We  have  proved  some theorems  on  regular  measuresDüzgün ölçüm üzerine bazı teoremler ispatlandı

DÖNMEZ, Ali

ORHAN, Halit

Turkish

Açık Dergi Sistemleri

DÜZGÜN ÖLÇÜM
Ali DÖNMEZ
Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü
Halit ORHAN
Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü
Özet: Düzgün ölçüm üzerine bazı teoremler ispatlandı.
Anahtar sözcükler: Ölçüm, düzgün ölçüm, simetrik fark.
Abstract: We have proved some theorems on regular measures 
Key words: Measure, regular measure, symetric difference.
84
GİRİŞ
Herhangi bir A kümesinin dış ölçümü
olarak tanımlanır ve bu,
fl*(A) = inf 2  m(Pk)
A= uPk
biçiminde gösterilir. Buna bağlı olarak A kümesinin iç ölçümü fl* (A) işareti 
ile gösterilir ve fl*(A) = 1 — fl* (E \ A)  olarak tanımlanır (2, s. 258). İç ve dış 
ölçüm arasında her zaman f l*(A)< fl* (A) bağıntısı vardır. Eğer fl*(A) = fl* (A) 
oluyorsa, A kümesine Lebesgue anlamında ölçülebilirdir denir ve bu, fl*(A) = 
fl(A) = fl* (A)olarak gösterilir (2, s.258).
A kümesinin ölçülebilir olması için gerekli ve yeterli koşulun fl*(A) + f l*(E\A)  = 1 
olmasıdır (2, s.261-263).
A1,A2,..,An,... kümeleri ölçülebilirse, bu kümelerin bileşimleri ve kesişimleri de 
ölçülebilirdir. Ayrıca,
ise n=
]i(A ) < ^  fi(An)
n=1
olur. Eğer An kümeleri ikişer ikişer ayrıksa,
H(A)= ^ j U ( A )
n=1
olur (2, s. 262-263).
Sayılabilir kümelerin ölçümü sıfırdır (3, s.35). Fakat, bu önermenin tersinin doğru 
olması gerekmez. Çünkü, Cantor kümesi ters bir örnektir.
A kümesinin ölçülebilir olması için gerekli ve yeterli koşul her E > 0 sayısına kar­
şılık, fl* (AAB) < E olacak biçimde ilkel bir B kümesinin olmasıdır (2, s.261).
A kümesi ölçülebilirse bu kümenin tümleyeni olan A'=E \ A  kümesi de ölçü­
lebilirdir (2, s.263).
85
Eğer bir özellik bir E kümesinin sıfır ölçümlü bir küme oluşturan noktalar dışındaki 
tüm noktalarda sağlanıyorsa, bu özelliğe E kümesi üzerinde hemen hemen heryerde 
(hhh) sağlanıyor denilir (3, s. 33), (2, s. 288).
TEOREMLER:
1. Teorem: E temel kümesinde A,B c  E olmak üzere hemen hemen her yerde (hhh) 
A=B ise fl( A \  B) = 0 = fl ( B \ A)  olur ve fl( A ç  B) = fl( A u  B) eşitliği vardır.
İspat: Hemen hemen her yerde A =  B olduğundan fl( A \ B )  = 0 = fl ( B \ A)  olduğu 
tanımdan yazılır. Diğer yandan A A  B = ( A \ B ) u  ( B \ A ) eşitliğindeki A \  B ve 
B \A  kümeleri ayrık ve (hhh) A = B olduğundan,fl (AAB) = f l (A\B) + fl(B \ A)=0 
yazılır. Buradan fl(AAB)=0 bulunur.
Ayrıca,
A ç  B i  A u  B ve AAB = (A u  B) \ (A B)
biçiminde olduklarından
0 = fl(AAB) = fl(A u  B) - f l  (A ç  B)
yazılır. Buradan, fl(A u  B) = fl(A ç  B) bulunur. Bu da teoremde gösterilmek iste­
nen sonuçtur.
