Рассмотрено применение механико-математических моделей механики деформируемого твердого тела к описанию трибофатических систем, одновременно подверженных контактному и неконтактному нагружению. Приведены результаты исследования напряженно-деформированного состояния типичной силовой системы

Журавков, М. А.

Сосновский, Л. А.

Щербаков, С. С.

Russian

Электронная библиотека БГУ

 114 
МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ 
МЕХАНІКИ ДЕФОРМІВНОГО ТВЕРДОГО ТІЛА     2009, вип. 10 
 
 
УДК 531.539.538 
М. А. Журавков, д-р физ.-мат. наук,   С. С. Щербаков, канд. физ.-мат. наук, 
Л. А. Сосновский, д-р техн. наук  
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОЛОГИИ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО 
ТВЕРДОГО ТЕЛА В ТРИБОФАТИКЕ 
Розглянуто застосування механіко-математичних моделей механіки 
деформівного твердого тіла до опису трибофатичних систем, одночасно 
схильних до контактного і неконтактного навантаження. Приведені результати 
дослідження напружено-деформованого стану типової силової системи. 
 
APPLICATION OF DEFORMABLE RIGID BODY MECHANICS  
METHODOLOGY IN TRIBO-FATIGUE 
Application of mechanical and mathematical models of deformable rigid body 
mechanics to the description of tribo-fatigue systems simultaneously subject to 
contact and non contact loading is considered. Results of stress-strain state 
research of the typical active system is given.  
 
Изучаемые объекты. Одним из основных направлений исследований в 
трибофатике является построение механико-математических моделей 
напряженно-деформированного состояния силовых систем. Силовыми 
являются механические системы, в которых одновременно реализуется 
контактное взаимодействие с трением (качения, скольжения) между 
твердыми деформируемыми телами и неконтактное (объемное) 
деформирование по крайней мере одного из элементов силовой системы [8]. 
Из экспериментальных исследований [2, 7, 8] известно, что трактовки 
напряженно-деформированного состояния таких систем, как чисто 
контактного либо, например, чисто изгибного, содержат существенную 
погрешность. Исключения представляют предельные случаи, когда тела не 
содержат больших внутренних полостей (например, система шар / шар), либо 
длина стержня намного превосходит его толщину (например, изгиб балки).  
Если обратиться к типичной силовой системе ролик / вал, то, с одной 
стороны, нагрузка NF  (рис. 1) вызывает как контактные деформации при 
взаимодействии ролика с валом, так и изгиб вала в целом, а с другой – 
нагрузки M , kM , Q  вызывают неконтактные растяжение-сжатие, изгиб, 
кручение [2, 7, 8].  
Расчет напряженно-деформированного состояния в условиях сложного 
нагружения (локального в области контакта и объемного) может быть 
выполнен численно, например, методом конечных элементов [5]. Однако в 
этом случае для достаточно широкого диапазона нестационарных 
граничных задач (например, при исследовании динамического изменения 
 115 
напряженно-деформируемого состояния, особенно в трехмерной 
постановке) требуется разработка специальных расчетных схем и 
алгоритмов, которые влекут за собой существенные затраты ресурсов 
(временных, машинных).  
 
 
Рис. 1  Расчетная схема силовой системы ролик / вал при действии  
контактной ( NF ) и неконтактных ( M , kM ,Q ) нагрузок  
 
Постановка задачи. При построении механико-математических 
моделей для исследования напряженно-деформированного состояния 
силовых системы [6] будем учитывать действие как распределенных 
нормальных Sp  и касательных Sq  усилий на контактной поверхности 
S , так и воздействие неконтактных ( M , N , Q ) нагрузок, исходя из 
следующих основных положений:  
1. По крайней мере одна из нагрузок, приложенных к силовой системе, 
вызывает в последней как локальные контактные деформации, так и 
объемное деформирование хотя бы одного из элементов системы. 
2. Напряжения, обусловленные контактной и неконтактной нагрузками, в 
силовой системе действуют одновременно и в единой области. 
3. Форма и площадь контакта в силовой системе дополнительно 
определяются изменением кривизны поверхности того из элементов 
системы, который подвергается объемному деформированию. 
Таким образом, применительно к силовой системе будем решать две 
граничные задачи (рис. 2):  
контактную для взаимодействия элементов системы 
 
 ),(
)( SFp c
S
c
nn ;   ),(
)( SFfp c
S
c
n ;   0
)(c
ij  (1) 
и задачу теории упругости для неконтактных нагрузок 
 116 
 bS
FQQ
Q
;  bS
FNN
N
;  bS FMM N ;  
)(b
iSi
uu
u
,  (2) 
 
где yxS ,  – площадка контакта;  cF  и bF  – контактная и неконтактная 
силы;  f  – коэффициент трения;   – расстояние от центра контакта;  
)(c
ij – 
напряженное состояние при контакте;  n S ; S||τ , M , N , Q  – 
внутренние поперечное и продольное усилие, а также внутренний момент;  
u – перемещения;  QS , NS , MS , uS  – множества точек твердого тела, к 
которым приложены различные граничные условия. 
 
