Identification algorithms based on pseudo-linear regression with predictors parametrized on generalized bases of orthonormal transfer functions

Abstract

Cette thèse porte sur l’identification des systèmes linéaires stationnaires, représentés par des fonctions de transfert en temps discret. Pour un ordre donné, contrairement aux méthodes d'identification visant explicitement à minimiser la variance de l'erreur de prédiction, les algorithmes basés sur la régression pseudo-linéaire induisent des modèles dont la distribution des biais est dépendante de la paramétrisation du prédicteur. Ceci a été démontré grâce au concept innovant d'erreur de prédiction équivalente, signal en général non mesurable, dont la variance est effectivement minimisée dans le cadre de la régression pseudo-linéaire.Dans un second temps, sont proposées des versions revisitées des algorithmes récursifs de l'erreur de sortie et des moindres carrés étendus (ainsi que de leurs équivalents en boucle fermée), dont les prédicteurs sont exprimés sur les bases généralisées de fonctions de transfert orthonormales, introduites par Heuberger et al. dans les années 1990 et 2000. La sélection des pôles de la base revient à imposer le noyau reproduisant de l'espace de Hilbert auquel appartiennent ces fonctions de transfert, et à spécifier la manière dont l'approximation est réalisée par les algorithmes. Nous utilisons une expression particulière de ce noyau reproduisant pour introduire un indicateur de l'effet des pôles de la base sur la qualité de l'ajustement du modèle dans le domaine fréquentiel. Cet indicateur joue un grand rôle d'un point de vue heuristique. Enfin, un test de validation en adéquation avec ces algorithmes d'identification est proposé, dont les propriétés statistiques sont explicitées. Les retombées concrètes de ces travaux résident dans la mise à disposition de paramètres de réglages simples et peu nombreux (les pôles de la base), utilisables en fonction du but implicite assigné à l'identification. L'obtention de modèles d'ordre réduit s'en trouve facilitée. De plus l'identification des systèmes raides - comportant des modes dont les fréquences sont séparées de plusieurs décades- jusqu'alors impossible en temps discret, est rendue accessible.This thesis deals with identification of linear time invariant systems described by discrete-time transfer functions. For a given order, contrary to identification methods minimizing explicitly the prediction error variance, algorithms based on pseudo-linear regression produce models with a bias distribution dependent on the predictor parametrization. This has been demonstrated by the innovating concept of equivalent prediction error, a signal in general non-measurable, whose variance is effectively minimized by the pseudo-linear regression.In a second step, revisited versions of recursive algorithms are proposed (Output Error, extended least squares, and their equivalents in closed-loop), whose predictors are expressed on generalized bases of transfer functions introduced by Heuberger et al. in the 1990s and 2000s. The selection of the basis poles is equivalent to define the reproducing kernel of the Hilbert space associated to these functions, and to impose how approximation is achieved by the algorithms. A particular expression of this reproducing kernel is employed to introduce an indicator of the basis poles effect on the model fit in the frequency domain. This indicator plays a great role from a heuristic point of view.At last, a validation test in accordance with these algorithms is proposed. Its statistical properties are given. This set of algorithms provides to the user some simple tuning parameters (the basis poles) that can be selected in function of the implicit purpose assigned to the identification procedure. Obtaining reduced order models is made easier, while identification of stiff systems –impossible until now in discrete-time- becomes accessible