For a simly supported plate, we consider two optimization problems: the volume minimization and the
identification of a coefficient. Via a transformation recently introduced by the authors, we obtain the
optimality conditions in a qualified form, and their analysis yields the bang-bang properties for the
optimal thickness.



Non consid{\'e}rons pour une plaque pos{\'e}e deux probl{\`e}mes
d'optimisation: la minimisation du volume et l'identification d'un coeffcient. Via une transformation r{\'e}cemment introduite par les auteurs,
on obtient les conditions d'optimalit{\'e} dans une forme qualifi{\'e}e et leur
analyse entraine les propri{\'e}t{\'e}s de boum-boum pour l'{\'e}paisseur optimale

Sprekels, Jürgen

Tiba, Dan

English

For a simly supported plate, we consider two optimization problems: the volume minimization and the
identification of a coefficient. Via a transformation recently introduced by the authors, we obtain the
optimality conditions in a qualified form, and their analysis yields the bang-bang properties for the
optimal thickness.



Non consid{\'e}rons pour une plaque pos{\'e}e deux probl{\`e}mes
d'optimisation: la minimisation du volume et l'identification d'un coeffcient. Via une transformation r{\'e}cemment introduite par les auteurs,
on obtient les conditions d'optimalit{\'e} dans une forme qualifi{\'e}e et leur
analyse entraine les propri{\'e}t{\'e}s de boum-boum pour l'{\'e}paisseur optimale

Publications Server of the Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics

Propriétés de boum-boum généralisées dansl'optimisation des plaquesJürgen Sprekels Dan TibayJune 4, 19981991 Mathematics Subject Classication: 35R30, 93C20, 73K40Keywords: Bang-bang principles, shape optimization of plates, optimalcontrol, necessary conditions of optimalityWeierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics, Mohrenstrasse 39, D-10117Berlin, Germany, e-Mail: sprekels@wias-berlin.deyInstitut de Mathématiques, Académie Roumaine, B.P. 1-764, RO-70700 Bucarest,Roumanie, e-Mail: dtiba@stoilow.imar.roAbstractResumé. Non considérons pour une plaque posée deux problèmesd'optimisation: la minimisation du volume et l'identication d'un coef-cient. Via une transformation récemment introduite par les auteurs,on obtient les conditions d'optimalité dans une forme qualiée et leuranalyse entraine les propriétés de boum-boum pour l'épaisseur opti-male.1 IntroductionNous considérons l'équation:(u3y) = f dans  ; (1.1)y = y = 0 sur @ ; (1.2)qui donne, en dimension deux, un modèle simplié pour une plaque posée(Bendsoe [2, p.91]).Ici  est un domaine borné dans RN avec une frontière régulière @; u 2L1()+est l'épaisseur de la plaque, f 2 Lp(); p > N2, est la charge (xée)et y 2 H2() \ H10 () est la déformation obtenue comme la solution faiblede (1.1), (1.2).On étudie deux problèmes d'optimisation associés à (1.1), (1.2):- minimisation du volume (ou du poids):MinZu(x)dx ; (1.3)- identication d'un coécient correspondant à une déformation désiréeou observée, yd 2 L2():Min12Z(y   yd)2dx : (1.4)On impose aussi des contraîntes, naturelles dans ce cadre (m;M;  sont desconstantes positives):m  u(x) M p.p. dans  ; (1.5)y(x)    p.p. dans  : (1.6)1On montre, que l'hypothèse d'admissibilité est satisfaite si M est assezgrand. Si z 2 W 2;p() \ H10 () \ C() note la solution forte de z = fdans , z = 0 sur @, alors une transformation directe donney = z` p.p. dans  ; y = 0 sur @ ; (1.7)avec ` = u 3 satisfaisantM 3 `(x)  m 3 p.p. dans  : (1.8)C'est un cas particuliers des transformation de resizing étudiées dans Sprekelset Tiba [5]. La fonctionelle (1.3) devientMinZ` 13 (x)dx (1.9)et les relations (1.4), (1.6) restent invariantes. On voit que les problèmesd'optimisation (1.3), (1.4) peuvent être réformulés comme des problèmesde contrôle distribués associés â l'équation linéaire (1.7) de deuxième or-dre seulement. En particulier, on obtient facilement l'existence d'au moinsune paire optimale [y; u]. Dans la section suivante, on discute les conditionsd'optimalité pour un problème convex de contrôle gouverné par l'équation(1.7) et avec les contraîntes (1.8), (1.6). On montre que le multiplicateur deLagrange est une function r 2 Ls(); 1 < s < NN 2, même si la contrainte(1.6) donne un ensemble avec intérieur vide en Lt(); 1  t < 1. C'estune résultat de régularité démontré par une modication des arguments deBergounioux et Tiba [3]. La dernière section est dediée aux propriétés deboum-boum ou de boum-boum généralisées pour les solutions [y; u], dansle sense de Tröltzsch [6].2 Les conditions d'optimalitéSoient  : L2()  ! R;  : L2()  ! R deux fonctionelles continues,convexes, Gâteaux diérentiables, bornées inférieurement par une constante.On considère le problème de contrôleMinf(`) +  (y)g (2.1)avec [y; `] satisfaisant aux conditions (1.6) - (1.8).La paire [0; 0] vérie (1.6), (1.7). Alors, si M est assez grand, ` = M 3est une petite perturbation de 0 et la solution de (1.7), notée y, reste dansun voisinage de 0 dans la topologie de W 2;t(); 1  t < 1, et, donc, dans2la topologie uniforme sur . Finalement, [y; `] satisfait toutes les conditions(1.6) - (1.8). L'existence d'une couple optimale [y; `] est connue (pas néces-sairement unique avec le coût donné par (2.1)).On introduit:Uad = f` 2 L2(); M 3  `(x)  m 3 p.p. g ; (2.2)C = fy 2 L2() ; y(x)    p.p. g : (2.3)Théorème 2.1. Si M est assez grand, il y a r 2 Ls(), tel que la paire[y; `] est solution optimale pour le problème (2.1) si et seulement si(`);   `L2()+ (y);   yL2()(2.4)+(r;  z)Ls()Lq()  0;1s+1q= 1 ; q >N2;8 2 Uad ; 8 2 C \W2;q() \H10 () :Remarque. En prennant  = ` ou  = y on peut reécrire (2.4) sous laforme de deux inégalités qui correspondent aux notions classiques équationadjointe et principe de maximum de Pontryaguine. Le remplacement del'équation adjointe par une inégalité quand des contraintes sont imposées surl'état a été introduite par Bergounioux et Tiba [3] et permet l'aaiblissementdes hypothèses de qualication.Preuve du Théorème 2.1. On dénit le problème penaliséMinn(`) +  (y) +12j`  `j2L2() +12jy   z`j2L2()o(2.5)pour [y; `] dans [H2()\H10 ()]L2() et satisfaisant (1.6), (1.8). La paire[y; `] est admissible pour (2.5) et on note par [y; `] la paire optimale uniquede (2.5),  > 0. On note aussir =  1(y   z`) 2 L2() : (2.6)Evidemment, on a(`)+ (y) +12j`  `j2L2() +12jy  z`j2L2()  (`)+ (y) ; 8 > 0ce qui montre, avec les autres hypothèses, que f`g est borné en L1(); f12 rgest borné dans L2() et, par conséquence, fyg est borné dansH2()\H10 ().On peut supposer que `  ! ^̀ faiblement en L1(); y  ! ŷ faiblement en3H2() et y   z`  ! 