 
Рис. 2  Общая схема нагружения силовой системы 
 
Напряженно-деформированное состояние. Особенностью напряженного 
состояния ряда типичных силовых систем (например, ролик / вал) является то, 
что если напряженное состояние одного из взаимодействующих элементов 
(ролика) является чисто контактным [2, 4, 7 – 9]:  
 
)()(
ij
n
ijij ;   zyxji ,,, ,  (3) 
 
где 
)(n
ij , 
)(
ij  – напряжения, обусловленные соответственно 
нормальной yxp ,  и касательной нагрузками yxq , ,  то в другом 
элементе (вале или кольце), помимо контактных напряжений, также 
 117 
действуют напряжения, обусловленные неконтактной нагрузкой 
(например, изгибающей силой bF ) [2, 4, 7 – 9]: 
)()()( b
ijij
n
ijij ,  (4) 
 
где 
)(b
ij  – напряжения, вызванные неконтактной нагрузкой bF . 
Поскольку в типичных силовых системах взаимодействующие тела 
(ролик и вал) в области контакта ограничены поверхностями второго 
порядка [2, 3, 7], то в данном случае площадка контакта yxS ,  имеет 
форму эллипса, а нормальные усилия на площадке контакта распределены 
по эллиптическому закону 22220 //1, byaxpyxp  ( 0p  – 
максимальное давление в центре контакта, a  и b  – полуоси эллипса) [1, 
3]. 
Расчет напряжений 
)(hs
ij в любой точке zyxK ,,  при 0z  
полупространства при действии на поверхность нормальных усилий yxp ,  
проводится численными методами с использованием функций влияния 
)(B
ijG  из фундаментального решения задачи Буссинеска о действии 
сосредоточенной нормальной силы на полупространство [4, 9]: 
 
 
,
)()(
,,,,,
S
B
ij
hs
ij ddzyxGpzyx .  (5) 
Необходимо учесть, что в точке приложения единичной нагрузки в задаче 
Буссинеска 
)(B
ijG .  Это приводит к тому, что для точек 0z  поверхности 
полупространства расчет в соответствии с (5) не сходится. 
Для расчета напряжений в любой точке zyxK ,,  поверхности 
полупространства при действии нормально распределенных усилий yxp ,  
проводится в соответствии со следующей общей формулой [2]: 
 
 yxyx
S
ij
surf
ij ,0,,
)()(
, (6) 
 
где yx
S
ij ,
)(
 – напряжения на поверхности полупространства, вызванные 
действием давления, распределенного по области yxS , . 
Таким образом, напряжения 
)(n
ij  в формулах (3) и (4) с учетом (6) будут: 
 118 
 )(
)(
)(
surf
ij
hs
ijn
ij
.0
,0
zпри
zпри
 (7) 
Расчет напряженного состояния 
)(
ij , вызванного действием силы 
трения, которая моделируется распределением касательных усилий yxq , , 
также выполняется численными методами с использованием функций 
влияния 
)(C
ijG  из решения задачи Черрути для действия сосредоточенной 
касательной силы на полупространство [4, 9]: 
 
,
)()(
,,,,,
S
C
ijij ddzyxGqzyx .                   (8) 
Напряжения от внеконтактных нагрузок будем определять, применяя 
теорию изгиба бруса [2]:  
 
 
)()()()( Q
ij
N
ij
M
ij
b
ij , (9) 
 
где индексы M , N  и Q  соответствуют внутренним моменту, продольному 
и поперечному усилиям. 
Объединенное напряженное состояние, определяемое выражением (4), 
с учетом (5) – (7), имеет вид [4, 7]: 
 
)()()()()()()( b
ijij
surf
ij
z
hs
ij
b
ijij
n
ijij  
yxddzyxGp
S
ij
z
S
B
ij ,,,,
)(
,
)(
            10) 
zyxddzyxGq
M
ij
S
C
ij ,, ,,,
)(
,
)(
 
.,,,,
)()(
zyxzyx
Q
ij
N
ij  
 
Рассмотрим результаты численного расчета применительно к силовой 
системе ролик / вал в соответствии с выражением (10). Из распределений, 
представленных на рис. 3, хорошо видно, что напряженно-
 119 
деформированное состояние силовой системы значительно отличается 
(качественно и количественно) от таковых при традиционно отдельно 
изучаемых контакте и изгибе.  
 
      
                                        а)                                                                 б) 
      
                                        в)                                                                  г) 
Рис. 3  Распределение напряжений 
)(n
xx  (а),  
)(b
xx  (б),  
)(n
xx +
)(b
xx  ( 0bF : 
область растяжения) (в),  
)(n
xx –
)(b
xx  ( 0bF : область сжатия) (г),  отнесенных 
к максимальному 0p , в окрестности площадки контакта ( 0y , 5,0/ba ) 
 