İkinci bir yol da şöyledir. Ayrık olan A \  B , A u  B ve B \ A kümeleri için 
A u  B = ( A \ B ) u  (A ç  B) u  ( B \ A ) 
eşitliğinin her iki yanının ölçümleri alınırsa,
fl(A u  B) = fl(A \ B) + fl(A ç  B) + fl( B \ A )
elde edilir. Bu eşitlikte fl( A \  B ) = 0 = fl( B \ A ) olduğu kullanılırsa, fl(A u  B) = 
fl(A B) sonucu bulunur.
Örneğin, A = Z  tamsayılar kümesi ve B = Q rasyonel sayılar kümesi olsun. Buna 
göre (hhh) Z = Q olduğu için, fl(A) = fl(B), f l(A\ B) = 0 = fl(B \ A)  ve
0=fl(AAB) = fl (A u  B ) — fl(A ç  B)
olduğu görülür. Buradan fl(A u  B) = fl(A ç  B)  ya da fl(Q) = fl(Z) yazılır.
Tanım: Sayılabilir sonsuzluktaki kümelerin genelleştirilmiş olan simetrik farkı 
A1AA2AA3A... = AA,  ile gösterilir ve
AA=u A ,-  \
,=1
u (A < Ç  Aj)
,*j
86
olarak tanımlanır.
2. Teorem: Eğer A1, A2, A3,... kümeleri ölçülebilirse, bu kümelerin simetrik farkı 
olan AA, kümesi de ölçülebilirdir.
İspat: j  için A, ve Aj kümeleri ölçülebilir olduklarından, A,■ ç  Aj kesişim küme­
si ölçülebilirdir. Ölçülebilir kümelerin sayılabilir sayıdasının bileşimi ölçülebilir 
olacağından
eşitliğinin ikinci yanı da ölçülebilirdir. Buradan AAt simetrik farkı ölçülebilirdir. 
Tanım: Eğer her T kümesi için
p* (T) = p* (T ç  A)  + p* ( T ^  A')
oluyorsa, A kümesi Caratheodory anlamında p* ölçümüne göre ölçülebiliyor denilir 
(3, s. 31).
Buradan hemen şu sonucu söyleyebiliriz.
A kümesinin p* ölçümüne göre ölçülebilir olması için gerekli ve yeterli koşulun her 
T kümesine karşılık
p* (T) >p* (T ç  A) + p* (T ç  A')
olmasıdır.
3. Teorem: A ve B kümeleri Caratheodory tanımına göre ölçülebilirse AAB ve 
A \ B  kümeleri de aynı tanıma göre ölçülebilirdir.
İspat: Tüm T kümeleri için
p* (T) >p*(T ç  (AAB)) + p* (T ç  (AAB)')
olduğunu göstermeliyiz. A ve B kümeleri bu ölçüme göre ölçülebilir olduklarından 
her T kümesi için
87
fl* (T) = fl*(Tç  A)  + fl*(Tç  A)
=fl*(T ç  A)  + fl* (T ç  (AÇ B)) + fl* (T ç  (AÇ B')) (1)
= f l*(Tç  A)  + f l*(Tç  A Ç  B) + f l*(Tç  (Au B)')
yazılır. Öte yandan,
T ç  (AAB) = {T ç  (AÇ B) u  [(T ç  A)  \ (T ç  A ç  B)]} 
ifadesinin her iki yanının dış ölçümünden,
fl*(T ç  (AAB)) < fl*((Tç  (AÇ B)) + fl* (T ç  A ) _ ( T ç  Aç  B) 
olur. Buradan,
fl* (T ç  (AAB)) + fl* (T ç  Aç  B) < fl* ((T ç  (AÇ B)) + fl* (T ç  A)  
yazılır. Buna göre (1) ifadesinde
fl*(T ç  (AÇ B)) + fl* (T ç  A)  
ifadesinden daha küçük olan
fl*(Tç  (AA B)) + fl*(Tç  (Aç  B))
değeri yazılırsa,
fl* (T) > fl* (T ç  (AA B)) + fl *(T ç  (A u  B)') + fl* (T ç  A ç  B) 
eşitsizliği elde edilir. Bu da istenen sonuçtur. Burada, Venn şemasıyla,
T ç  (AAB)'= {(T ç  (A u  B)')} u  {(T ç  Aç  B)}
eşitliğinden
fl*(Tç  (AAB)') + fl*(Tç  (A u  B)') + f l*(Tç  Aç  B)
olduğu daha kolay bir şekilde görülebilir.
