In this paper we propose to find an approximate solution to boundary value problems and initial value differential system problems using the method of Fer developments.MSC: 35M10, 35C10, 35A20En este artículo se propone encontrar una solución aproximada para problemas de valor en la frontera y problemas de valor inicial de un sistema diferencial utilizando el método de los desarrollos de Fer.MSC: 35M10, 35C10, 35A2

Castaño–Bedoya, Jorge I.

García–Jaimes, Orlando

Sánchez–Cano, José A.

Spanish

Revistas académicas Universidad EAFIT

Ingenier´ıa y Ciencia, ISSN 1794–9165Volumen 5, nu´mero 10, diciembre de 2009, pa´ginas 171–182Solucio´n aproximada de sistemasdiferenciales mixtosSoluc¸a˜o aproximada de sistemas diferenciais mistosApproximated solution of differentials mixed systemsJorge I. Castan˜o–Bedoya1, Orlando Garc´ıa–Jaimes2 y Jose´ A. Sa´nchez–Cano3Recepcio´n:16-sep-2009/Modificacio´n:23-nov-2009/Aceptacio´n:23-nov-2009Se aceptan comentarios y/o discusiones al art´ıculoResumenEn este art´ıculo se propone encontrar una solucio´n aproximada para problemasde valor en la frontera y problemas de valor inicial de un sistema diferencialutilizando el me´todo de los desarrollos de Fer.Palabras claves: ecuaciones diferenciales, problemas de valor inicial, solucio´naproximada, desarrollos de Fer.ResumoNeste artigo propomos-nos encontrar uma soluc¸a˜o aproximada para problemasde valor na fronteira e problemas de valor inicial de um sistema diferencialutilizando o me´todo dos desenvolvimentos de Fer.Palavras chaves: equac¸o˜es diferenciais, problemas do valor inicial, soluc¸a˜oaproximada, desenvolvimentos de Fer.1 Doctor en Ciencias matema´ticas, icastano@eafit.edu.co, profesor del departamento deCiencias ba´sicas , Universidad EAFIT, Medell´ın–Colombia.2 Doctor en Ciencias matema´ticas, olgarcia@eafit.edu.co, profesor del departamento deCiencias ba´sicas, Universidad EAFIT, Medell´ın–Colombia.3 Doctor en Ciencias matema´ticas, josanche@eafit.edu.co, profesor del departamento deCiencias ba´sicas, Universidad EAFIT, Medell´ın–Colombia.Universidad EAFIT 171|Solucio´n aproximada de sistemas diferenciales mixtosAbstractIn this paper we propose to find an approximate solution to boundary valueproblems and initial value differential system problems using the method ofFer developments.Key words: differential equations, problems of initial value, approximatesolution, developments of Fer.1 Introduccio´nEl problema de encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones diferencialescon coeficientes matriciales aparece en la formulacio´n de modelos matema´ticosde diversos problemas tecnolo´gicos.En este art´ıculo se utilizara´ el me´todo de los desarrollos de Fer para en-contrar una solucio´n aproximada de un sistema de ecuaciones diferencialesparciales.Los desarrollos de Fer fueron obtenidos originalmente en la de´cada del50 para la solucio´n de ecuaciones diferenciales lineales no auto´nomas. Enestudios posteriores se