48 Ingenier´ıa y Ciencia, ISSN 1794–9165Claudia Granados y Wilson Olayafuncio´n de curvatura K(x) no constante el problema sigue sin resolver. Aun-que son numerosos los intentos y los resultados concluyentes encontrados enrelacio´n al problema, en la actualidad sigue abierto ya que la gran dificultaden la solucio´n de estos problemas es la falta de compacidad entre los enca-jamientos de los espacios de Sobolev asociados. El resultado ma´s reciente hasido presentado en el an˜o 2001 por Wenxiong Chen and Congming Li [5], don-de muestran una condicio´n necesaria y suficiente para que el problema tengasolucio´n.En el caso particular, K(x) = K0 = n(n− 1), todo se reduce a probar laexistencia de una funcio´n positiva u que resuelva el problema−△u+n(n− 2)4u =n(n− 2)4un+2n−2 , x ∈ Sn , (2)donde g = u4n−2 g0.El teorema 1.1 garantiza la existencia de una familia de soluciones a (2)y, as´ı, la existencia de una familia de me´tricas conformes a la usual en Sn. Sudemostracio´n se puede ver en [1] o´ [6] aunque el resultado fue presentado en[5] sin dar alguna sugerencia de su prueba.Teorema 1.1. La ecuacio´n diferencial no lineal (2) tiene infinitas solucionesφ(x) ≡(λλ2 cos2 r2 + sen2 r2)n−22, (3)donde 0 6 r < pi es un nu´mero real que depende de x y 0 < λ 6 1 es lavariable que produce las infinitas soluciones de (2).En la seccio´n 2 se define una transformacio´n conforme adecuada que per-mite hallar otra solucio´n de (2).2 Nota sobre la solucio´n u ≡ 1Considerando el espacio de Hilbert H21 (Sn) = {u ∈ L2(Sn) : ▽u ∈ L2(Sn)},cuya norma esta´ dada por ||u||H21(Sn) =(∫Sn(|▽u|2 + n(n−2)4 u2)dV) 12, se de-fine el conjunto S ={u ∈ H21 (Sn) : ||u||2 = n(n−2)4 |Sn|, u > 0}, donde |Sn|Volumen 6, nu´mero 11 49|Transformacio´n conforme para prescribir curvatura escalar a la esferaes el volumen de Sn y tomando adema´s que Sn esta´ centrada en en+1 =(0, . . . , 0, 1).Siguiendo el bosquejo de la demostracio´n del resultado ma´s general queaparece en [5], se define a continuacio´n la familia de transformaciones confor-mes T : S → S, dada porTu(x) := u (h(x)) [det(dh)]n−22n , (4)con h : Sn → Sn definida porh(r, θ) =(2 tan−1(λ tanr2), θ),donde 0 < λ 6 1 y (r, θ) ∈ Sn con 0 < r < pi y θ ∈ Sn−1.Lema 2.1.det(dh(x)) =(λcos2 r2 + λ2 sen2 r2)n,con 0 < λ 6 1.Demostracio´n. La derivada de h en el punto p es la funcio´n (dh)p : TpSn →TpSn definida por (dh)p(v) =ddth(α(t))|t=0, donde α(t) es una curva en Snque satisface α(0) = p, α′(0) = v.Para facilitar los ca´lculos, se extiende h a una funcio´n suave h˜ : Rn+1 → Rn+1.En consecuencia, se tiene queh˜|Sn(x1, . . . , xn, xn+1) = (y1, . . . , yn, yn+1) ,donde x1 = θ1 sen r, . . . , xn = θn sen r, xn+1 = 1 − cos r, y1 =θ1 sen r˜, . . . , yn = θn sen r˜, yn+1 = 1 − cos r˜, con r˜ = 2 tan−1(λ tan r2)y (θ1, . . . , θn) ∈ Sn−1. As´ı, yi =xisen r sen r˜, para 1 6 i 6 n.De la expresio´n para r˜ se sigue que sen r˜ =2λ sen r2cos r2cos2 r2+λ2 sen2 r2.Por consiguiente, yi =λxicos2 r2+λ2 sen2 r2= λxi1+(λ2−1) sen2 r2=λxi1+(λ2−1) 1−cos r2= 2λxi2+(λ2−1)xn+1, para i = 1, . . . , n. Adema´s, yn+1 = 1− cos r˜ =1−cos2 r2−λ2 sen2 r2cos2 r2+λ2 sen2 r2=2λ2 sen2 r2cos2 r2+λ2 sen2 r2= 2λ2xn+12+(λ2−1)xn+1. Entonces,h˜|Sn(x1, . . . , xn, xn+1) =2λ2 + (λ2 − 1) xn+1(x1, . . . , xn, λxn+1) .