Benzer olarak her T kümesi için
fl* (T) > fl* (T ç  (A \ B)) + fl* (T ç  (A \ B)')
olduğunu göstermeliyiz. A ve B kümeleri ölçülebilir olduklarından, her T kümesi 
için,
fl*(T) = fl* ( T ç  A)  + fl* ( T ç  A)  
fl* (T) = fl*(T ç  A)  + fl* (T ç  (A u  B)') + fl* (T ç  (A'u B)) 
fl* (T) = fl* (T ç  A)  + fl* (T ç  A '  ç  B) + fl* (T ç  (A'u B'))
88
(2)
yazılır. Diğer yandan,
T ç  (A\B)=(T  ç  A)  \(T ç  A ç  B) 
eşitliğinin her iki yanına dış ölçüm tanımı uygulanırsa,
p*(T ç  (A \B))  < p* (T ç  A ) - p * ( T  ç  A ç  B)
yazılır. Buradan,
p*(T ç  (A\B))  + p* (T ç  A ç  B) < p* (T ç  A)
eşitsizliği çıkar. Böylece (2) eşitliğinde p* (T ç  A)  ifadesi yerine bundan daha 
küçük olan
p*(T ç  (A \B ))  + p* (T ç  A ç  B)
ifadesi yazılırsa,
p *(T) > p* (T ç  A ' ç  B' ) + p* (T ç  A 'ç  B) + p* (T ç  A ç  B)+p *(T ç  (A\B))  
eşitsizliği elde edilir. Venn şemasıyla,
T ç  (A \B ) '=  (T ç  A 'ç  B') ^  (T ç  A 'ç  B) ^  (T ç  A ç  B) 
olduğundan,
p *(T) > p* (T ç  (A\B))  + p* (T ç  (A \B) ' )  
eşitsizliği elde edilir. Bu da istenen sonuçtur.
Tanım: Verilen bir A kümesi ve her e > 0 sayısı için R halkası (2, s.31) içinde
A ' î  A i  A ''ve m(A "\ A') < E
olacak şekilde A '  ve A '' kümeleri varsa A kümesine Jordan anlamında ölçülebilirdir 
denir (2, s.281). Burada A '  ve A ' ' kümeleri tümleyen anlamında kullanılmamıştır.
4. Teorem: A ve B kümeleri Jordan anlamında ölçülebilirse, A ^  B , A ç  B , A \  B 
ve AAB  kümeleri de Jordan anlamında ölçülebilirdir.
İspat: A ve B kümeleri tanıma göre ölçülebilirse, her 8 > 0 sayısı için
8
A ' î  A i  A '' ve m(A"\ A') < —
2
ve
89
B' î  B î  B '' ve m(B"\ B' )  < —
2
koşullarını sağlayan A', B' ,  A '' ve B'' kümeleri vardır. Bu halde,
A ' u  B' î  A u  B i  A"u B ''
ve
A ' \B  ' i  A \B  i  A '' \B ''
kapsamaları yazılır. Ayrıca,
(A"u B '') \ (A 'u  B' ) i  (A '' \ A ' )  u  (B'' \ B')
kapsamından,
m{(A'u B ' ')\(A'u B')}< m { (A " \A 'u (B  "\ B')}< m(A''\A')+m(B ''\ B')< -  + -  = e
2 2
elde edilir. Bu da, A u  B kümesinin Jordan anlamında ölçülebilir olması demektir. 