aplicaron para la resolucio´n de la ecuacio´n diferencialde un operador lineal A(t) en meca´nica cua´ntica y la ecuacio´n diferencialcorrespondiente al operador no lineal en meca´nica cla´sica.El me´todo en mencio´n tiene la ventaja de exigir un mı´nimo de condicionesa los coeficientes matriciales, tan solo se exige continuidad en ellos, frentea otros me´todos que exigen condiciones mucho ma´s fuertes, tales como ladiferenciabilidad y la analiticidad, entre otros. Con respecto a las desventajasque puede presentar el me´todo, se destaca el elevado costo computacional,debido a la presencia de funciones exponenciales matriciales.En este art´ıculo se considerara´ el problema mixtout(x, t) = A(t)uxx(x, t) 0 < x < p, t > 0 (1)u(0, t) = u(p, t) = 0 t > 0 (2)u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ p , (3)donde u(u1, u2, . . . , ur) y f(x) son vectores de Cr y A(t) es una matriz en Cr×rcuyas entradas son funciones continuas y adema´s existe un nu´mero positivo|172 Ingenier´ıa y Ciencia, ISSN 1794–9165Jorge I. Castan˜o–Bedoya, Orlando Garc´ıa–Jaimes y Jose´ A. Sa´nchez–Canoδ tal que para todo valor propio z de la matriz12[A(t) +AH(t)]se verifica que z > δ , (4)donde AH(t) denota la transpuesta conjugada de la matriz A(t).A trave´s de este trabajo, el conjunto de todos los valores propios de unamatriz A se denotara´ por σ(A) y el radio espectral de A, denotado por ρ(A),es el ma´ximo del conjunto {|z|; z ∈ σ(A)}Se denotara´ por ‖A‖ la 2–norma de A:‖A‖ = supy 6=0‖Ay‖‖y‖2 = ma´x{|w| 12 ; w ∈ σ(AHA)},donde para un vector y ∈ Cr, ‖y‖2 = (yHy) 12 es la norma eucl´ıdea usual.De acuerdo con [1, pa´gina 110], la norma logar´ıtmica esta´ dada porµ(A) = l´ımh→0+‖I + hA‖ − 1h,donde I es la matriz identidad.Adema´s, la norma logar´ıtmica cumple las siguientes propiedades• µ(A) 6 ‖A‖• µ(αA) = αµ(A) para α > 0• µ(A) > Re(z) para todo valor propio z de A• µ(A) = ma´x{w; w ∈ σ(A+AH2 )}.2 Solucio´n en series infinitasUsando el me´todo de separacio´n de variables cla´sico, una candidata a la so-lucio´n en serie del problema (1)–(3), es de la formau(x, t) =∞∑n=1Tn(t) sin(nπxp),Volumen 5, nu´mero 10 173|Solucio´n aproximada de sistemas diferenciales mixtosdonde Tn(t) es la solucio´n del problemaT ′n(t) =[−(nπp)2A(t)]Tn(t) (5)Tn(0) = Cn, t > 0 ,y Cn es el ene´simo coeficiente de la serie de Fourier para f(x),Cn =2p∫ p0f(x) sin(nπxp)dx n > 1 .Conside´rese la sucesio´n {un(x, t)}n>1 definida porun(x, t) = Tn(t) sin(nπxp).Es de notar que un(0, t) = un(p, t) = 0, t > 0 y para 0 < x < p∂un∂t−A(t)∂2un∂x2=[T ′n(t) +(nπp)2A(t)Tn(t)]sin(nπxp)= 0 ,donde un = un(x, t). La solucio´n exacta Tn(t) de (5) no es conocida, adema´sde [1], se sigue que‖Tn(t)‖ 6 ‖Cn‖ exp[(nπp)2 ∫ t0µ(A(s))ds], t > 0 .Lo anterior se puede resumir en el teoremaTeorema 2.1. Dado el problema (1)–(3), donde A(t) ∈ Cr×r es una fun-cio´n continua para todo t > 0 tal que se cumple la condicio´n (4) y sea f(x)una funcio´n continua en [0, p] tal que f(0) = f(p) = 0 y cada una de suscomponentes fj para 1 6 j 6 r satisface una de las dos condiciones:1. fj(x)es localmente de variacio´n acotada en algu´n punto x ∈ [0, p] ,2. fj(x) admite una derivada(f ′j)R(x)y(f ′j)L(x), donde(f ′j)R(x)re-presentan las derivadas por la izquierda y la derecha en todo puntox ∈ [0, p].