|50 Ingenier´ıa y Ciencia, ISSN 1794–9165Claudia Granados y Wilson OlayaPor otra parte, la restriccio´n de h˜ a la esfera Sn es simplemente h y, as´ı, tienerango n. De hecho, se tiene x21 + · · · + x2n + (xn+1 − 1)2 = 1, lo cual permitedespejar xn+1 en funcio´n de las xi, 1 6 i 6 n. Por tanto, la u´ltima columnade la diferencial h˜ tiene componentes nulas. De este modo, el determinante dedh es el subdeterminante de dh˜ correspondiente a las xi, 1 6 i 6 n. Es decir,det(dh(x)) =(λ1 + (λ2 − 1)xn+12)n,con 0 < λ 6 1. Usando coordenadas esfe´ricas donde xn+1 = 1− cos r. Enton-ces,det(dh(x)) =(λcos2 r2 + λ2 sen2 r2)n,con 0 < λ 6 1.El teorema 2.1 muestra la solucio´n constante u ≡ 1 de (2) despue´s de apli-car la transformacio´n conforme (4) a la solucio´n (3). Este resultado sera´ ge-neralizado en el teorema 3.1.Teorema 2.1. Sean φ y T definidos en (3) y (4) respectivamente, entoncesTφ(x) = 1 . (5)Demostracio´n. Por (3) y el lema 2.1, se tiene queTφ(x) = φ (h(x)) [det(dh)]n−22n=(λλ2 cos2(tan−1(λ tan r2))+ sen2(tan−1(λ tan r2)))n−22( λcos2 r2+ λ2 sen2 r2)n−22=(λ(1 + λ2 tan2 r2)λ2 + λ2 tan2 r2)n−22 (λcos2 r2+ λ2 sen2 r2)n−22=(cos2 r2+ λ2 sen2 r2λ cos2 r2+ λ sen2 r2)n−22(λcos2 r2+ λ2 sen2 r2)n−22= 1 .Volumen 6, nu´mero 11 51|Transformacio´n conforme para prescribir curvatura escalar a la esfera3 Transformacio´n conforme y problema generalEl me´todo de transformacio´n conforme ha sido utilizado para simplificar pro-blemas que incluyen la ecuacio´n de Laplace ya que e´sta es invariante cuandose aplica la transformacio´n [4, pa´g. 183].Sean γ = n(n−2)4 , τ =n+2n−2 y la funcio´n R(x) =γn(n−1)K(x). As´ı, (1) setransforma en−∆u+ γu = R(x)uτ . (6)El problema admite la siguiente interpretacio´n variacional [2, 7]: multipli-cando a (6) por u e integrando se tiene que−∫Snu∆udV + γ∫Snu2dV =∫SnR(x)uτ+1dV .De la primera identidad de Green se sigue que∫Sn|▽u|2 dV + γ∫Snu2dV =∫SnR(x)uτ+1dV .Se definen las funcionalesJ (u(x)) :=∫SnR(x)uτ+1dVyE(u(x)) :=∫Sn(|▽u|2 + γu2)dV,para u ∈ H21 (Sn) .Se observa que ‖u‖2 ≡ E(u), es decir, el conjunto S, definido en la seccio´n2, es simplemente S ={u ∈ H21 (Sn) : E(u) = γ|Sn|, u > 0}, donde |Sn| es elvolumen de Sn.El lema 3.1, ver [5, pa´g. 66], muestra la relacio´n entre los funcionalesdefinidos anteriormente y la ecuacio´n diferencial no lineal (6).|52 Ingenier´ıa y Ciencia, ISSN 1794–9165Claudia Granados y Wilson OlayaLema 3.1. Un mu´ltiplo escalar de un punto cr´ıtico de J en S es solucio´n de(6).A continuacio´n se demuestra una importante propiedad de las funciona-les J y E. Esta propiedad se conoce como invarianza conforme y permiteencontrar, en el teorema 3.1, a otra familia de soluciones de (6).Lema 3.2. J(Tu(x)) = J(u(x)) y E(Tu(x)) = E(u(x)), para u ∈ H21 (Sn).Demostracio´n. Primero se vera´ que J(Tu(x)) = J(u(x)), para u ∈ H21 (Sn).En efecto, aplicando la transformacio´n (4) y haciendo el cambio de variablesy = h(x) se tiene queJ(Tu) = γ∫SnR(x) (Tu)τ+1 dV= γ∫SnR(x) [u (h(x))]2nn−2 [det(dh)]dV= γ∫SnR(y)(u(y))τ+1dy = J(u) .Ahora, se puede ver que E(Tu) = E(u), para u ∈ H21 (Sn).Por (4) y (5), se tiene que φ ◦ h(x) = [det dh]−n−22n . Adema´s,∇(u ◦ h)(x) = ∇u(h(x))[det dh]1n In = [det dh]1n∇u(h(x)) .Luego,∫Sn|∇(Tu(x))|2dV =∫Sn∣∣∣∇(u ◦ h(x)[det dh]n−22n )∣∣∣2 dV=∫Sn∣∣∣∣∇(u ◦ h(x)φ ◦ h(x))∣∣∣∣2 dV=∫Sn∣∣∣∣φ ◦ h(x)∇(u ◦ h(x)) − u ◦ h(x)∇(φ ◦ h(x))[φ ◦ h(x)]2∣∣∣∣2 dV=∫Sn[det dh]2nφ2(h(x))(|∇u(h(x))|2 − 2u(h(x))φ−1(h(x))∇u(h(x))∇φ(h(x)))dVVolumen 6, nu´mero 11 53|Transformacio´n conforme para prescribir curvatura escalar a la esfera+∫Sn[det