Öte yandan,
(A'Ç B'') \ (A'ç  B') i  (A' ' \A ' )  u  (B ''\ B')
kapsamından,
m{(A''ç B'')\(A Ç  B')}< m{(A''\A')u(B"\ B')}
yazılır. Buradan,
m{(A'Ç B'')\(A'ç  B')}< m{(A''\A')+m(B''\ B')< -  + -  = e2 2
bulunura sayısı keyfi olduğundan, AuB  ve A ç B kümeleri Jordan anlamında ölçü­
lebilir olduğu gösterilmiş olunur.
Şimdi AAB kümesinin Jordan anlamında ölçülebilir olduğunu gösterelim. A ve B 
kümeleri Jordan anlamında ölçülebilirse,
A ' î  Aî  A ''ve  m(A' ' \A ' )  < 2
ve
B' î  B î  B '' ve m(B'' \ B' )  < -2
olacak şekilde A' ,  B',  A' '  ve B'' kümeleri vardır. Buna göre,
8
90
A ' c  A c  A '' ve B ' c  B c  B ''
kapsamlarından,
A 'A B 'c  AAB c  A ' 'AB''
yazılır. Buradan,
m(A''AB''\A'AB') < e 
olacak şekilde A' ,  B',  A '' ve B '' kümelerinin olduklarını göstermeliyiz. Bir kere,
A ' c  A c  A ''
B ' c  B c  B ''
ve
kapsamlarından,
ve
A '  \ B '' c  A \ B c  A "\ B '
B '  \ A ' 'c  B \ A c  B ' ' \ A '  
yazılır. (3) ve (4) ifadelerinin taraf tarafa bileşimi alınırsa,
(A ' \ B''}^  (B'  \ A '') c  (A\  B)^(B \ A)  c  (A "\ B ' } ^  (B'' \ A ' )
veya
(A '  \ B''}^  (B'  \ A ''} c  (AA B) c  (A ' ' \  B ' } ^  (B ' ' \ A ' }
yazılır. Ayrıca,
A '  \ B ' c  A \ B c  A ' ' \ B ''
ve
B '  \ A ' c  B \ A c  B'' \ A ''
kümelerinin bileşiminden,
(A ' \ B' (B'  \ A '} c  (A\  B)^(B \ A)  c  (A ' ' \  B ''}^  (B'' \ A ''}
veya,
A ' A B '  c  AA  B c  A ''AB'' 
yazılır. Bu halde işlemlerimizi (6) ifadesi yerine (5) ifadesi ile devam ettirelim.
(A ' '^  B''} \ (A ' ^  B'} c  (A ' ' \ A ' }  \ (B ''\ B'} 
olduğundan, e keyfi sayısı için,
(3)
(4)
(5)
(6)
91
m{(A''uB'')\(A'uB')}< m{(A' '\A')u{B''\B')}< m(A''\A')+m(B' ' \B')< -  + -  = e
2 2
elde edilir. Bu da, AAB kümesinin Jordan anlamında ölçülebilir olması demektir. 
Son olarak,
A ' î  Aî  A '' ve B' î  B î  B ''
ve
A '  \ B '' i  A \ B i  A "\ B '
kapsamlarından,
{(A '' \B') \ (A 'u  B '') i  (A "\ A ' )  u  (B "\ B')  
bağıntısı yazılır. Bu kapsamın her iki yanınının ölçümünden,
m{(A '' \ B ' ) \ (A ' \B '')}< m{(A '' \ A ' ^ ( B '' \ B')}< m(A "\ A')+m(B ' ' \ B ' < -  + -  = e2 2
bulunur. e sayısı keyfi olduğundan A \B kümesinin de, Jordan anlamında ölçülebilir 
olduğu gösterilmiş olunur.
Tanım: E temel kümesi üzerinde fl ölçümünün düzgün olması için gerekli ve yeter­
li koşulun, her bir A i  E kümesi için A i  B ve fl(A) = fl(B) olacak şekilde ölçü­
lebilir bir B kümesinin olmasıdır (1.a, s.56 - 1.b, s.271).