|174 Ingenier´ıa y Ciencia, ISSN 1794–9165Jorge I. Castan˜o–Bedoya, Orlando Garc´ıa–Jaimes y Jose´ A. Sa´nchez–CanoEntonces la funcio´n u(x, t) definida poru(x, t) =∑n>1Tn(t) sin(nπxp)es solucio´n del problema (1)–(3).Obse´rvese que la solucio´n del problema vectorial se puede escribir de laformaTn(t) = Un(t)Cn , (6)donde Un(t) es la solucio´n del problemaU ′n(t) =[−(nπp)2A(t)]Un(t) (7)Un(0) = I.Para encontrar una solucio´n aproximada a Tn(t), se utilizara´ el desarrollode Fer y de esta forma se tendra´ una solucio´n aproximada para el problema(1)–(3).Antes de abordar este trabajo, se considera´ el siguiente teorema y algunosotros resultados.Teorema 2.2. Bajo la hipo´tesis (4), seaα(a0, a1) = mı´n{z ∈ σ(A(t) +AH(t)2), a0 6 t 6 a1},entonces la solucio´n V (t) del problemaV ′(t) =[−λ2A(t)] V (t) V (a0) = V0 a0 6 t 6 a1, λ > 0satisface‖V (t)‖ 6 ‖V0‖ exp[−(t− a0)λ2α(a0, a1)]con a0 6 t 6 a1.Volumen 5, nu´mero 10 175|Solucio´n aproximada de sistemas diferenciales mixtosDemostracio´n. Por [1], se sabe que‖V (t)‖ 6 ‖V0‖ exp[∫ ta0µ(−λ2A(s))ds], a0 6 t 6 a1.Sea τ cualquier valor propio de−λ2(A+AH2),entoncesτmı´n(−λ2(A+AH2))6 τ 6 τma´x(−λ2(A+AH2)).Como λ2 > 0, entonces−λ2τma´x(A+AH2)6 τ 6 −λ2τmı´n(A+AH2),en consecuenciaµ(−λ2A(s)) 6 −λ2α(a0, a1) a0 6 s 6 a1 ,por lo tanto‖V (t)‖ 6 ‖V0‖ exp[∫ ta0(−λ2α(a0, a1))ds]‖V (t)‖ 6 ‖V0‖ exp[−(t− a0)λ2α(a0, a1)] a0 6 t 6 a1 .Se sabe que por ser integrable, en el sentido de Riemann–Lebesgue, ver[2], existe una constante M tal que ‖Cn‖ 6 M , n > 1. Aplicando el teorema2.2, la solucio´n de (5) satisface‖Tn(t)‖ 6 M exp[−t0(nπp)2α(0, t1)] 0 < t0 6 t 6 t1 . (8)Ahora, dado ǫ > 0, se esta´ interesado en determinar n0 tal que∥∥∥∥∥∥∑n>n0Tn(t) sin(nπxp)∥∥∥∥∥∥ <ǫ2(9)|176 Ingenier´ıa y Ciencia, ISSN 1794–9165Jorge I. Castan˜o–Bedoya, Orlando Garc´ıa–Jaimes y Jose´ A. Sa´nchez–Canocon (x, t) ∈ D(t0, t1), siendoD(t0, t1) = {(x, t)/0 6 x 6 p, 0 < t0 6 t 6 t1} . (10)De (8) se considera que∑n>n0exp[−t0(nπp)2α(0, t1)]6∫ ∞n0exp[−t0(πxp)2α(0, t1)]dx=p2√πt0α(0, t1)erfc(n0πp√t0α(0, t1)),dondeerfc(t) =2√π∫ ∞te−x2dxes la funcio´n de error complementaria. Luego, a partir de (9), se tiene que∑n>n0‖Tn(t)‖ 6 Mp2√πt0α(0, t1)erfc(n0πp√t0α(0, t1)).Tomando el primer entero positivo n0 tal queerfc(nπp√t0α(0, t1))<ǫ√πt0α(0, t1)Mp, (11)la desigualdad (9) se tiene∥∥∥∥∥u(x, t)−n0∑n=1Tn(t) sin(nπxp)∥∥∥∥∥ < ǫ2 con (x, t) ∈ D(t0, t1) . (12)Con los desarrollos anteriores, se puede establecer el siguiente resultado.Teorema 2.3. Sea A(t) una funcio´n continua en Cr×r tal que se cumple lacondicio´n (4). Sea f(x) continua en [0, p] con f(0) = f(p) = 0 y tal que cadauna de las componentes fj de f(x) satisface una de las condiciones dadas enel teorema 