Выводы.  
1. Предложено принципиально новое развитие традиционной механики 
деформируемых тел: исследуются механические состояния не отдельного 
нагруженного тела, а деформируемой системы как целого, состоящего из 
двух взаимодействующих тел; такие системы называют силовыми. 
2. Представлено общее решение задачи о совмещенном напряженно-
деформированном состоянии деформируемых систем, анализ которого 
приводит к двум заключениям.  
а) Если интересоваться как изменяется локальное поле контактных 
напряжений (деформаций), когда на него накладывается поле напряжений 
(деформаций), обусловленных объемным деформированием, то, по 
существу, это новый класс задач в механике контактного взаимодействия.  
б) Если же интересоваться, как поле напряжений (деформаций), 
обусловленных объемным деформированием, возмущается в локальной 
 120 
области, в которой одновременно возбуждается поле контактных 
напряжений (деформаций), то, по существу, это новый раздел теории 
упругости – теория упругости, освобожденная от принципа Сен-Венана.  
3. Общее заключение состоит в том, что механико-математические 
модели, разрабатываемые в рамках трибофатики, являются существенным 
развитием в перспективном направлении смежных с нею дисциплин 
механического цикла (механики деформируемого твердого тела, 
трибологии, механики поврежденности, механики усталостного 
разрушения). 
 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ 
1. Bhusan, B.  Modern Tribology Handbook [Текст]: монография / B. Bhusan et al. // 
CRC Press, 2000. 
2. Sosnovskiy, L. A. Tribo-Fatigue. Wear-fatigue damage and its prediction 
(Foundations of engineering mechanics) [Текст]: монография / L. A. Sosnovskiy // 
Springer, 2004.  
3. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия [Текст]: монография / К. 
Джонсон. – М.: Мир, 1989.  
4. Журавков, М. А. Исследование сопряженного напряженного состояния 
в условиях контактного нагружения и объемного деформирования [Текст] /    
М. А. Журавков, С. С. Щербаков // Вести НАНБ, сер. физ.-тех. н. – 2008. – № 1. – С. 48–57. 
5. Журавков, М. А. Компьютерный анализ напряженно-деформированного 
состояния в зоне эллиптической площадки контакта тел при качении применительно 
к модели зубчатых зацеплений [Текст] / М. А. Журавков,  А. М. Захарик,      
С. М. Босяков,  С. С. Щербаков // Трение и износ. – 2006. – № 1. – С. 12–16. 
6. Журавков, М. А.  Математическое моделирование в трибофатике [Текст] /  
М. А. Журавков,  Л. А. Сосновский,  С. С. Щербаков // Х Белорусская математическая 
конференция. Тез. Докл. Междунар. науч. конф. Минск, 3-7 ноября 2008 г. Ч. 2. – С. 120–121. 
7. Сосновский, Л. А. Механика износоусталостного повреждения [Текст]: 
монография / Л. А. Сосновский. – Гомель, 2007.  
8. Сосновский, Л. А. Основы трибофатики [Текст]: монография / Л. А. Сосновский. – 
Гомель, 2003. 
9. Щербаков, С. С. Исследование напряженного состояния силовой системы 
для испытаний на контактно-механическую усталость [Текст] / С. С. Щербаков // 
Динамiка, мiцнiсть i надiйнiсть сiльскогосподарськiх машин: тр. I Междунар. науч.-техн. 
конф., Тернополь, Украина, 4–7 октября 2004 г. – С. 400–407. 
 
Белорусский государственный  
университет,  Минск,  Беларусь 
НПО «ТРИБОФАТИКА»,  Гомель,  Беларусь              Надійшла до редколегії 05.03.2009 


Применение методологии механики деформируемого твердого тела в трибофатике

http://elib.bsu.by/bitstream/123456789/12304/1/%d0%96%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%ba%d0%be%d0%b2%20%d0%9c.%d0%90.%2c%20%d0%a9%d0%b5%d1%80%d0%b1%d0%b0%d0%ba%d0%be%d0%b2%20%d0%a1.%d0%a1.%2c%20%d0%a1%d0%be%d1%81%d0%bd%d0%be%d0%b2%d1%81%d0%ba%d0%b8%d0%b9%20%d0%9b.%d0%90.%20%d0%9f%d1%80%d0%b8%d0%bc%d0%b5%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5%20%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bb%d0%be%d0%b3%d0%b8%d0%b8%20%d0%bc%d0%b5%d1%85%d0%b0%d0%bd%d0%b8%d0%ba%d0%b8%20%d0%b4%d0%b5%d1%84%d0%be%d1%80%d0%bc%d0%b8%d1%80%d1%83%d0%b5%d0%bc%d0%be%d0%b3%d0%be%20%d1%82%d0%b2%d0%b5%d1%80%d0%b4%d0%be%d0%b3%d0%be%20%d1%82%d0%b5%d0%bb%d0%b0%20%d0%b2%20%d1%82%d1%80%d0%b8%d0%b1%d0%be%d1%84%d0%b0%d1%82%d0%b8%d0%ba%d0%b5.%20%d0%9c%d0%b5%d1%82.%20%d1%80%d0%be%d0%b7%d0%b2.%d0%bf%d1%80%d0%b8%d0%ba%d0%bb.%20%d0%b7%d0%b0%d0%b4%d0%b0%d1%87%20%d0%bc%d0%b4%d1%82%d1%82.pdf

Применение методологии механики деформируемого твердого тела в трибофатике

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Электронная библиотека БГУ