5. Teorem: A ve B kümeleri verildiğinde A i  B için fl(A) = fl(B) oluyorsa, A '  ve B '  
tümleyen kümeleri için de fl(A') = fl(B') olur.
İspat: A ' = B 'u  (B\A)  şeklinde ayrık iki kümenin bileşimi olduğundan,
fl(A') = fl(B') + fl(B \ A)  (7)
yazılır.
Diğer yandan, A ve B \ A kümeleri ayrık olduklarından B = A u  (B\A)  ve fl(A) = 
fl(B) + fl(B \ A ) olur. A i  B ve fl(A) = fl(B) olduğundan, fl(B \ A)=0 gelir. Bu sonuç 
(7) ifadesinde kullanılırsa, fl(A') = fl(B') elde edilir. Bu da gösterilmek istenen 
sonuçtur.
6. Teorem:
A i  B ve fl(A) = fl(B)
C i  D ve fl(C) = fl(D)
ise,
A u  C i  B u  D ve p(A u  C) = p(B u  D)
olur.
92
İspat: Aşağıdaki şekle dikkat edilirse,
A ^  C = Y ^  K  ^  L ^  M  ^  T 
yazılır. Burada her iki yanının ölçümünden,
p(A ^  C) =p(Y ^  K  ^  L ^  M  ^  T)
olur. Ayrıca,
Y ç  K  ç  L ç  M  ç  T = 0
olduğundan, p(A^C)  = p(Y}+p(K)+p(L)+p(M}+p(T) yazılır. Yine, K  ve M  küme­
lerinin ölçümleri sıfır olduğundan,
p(A ^  C) = p(Y}+p(L}+p(T) (8)
yazılır. Diğer yandan,
B ^  D = Z ^  Y K  ^  L  ^  P  ^  R ^  M ^  T ^  S 
ifadesinin her iki yanının ölçümünden ,
p(B ^  D) = p(Z}+p(Y}+p(K}+p(L}+p(P}+p (R}+p(M}+p(T}+p(S)
yazılır. Yine burada şekle dikkat edilirse, Z, K, P, R, M,  Skümelerinin ölçümlerinin 
sıfıra eşit olduğu görülür. Sonuç olarak,
p(B ^  D) = p(Y}+p(L}+p(T} (9)
bulunur. (8) ve (9) eşitliğindenp(A ^  C) = p(B ^  D) elde edilir. Bu da gösterilmek 
istenen sonuçtur.
93
7. Teorem:
A1 i  B1 ve fl(A1) = fl(B1) (10)
A2 c  B2 ve fl(A2) = fl(B2) (11)
ise,
A 1 ç  A 2 c  B1 ç  B2 ve fl(A1 ç  A 2) = fl(B1 ç  B2)
olur.
İspat: Bir kere, A1 ç  A2 c  B1 ç  B2 olduğu açıktır. Şimdi,
fl(A1 Ç A2) =fl(B 1 Ç B2)
olduğunu gösterelim. Verilen hipoteze göre, (10) ve (11) ifadelerinden, B1 =A1 u  C1 
ve B2 =A2 u  C2 olacak şekilde fl(C1) = 0 = fl(C 2) olan C1 ve C2 kümeleri vardır. 
Buradan,
B1 Ç B2 = (A 1 u  C1) Ç (A2 u  C2) c  (A1 u  C1) u  (A2 u  C2)
ve
B 1 ç  B2 = (A1 ç  A2) u  (C1 ç  A 2) u  (A1 ç  C2) u  (C1 ç  C2)
ifadelerinden,
fl(B1 Ç B2) < fl(A1 Ç A2) + fl (C1 Ç A2) + fl (A1 Ç C2) + fl (C1 Ç C2)
< fl(A1 Ç A2) + fl (C1) + fl (C2) + fl (C1) + fl (C2)
yazılır. Ayrıca, fl(C1) = 0 ve fl(C2) = 0 olduklarından,
fl(B1 Ç B2) < fl(A1 Ç A2) (12)
gelir. Öte yandan, A1 ç  A2 c  B1 ç  B2 kapsamından,
fl(A 1 ç  A2) < fl(B1 ç  B2) (13)
yazılır. (12) ve (13) ifadelerinden,
fl(A1 Ç A2) =fl (B1 Ç B2) 
eşitliği elde edilir. Bu da gösterilmek istenen sonuçtur.