2.1. Adema´s sea t1 > t0 > 0, ǫ > 0 y sea D(t0, t1) definido comoen (10). Si u(x, t) es la solucio´n exacta del problema (1)–(3), definida en elteorema 2.1 y n0 es el primer entero positivo que satisface (11), entoncesn0∑n=1Tn(t) sin(nπxp)es una aproximacio´n que satisface (12).Volumen 5, nu´mero 10 177|Solucio´n aproximada de sistemas diferenciales mixtos3 Solucio´n aproximadaEl intere´s de los autores radica en encontrar una solucio´n aproximada al pro-blema (5) mediante desarrollos de Fer en el intervalo [t0, t1]. Para garantizarla convergencia del me´todo, se divide el intervalo en pequen˜os subintervalosdonde el algoritmo de Fer sea convergente.Dado ǫ > 0, 0 < t0 < t1 y n0 dado por el teorema 2.3, se trata de encontrarel orden m de la aproximacio´n de Fer Tmn (t) a la solucio´n exacta Tn(t) delproblema (5) tal que‖Tn(t)− Tmn (t)‖ <ǫ2n0,donde 0 < t0 6 t 6 t1, 1 6 n 6 n0.Conside´rese una particio´n 0 = h0 < h1 < · · · < hN = t1 donde hj = jhy Nh = t1 con h > 0, entonces en cada uno de los subintervalos se aplica elme´todo de Fer a (7). De esta manera se puede escribirTn(t) = Un(t, 0)CndUn(t, hj)dt=[−(nπp)2A(t)]Un(t, hj) (13)Un(hj , hj) = I hj 6 t 6 hj+1Un(t, 0) = Un(t, hi)Un(hi, hi−1) . . . Un(h, 0), hi 6 t 6 hi+1 .Ahora, se trata entonces de encontrar una solucio´n aproximada Umn (t) parael problema (13) por medio de los desarrollos de Fer.Conside´rese la notacio´nUn(t, hj) = Un,j(t), Umn (t, hj) = U(m)n,j (t)con 0 6 j 6 N − 1, hj 6 t 6 hj+1 donde, por comodidad, se escribira´Un,j(hj+1) = Un,j(h), U(m)n,j (hj+1) = U(m)n,j (h) .As´ı, para hi 6 t 6 hi+1, 0 6 i 6 N − 1, se tiene queUn(t, 0) − U (m)n (t, 0) = Un,i(t)Un,i−1(h) . . .|178 Ingenier´ıa y Ciencia, ISSN 1794–9165Jorge I. Castan˜o–Bedoya, Orlando Garc´ıa–Jaimes y Jose´ A. Sa´nchez–Cano−Un,0(h)− U (m)n,i (t)U (m)n,i−1(h) . . . U (m)n,0 (h)=(Un,i(t)− U (m)n,i (t))Un,i−1(h) . . . Un,0(h)+U(m)n,i (t)(Un,i−1(h) − U (m)n,i−1(h))Un,i−2(h) . . . Un,0(h) + · · ·+ U (m)n,i (t)+ · · ·U (m)n,i−j+1(h)(Un,i−j(h)− U (m)n,i−j(h))Un,i−j−1(h) . . . Un,0(h) + · · ·+ U (m)n,i (t). . . U(m)n,2 (h)(Un,0(h) − U (m)n,0 (h)),entonces∥∥∥Un(t, 0)− U (m)n (t, 0)∥∥∥ 6 i∑j=0∥∥∥U (m)n,i (t)∥∥∥ × . . . × ∥∥∥U (m)n,i−j+1(h)∥∥∥ (14)∥∥∥Un,i−j(h) − U (m)n,i−j(h)∥∥∥ ‖Un,i−j−1(h)‖ × . . .× ‖Un,0(h)‖con hi 6 t 6 hi+1.Por [3], para hj 6 t 6 hj+1 se consigue que∥∥∥U (m)n,j (t)∥∥∥ 6 ‖Un,j(t)‖ exp [K(m)n,j (t, hj )] , (15)adema´s∥∥∥Un,i−j(t)− U (m)n,i−j(t)∥∥∥ 6 ‖Un,i−j(t)‖K(m)n,i−j(t, hi−j ) exp [K(m)n,i−j(t, hi−j )] .(16)Por (15) y (16) se tiene que∥∥∥U (m)n,i (t)∥∥∥× . . .× ∥∥∥U (m)n,i−j+1(h)∥∥∥ ∥∥∥Un,i−j(h)− U (m)n,i−j(h)∥∥∥ 6‖Un,i(t)‖ × . . .× ‖Un,i−j+1(h)‖ ‖Un,i−j(h)‖K(m)n,i−j(hi−j+1,hi−j)exp[K(m)n,i (t, hi) +K(m)n,i−1(hi, hi−1) + · · · +K(m)n,i−j(hi−j+1, hi−j)]. (17)Obse´rvese que, por el teorema 2.2, para 0 < t0 6 t 6 t1, se tiene que‖Un,i(t)‖ × . . .