Znám, Štefan

Institute of Mathematics AS CR, v. v. i.

Matematicko-fyzikálny časopisŠtefan ZnámPoznámka o jednej vlastnosti dvojprvkového telesaMatematicko-fyzikálny časopis, Vol. 11 (1961), No. 2, 159--160Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/126594Terms of use:© Mathematical Institute of the Slovak Academy of Sciences, 1961Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access todigitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must containthese Terms of use.This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stampedwith digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital MathematicsLibrary http://project.dml.czM A T E M A T I C K O F Y Z I K Á L N Y ČASOPIS SAV, 11, 2, 1961 POZNÁMKA O JEDNEJ VLASTNOSTI DVOJPRVKOVÉHO TĚLESA Š T E F A N Z N Á M , Bratislava Nech M je modul nad komutatívnym telesom K; nech LcM. Hovoříme, že L má vlastnost' (A), keď platí: ak ae L, be L, a e K, p e K, a + P = 1, potom aa + + pbeL. Je zřejmé, že každá lineárna podmnožina modulu M má vlastnost' (A). CieTom tejto poznámky je ukázať, že opačné tvrdenie platí len vtedy, keď K má viac ako dva prvky (tento předpoklad je omylom vynechaný na str. 23 rozmnoženého textu „Přednášky z funkcionální analysy I. část" prof. M. Katětova). Veta. Nech M je modul nad komutatívnym telesom K. Ked K má viac ako dva prvky, potom neprázdná množina La M je lineárna vtedy a len vtedy, ked spina podmienku (A). Ked K má právě dva prvky, potom každá množina LaM spina podmienku (A). Dokaž. I. Nech Kmá viac ako dva prvky. K e ď L c M j e lineárna, potom zrejme splňuje podmienku (A). Nech 0 ^ LcM splňa podmienku (A). Dokážeme, že potom L je lineárna. Zvolme ueL; stačí dokázat', že P = L — u je podmodul v M. Ak je ae P, potom a + u e L, a teda pre a e K na základe podmienky (A) platí a(a + u) + (1 — a) u e L; z toho vyplývá, že aa + u e L, a teda oca e P. Ak je a e P, b G P, zvolme a e K tak, aby bolo O T - a ^ l. Potom, ako sme už dokázali oca e P, (1 — a) b e P, a teda cxa + u e L, (1 — a) b + u e L. Podfa podmienky (A) dosta­neme (1 — a) (aa + u) + a[(l — a) b + u] eL. Nakofko (1 — a) (aa + u) + a[(l — — a) b + u] = a(l — a) (a + b) + w, dostáváme a(l — a) (a + b) e P. Z toho vy­plývá a + b e P, pretože a(l — a) ^ 0. II. Nech K má právě dva prvky: 0,1. Nech L c M . Keď a e L, b e L , a e K, fi e K, OL + f) = 1, potom buď a = 1, j8 = 0, čiže aa + pb = a e L; alebo a = 0, P = 1, či že aa + pb = b e L. Tým je dokaž ukončený. Došlo 24. 1. 1961. Katedra matematiky Elektrotechnické j fakulty Slovenskej vysokej školy technickéj v Bratislavě 150 З А М Е Т К А О Б О Д Н О М С В О Й С Т В Е Т Е Л А С Д В У М Я Э Л Е М Е Н Т А М И Штефан З н а м Р е з ю м е Пусть М — линейное пространство над телом К; пусть ^ С М. Говорим, что множество ^ обладает свойством (А), если выполняется условие: аа + рЬ ^ ^ для всяких а ^ I, Ъ € I, а ^ К, Р ^ К, а + /3 = 1. В заметке доказывается: Если К имеет больше двух элементов, то не пустое множество ^ С М обладает свойст­вом (А) тогда и только тогда, если существуют элемент с ^ М и подпространство N С М такие, что I, = с + N. Если К имеет точно два элемента, то всякое множество Ь С М обла­дает свойством (А). 160 

Poznámka o jednej vlastnosti dvojprvkového telesa

Czech digital mathematics library

http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/126594/MathSlov_11-1961-2_7.pdf

Poznámka o jednej vlastnosti dvojprvkového telesa

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Institute of Mathematics AS CR, v. v. i.

Czech digital mathematics library