8. Teorem:
A 1 c  A2 ve fl(A1)= fl(B1)
A 2 c  A2 ve fl(A2)= fl(B2)
olsun. Bu halde,
94
B,= B v eM(~^ AJ =p(^  BJ
i=I i=I i=I i=I
olur.
İspat:
BI = Aj ^  CI ve p(CI} = 0 
B 2 = A2 ^  C2 ve p(C2) = 0
ve «
^ M ( C J = 0
i=I
olacak şekilde C , C 2> ••• kümeleri vardır. Böylece,
B = r \  B > = n  (A > ^ c j)i=I i=I
= n  A ^  [ o 1 (A ‘ ^  c j) 1i=I i=I J
C A ı_> ( { j C j )
i=I
kapsamı yazılır. Böylece,
M B)<MA) + MvjCi)
i=I
(14)
<M(A)+ j r  M(CJ
i=I
= p(A)
elde edilir. Ayrıca,
A = Ç  A i c  Ç  B,=B
i=I i=I
kapsamından,
p (A) <p(B) (15)
olur. (14) ve (15) ifadelerinden,
95
elde edilir.
f l ( Ç  A,) = fl(A) = fl(B) = fl( ç  B)
i=1 i=1
% X
9. Yardımcı Teorem: A c  B ve fl(A) = fl(B) olsun. Bu halde, A u  C = B ve 
A ç  C = 0  olacak şekilde ölçümü sıfır olan bir C kümesi vardır.
İspat: Burada fl(C) = 0 olduğunu göstereceğiz. Bunun için, Venn şemasına 
göre,
fl(A) = fl(B) = fl(A u  B) = fl(A) + fl(B) -  fl(Aç  B)
yazılır. Hipotezde, fl(A) = fl(B) olduğundan, fl(C) = fl(Aç  C) = fl(0) = 0 elde edilir. 
Böylece, fl(C) = 0 olduğu gösterilmiş olunur.
10. Teorem: Sayılabilir sonsuzluktaki A1,A 2, A 3,... kümeleri için,
A1 c  B1 ise fl(A1) = fl(B1)
A2  c  B2  ise fl(A-) = fl(B2 )
An c  Bn ise fl(An) = fl(Bn)
ise,
%  %  »  K
A = u  A, c  u  B , = B ve f l ( u  A ,) = fl( u  B )
i=1 i=1 i=1 i=1
olur.
İspat: Önce,
IX X
A = u  A i c  u  B , = B
i=1 i=1
diyelim. Buna göre, B= A u  C ve A ç  C = 0  olacak şekilde ölçümü sıfır olan 
bir C kümesi vardır. Ayrıca, B= Au  C eşitliğinden,
fl(B) = fl(A u  C) = fl(A) + fl(C)) -  fl(Aç  C)
yazılır. Böylece, fl(C) = 0 ve fl(Aç  C) = fl(0) = 0 olduklarından fl(A) = fl(B) 
olduğu gösterilmiş olunur. Bu da,
st a.
f l ( u A )  = fl( u B i)
i=1 i=1
demektir.
96
11. Sonuç: A ve B kümeleri için, A c  B ve fl(A) = fl(B) ise, bu kümeler ancak 
ölçümü sıfır olan bir küme farkıyla eşittirler.
İspat: A c  B ve fl(A) = fl(B) olduğundan A u  C =  B olacak şekilde en az bir 
C kümesi vardır. Buradan, A u  C =  B ise, B \ A =  C ve fl(B) -  fl(A) = fl(C) 
olur. fl(A) = fl(B) ifadesi kullanılırsa, fl(A) = fl(B) = 0 = fl(C) olduğu bulunur. 