dh]2nφ2(h(x))(u2(h(x))φ−2(h(x))|∇φ(h(x))|2)dV .Por otro lado,∫Snu2φ−1△φdV = −∫Sn∇(u2φ−1)∇φdV= −∫Sn2uφ−1∇u∇φdV +∫Snu2φ−2|∇φ|2dV .As´ı,∫Sn|∇(Tu(x))|2dV =∫Sn[det dh](|∇u(h(x))|2+u2(h(x))φ−1(h(x))∆φ(h(x)))dV−∫Sn[det dh](u2(h(x))φ−2(h(x))|∇φ(h(x))|2+u2(h(x))φ−2(h(x))|∇φ(h(x))|2)dV=∫Sn[det dh](|∇u(h(x))|2 + u2(h(x))φ−1(h(x))(γφ(h(x)) − γφτ (h(x))))dV=∫Sn[det dh](|∇u(h(x))|2 + γu2(h(x)) − γu2(h(x))φ2(h(x))φτ+1(h(x)))dV= E(u(x))− γ∫Snu2(h(x))φ2(h(x))dV = E(u(x))− γ∫Sn(Tu(x))2dV .La tercera y cuarta igualdad se siguen de φq(h(x)) = (det dh)−n−22n yT (u(x)) = u(h(x))φ−1(h(x)), respectivamente.En el teorema 3.1, que generaliza el resultado encontrado en el 2.1, muestraque si se conociera una familia de soluciones del problema ma´s general deprescribir la curvatura escalar en Sn, y utilizando la transformacio´n conformedefinida en (4), se obtendr´ıa otra familia de soluciones. Este resultado sepresento´ en [5] sin dar sugerencia de su demostracio´n.Teorema 3.1. Si u es solucio´n de (6), entonces Tu tambie´n es una solucio´n.|54 Ingenier´ıa y Ciencia, ISSN 1794–9165Claudia Granados y Wilson OlayaDemostracio´n. De la definicio´n de la derivada de Gaˆteaux y puesto queJ(Tu) = J(u), se tiene que〈J ′(Tu), v〉 = l´ımt→01t{J(Tu+ tv)− J(Tu)} (7)= l´ımt→01t{J(T(u+ tv ◦ h−1[det dh]2−n2n))− J(Tu)}= l´ımt→01t{J(u+ tv ◦ h−1[det dh]2−n2n)− J(u)}= 〈J ′(u), v ◦ h−1[det dh]2−n2n 〉 ,donde h−1 es la inversa de h. Si u es solucio´n de (6) entonces J ′(u) = 0y E(u) = γ|Sn|. As´ı, por (7) y puesto que E(Tu) = E(u) teniendo queJ ′(Tu) = 0 y E(Tu) = γ|Sn|. Lo cual implica que Tu es tambie´n una solucio´nde (6).4 ConclusionesSe muestra una forma creativa de encontrar la solucio´n trivial al problema deprescribir la curvatura escalar en la n-esfera con curvatura escalar n(n − 1).Tambie´n se presenta una transformacio´n conforme que puede ser u´til en elproblema de prescribir la curvatura escalar a la esfera. Es decir, si se conocie-ra una familia de soluciones del problema general entonces utilizando dichatransformacio´n se obtendr´ıa otra familia de soluciones.El problema de prescribir la curvatura escalar a la esfera ha recibido granatencio´n en la literatura y varios autores han encontrado condiciones sobre Kpara la existencia de g, ver [1, 2, 5, 8, 9], pero en la actualidad sigue siendoun problema abierto.AgradecimientosLos autores expresan su agradecimiento a los a´rbitros de la revista por susvaliosas sugerencias y por supuesto a la Universidad Industrial de Santanderpor el apoyo prestado.Volumen 6, nu´mero 11 55|Transformacio´n conforme para prescribir curvatura escalar a la esferaReferencias[1] C. Granados.Un caso particular del problema de prescribir la curvatura escalar enSn. Matema´ticas: Ensen˜anza Universitaria, pISSN 0120–6788, eISSN 1900-043X,XV(1), 119–123 (2007). Referenciado en 47, 48, 49, 55[2] T. Aubin. 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Ding. Scalar curvatures on S2. Transactions of the Ameri-can Mathematical Society, eISSN 1088–6850, pISSN 0002–9947, 303(1), 365–382(1987). Referenciado en 55[9] R. Schoen and D. Zhang. Prescribed scalar curvature on the n−sphere. Calculus ofvariations and partial differential equations, ISSN 0944–2669, 4(1), 1–25 (1996).Referenciado en 55|56 Ingenier´ıa y Ciencia, ISSN 1794–9165

Transformación conforme para prescribir curvatura escalar a la esfera

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