× ‖Un,0(t)‖ 6 exp[−t0(nπp)2α(0, t1)]. (18)Volumen 5, nu´mero 10 179|Solucio´n aproximada de sistemas diferenciales mixtosPor (14)–(17) y (18) se sigue que∥∥∥Un(t, 0) − U (m)n (t, 0)∥∥∥ 6 exp[−t0(nπp)2α(0, t1)]×i∑j=0K(m)n,i−j(hi−j+1,hi−j) exp[K(m)n,i (t, hi) + · · ·+K(m)n,i−j(hi−j+1, hi−j)],(19)donde hi 6 t 6 hi+1, N0 =t0h6 i 6 N − 1.Sea 0 < δ < 1 y sea n0 dado en el teorema 2.3, to´mese h > 0 y seleccio´neseel entero positivo N tal queN > t1a(t1)δξ(n0πp)2con h =t1N(20)donde ξ = 0,8604065 (ver [3]) y a(t1) = ma´x ‖A(t)‖, 0 6 t 6 t1, entoncestomandoδn =a(t1)(npip)2a(t1)(n0pip)2 δ 1 6 n 6 n0 (21)donde δn < δ y δn0 = δ, se puede considerar∫ tjh∥∥∥∥−(nπp)2A(s)∥∥∥∥ds < K(0)n,j(t, hj) = h[(nπp)2a(t1)]< δnξ (22)con jh 6 t 6 (j + 1)h, 0 6 j 6 N − 1, 1 6 n 6 n0.Por (21) y (22) se sigue que:K(0)n,j(t, hj) 6 K(0)n,j(hj+1, hj) 6 δnξK(m)n,j (t, hj) = ξ(K(0)n,j(t, hj)ξ)2mK(m)n,j (t, hj) 6 K(m)n,j (hj+1, hj) = ξ(K(0)n,j(hj+1, hj)ξ)2m6 δn,m(ξ) ,|180 Ingenier´ıa y Ciencia, ISSN 1794–9165Jorge I. Castan˜o–Bedoya, Orlando Garc´ıa–Jaimes y Jose´ A. Sa´nchez–Canodondeδn,m(ξ) = δ2mn ξ, l´ımm→∞K(m)n,j (t, hj) = 0 . (23)Bajo la hipo´tesis (20) y por (19) y (23) se sigue que∥∥∥Un(t, 0)− U (m)n (t, 0)∥∥∥6 exp[−t0(nπp)2α(0, t1)]δn,m(ξ) exp [δn,m(ξ)]i∑j=0ejδn,m(ξ)= exp[−t0(nπp)2α(0, t1)]δn,m(ξ) exp [δn,m(ξ)]e(i+1)δn,m(ξ) − 1eδn,m(ξ) − 1 (24)con ih 6 t(i+ 1)h y N0 6 i 6 N − 1.Obse´rvese que si α > 0 y x > 0, por el teorema del valor medio eαx − 1 =αxeαs para algu´n s ∈ (0, x). Por lo tanto, como ex − 1 > x, se tiene queeαx − 1ex − 1 6 αeαs6 αeαx α > 0, x > 0 , (25)luego, por (24)) y (25) se tiene que∥∥∥Un(t, 0) − U (m)n (t, 0)∥∥∥ 6 exp[−t0(nπp)2α(0, t1)]×δn,m(ξ)(i+ 1)e(i+2)δn,m(ξ) ,y por (6) se sigue que∥∥∥Tn(t)− T (m)n (t)∥∥∥ 6 ‖Cn‖N exp[−t0(nπp)2α(0, t1)]×δn,m(ξ)e(N+1)δn,m(ξ)con 0 6 t0 6 t 6 t1 y 1 6 n 6 n0.Sea ahora ρn la ra´ız u´nica de la ecuacio´nxe(N+1)x = ǫexp[−t0(npip)2α(0, t1)]2‖Cn‖Nn0 1 6 n 6 n0Volumen 5, nu´mero 10 181|Solucio´n aproximada de sistemas diferenciales mixtosy sea mn el primer entero positivo m tal que satisface2m >ln(ρnξ)ln(δn),entonces2m ln(δn) < ln(ρnξ); δn,m(ξ) = ξδ2mn < ρny en consecuencia ∥∥∥Tn(t)− T (m)n (t)∥∥∥ 6 ǫ2n0con 0 6 t 6 t1 y 1 6 n 6 n0. De esta forma bajo la hipo´tesis (4) se tiene que∥∥∥∥∥u(x, t)−n0∑n=1T (m)n (t) sin(nπxp)∥∥∥∥∥ 6 ǫ (x, t) ∈ D(t0, t1) ,vea´se [4], con lo cual se garantiza la convergencia del me´todo.Referencias[1] T. M. Flett. Differential Analysis , ISBN 9780521224208. Cambridge UniversityPress. Cambridge 1980. Referenciado en Referenciado en 173, 174, 176[2] P. Henrici. Discrete variable methods in ordinary differential equations , ISBN0471372242. John Wiley & Sons Inc, New York, 1962. Referenciado en 176[3] Sergio Blanes Zamora. Estudio de la evolucio´n de sistemas dina´micos cla´sicos ycua´nticos utilizando me´todos algebraicos , Tesis doctoral Universidad de Valencia,1998. Referenciado en 179, 180[4] E. Hairer, S. P. Norsset and G. Wanner. Solving ordinary differential equationsI , ISBN 3540566708. Springer, 2009. Referenciado en 182|182 Ingenier´ıa y Ciencia, ISSN 1794–9165

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