Bu da, istenen sonuçtur.
12. Örnek: A,  [a,b] kapalı aralığındaki tam sayılar kümesi, B, [a,b] kapalı ara­
lığındaki rasyonel sayılar kümesi, C \ B, [a,b] kapalı aralığındaki irrasyonel sayılar 
kümesi ve C , [a,b] kapalı aralığındaki gerçel sayılar kümesi olmak üzere,
ise,
C \  B c  C ve fl(C \ B) = fl(C) 
A c  B ve fl(A) = fl(B)
fl((C \ B) u  A)  = fl(C u  B)
olur.
Çözüm: Yukarıdaki eşitliğin birinci yanı,
fl((C \ B) u  A)  = fl(C \ B) + fl(A) - f l((C \ B) u  A)  
= b -  a + 0 -  0 = b -  a
bulunur. İkinci yana da aynı işlem uygulanırsa,
fl(C u  B) = fl(C) + fl(B) - f l (C ç  B)
= b - a + 0 - 0 = b - a
olduğu bulunur.
13. Teorem:
A c  B û  B '
C c  D û  D'c
: A '  ve fl(B') = fl(A') 
C'  ve fl(D') = fl(C')
ise,
olur.
f l ( B 'u  D') = f l(A'  u  C')
ispat:
D ' c  C'
B ' c  A '
B u  D '  c  A ' u  C
yazılır. Her iki yanın ölçümü alınırsa,
97
p(B D ’} <p(A '  Ç C )
olduğu görülür. Bu ifadeyi açarsak,
p(B') + p(D'} - p (B 'ç  D'} <p(A'} + p(C'} - p (A 'ç  C'}
p (A 'ç  C'} < p ( B ' ç  D ’} (16)
yazılır. Öte yandan,
D ' c  C
B ' c  A '
■ B'ç  D '  c  A Ç  C
ve
p(B 'ç  D'} <p ( A ' ç  C'} (17)
olur. (16) ve (17) ifadelerinden
p (A 'ç  C'} = p (B 'ç  D'}
yazılır.
Öte yandan, (B Ç  D'} ç  K = A Ç  C '  ve (B Ç  D'} ç  K= 0  olacak şekilde ölçümü 
sıfır olan bir K  kümesi vardır. Böylece, yukarıdaki eşitliğin her iki yanının 
ölçümünden,
p (B 'ç  D'} + p(K) = p ( A ' ç  C'} 
p(B'}+p(D'} - p ( B ' ç  D'} + p(K) = p(A'} + p(C'} - p (A 'ç  C'} 
yazılır. Buradan,
p(K) - p (B'ç  D'} = - p (A'ç  C'}
olur. Böylece,
p(K) = p ( B ' ç  D'} _ p (A 'ç  C'} = 0
olduğu görülür.
Sonuç olarak,
p (B 'ç  D'} + p(K) = p ( A ' ç  C'}
ve
p (B 'ç  D'} = p ( A ' ç  C'}
yazılır.
98
KAYNAKLAR
[1.a]. FEDERER, H., (1969), Geometrik Measure Theory, Springer-Verlag, New 
York (p. 52-57).
[1.b]. FEDERER, H. AND MORSE, A.P., (1943), Some properties of measurable 
functions, Bull., Am., Math., Soc., 49, 270-277.
[2]. GOLMOGOROV, A.N. AND FOMİN, S. V., (1970), Introduction to
Real Analysis, Revised English Edition, Translated and Edited by
Silverman, R. A., 270 Madison Avenue, New York, p. 255-283.
[3]. MURRAY, R. S., (1969), Real Variables Lebesgue Measure and Integration 
With Applications to Fourier Series, Schaum’s Outline Series, Mc Graw- 
Hill Book Company, New York, p. 30-40.
99


Düzgün Ölçüm

http://journal.dogus.edu.tr/index.php/duj/article/download/239/pdf_75

Düzgün Ölçüm

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Açık Dergi Sistemleri