0 fortement dans L2(), sur une sous-suite. Il suitque [ŷ; ^̀] satisfait (1.6) - (1.8) et(^̀) +  (ŷ) +12j^̀  `j2L2()  (`) +  (y)par la faible semicontinuité inférieure de la fonctionelle (2.5). Alors ^̀ =`; ŷ = y et `  ! ` fortement dans Lt(); 1  t < 1 (par le théorèmede Lebesgue), y  ! y fortement dans H2() \ H10 (). En faisant desvariations de la forme [y+~; `+~];  2 [0; 1]; ~ 2 Uad `; ~ 2 C y; ~ 2H2() \ H10 (), un calcul direct montre que [y; `] satisfait les conditionsnécessaires d'optimalité:5 (`);   `L2()+5  (y);   yL2()+ (2.7)(`   `;   `)L2() + (r;  z  r)L2()  08 2 Uad; 8 2 C \H2() \H10 ();avec r donné par (2.6).On peut négliger le terme r dans (2.7). Les hypothèses sur ;  don-nent que 5;5 sont localement borné dans L2(). Alors, la convergenceforte de f`g; fyg montre que f5(`)g; f5 (y)g sont borné dans L2()et, donc, 5(`)  ! 5(`);5 (y)  ! 5 (y) dans L2() faible, à causede la fermeture dans la topologie forte  faible de L2()L2() des opéra-teurs maximaux monotones 5;5 . Finalement, l'inégalité (2.7) a pourconséquence que(r;  z)   ct: (2.8)si  2 Uad et  2 C \H2() \H10 () reste borné dans L2().On choisit  comme la solution de =  dans ;  = 0 sur @ (2.9)avec jjLq()  . Si  est petit et q >N2alors la dépendance continuede  sur , dans (2.9), donne (x)    2dans  et, evidemment,  2C\H2()\H10 (), en restant dans un ensemble borné de L2(). Maintenant,si M est assez grand, la solution M; deM; =  + zM 3 dans ; M; = 0 sur @satisfait les mêmes propriétés. On peut utiliser les paires [M;;M 3]; jjLq() , dans (2.8) et on obtient que frg est borné dans Ls(). On note par r lalimite faible de r, sur une sous-suite, et on peut passer à la limite dans (2.7)pour obtenir (2.4).4La réciproque est claire: chaque paire admissible [y; `] pour le problèmeoriginal peut être utilisée dans (2.4) à la place de [; ], avec    z = 0,et l'optimalité de [y; `] suit par la dénition de la sousdiérentielle.Remarque. Si   R3, on peut prendre s = q = 2.Remarque. Le Théorème 2.1 donne un résultat d'existence et de régu-larité pour le multiplicateur de Lagrange sous une hypothèse naturelle surM , qui dépend seulement des autres données f et  .3 Les propriétés de boum-boumSi (`) = 0;  (y) = 12R(y   yd)2dx, le problème (2.1) devient (1.4). Claire-ment, y 2 C() et l'ensemble1 = fx 2  : y(x) =  g (3.1)est fermé, tandis que  n 1 est ouvert. Soit d 2 D( n 1) et  > 0 tel quey(x)    +  sur le compact supp d. Alors on peut choisir  = y d (petit) et  = ` dans (2.4) et on a(y   yd; d)L2()  (r; d)L2()  0c'est à dire on a l'équation adjointe: r = y   yd dans D0( n 1) : (3.2)Supposons que yd 2 Lq(), alors (3.2) donne r 2 W 2;qloc( n 1) et r 2C( n 1). Soient:2 = fx 2  n 1 ; z(x)r(x) > 0g ;3 = fx 2  n 1 ; z(x)r(x) < 0gqui sont des ouvertes dans  et 4 = ( n 1) n (2 [ 3).Si on prend  = y et  = ` dans  n 2, alors (2.4) montre(zr; `   )Ls(2)Lq(2)  0et, donc, ` = m 3 p.p. 2. De la même manière, on a ` = M 3 p.p. 3.Supposons que f 6= 0 p.p. . Alors l'ensemble ou z(x) = 0 a mesurenulle et, si 4 a mesure positive, on obtient r(x) = 0 p.p. 4. La régularitémaximale de r dans  n 1 et (3.2) impliquent y(x) = yd(x) p.p. dans 4,Brezis [4, p.195]. Evidemment, (1.7) montre aussi que 1 a mesure nulle.5Corollaire 3.2. Sous les hypothéses du Théorème 2.1, si yd 2 Lq() etf 6= 0 p.p. dans , alors pour la paire optimale [y; u] unique du problème(1.4) il y a un ensemble de mesure nulle    tel que =  [ fx 2  : u(x) = Mg [ fx 2  : u(x) = mg [[fx 2  : y(x) =  g [ fx 2  : y(x) = yd(x)g:Remarque Des résultats de ce type ont été mis en évidence pour lapremière fois dans le livre de F. Tröltzsch [6] sous le nom de propriété deboum-boum généralisée.Dans le cas des problèmes de minimisation du volume de la plaque, onprouve la propriété classique de boum-boum pour l'épaisseur optimale.Nous choisissons  (y) = 0 et (`) =  R `(x)dx. Par la transforma-tion qu'on utilise, `(x) = u 3(x), le problème (2.1) est équivalent avec laminimisation de Zu 3(x)dx (1.3')qui répresent une variante du problème (1.3) parce que l'application u  ! u 3 est aussi croissante pour u > 0. On dénit 1 comme dans (3.1) et onobtient l'équation adjointer = 0 dans D0( n 1) (3.2')et, par conséquence, r 2 C1( n 1).Si  = y, alors (2.4) donne(zr + 1; `   )Ls()Lq()  0 ; 8 2 UadOn introduit les ensembles ouverts ~2; ~3   n1 par la condition (zr+1)(x) > 0. Comme auparavant, il suit que ` = m 3 p.p. dans ~2 et` = M 3 p.p. dans ~3.Si l'ensemble ~4 = fx 2 n1 : z(x)r(x)+1 = 0g a une mesure positive,la régularité maximale permet de dériver directement (Brezis, [4, p.195)]) eton ar =zz   2jzj2z3= 0 p.p. dans ~4 ;c'est à dire zz  0 p.p. dans ~4. Ajoutons l'hypothèse que f(x) ne changepas de signe dans . Alors la dénition de z et le principe de maximummontrent que zz < 0 dans  et, donc, ~4 a la mesure nulle. Parce que zest continue, le principe de maximum fort donne z(x) 6= 0 dans  et, donc,y 6= 0 dans  par (1.7). Alors, la régularité maximale de y implique que1 a aussi la mesure nulle.6On a prouvé leCorollaire 3.2 Sous les hypothèses du Théorème 2.1., si f 6= 0 p.p. et ne change pas de signe dans , alors pour chaque épaisseur optimale de(1.3'), il y a un ensemble de mesure nulle  tel que =  [ fx 2 ; u(x) = Mg [ fx 2 ; u(x) = mg :Remarque Dans l'ouvrage de Arnautu, Langmach, Sprekels et Tiba [1], ondonne des méthodes numériques pour le calcul et l'optimisation des plaqueset on a retrouvé dans les exemples la propriété de boum-boum du Corollaire3.2.Références[ 1 ] V. Arnautu, H. Langmach, J. Sprekels et D. Tiba, On the approxima-tion and the optimization of plates, Preprint 357 WIAS, Berlin (1997),envoyé à Numerische Mathematik.[ 2 ] M. Bendsoe, Optimization of structural topology, shape and material,Springer Verlag, New York (1995).[ 3 ] M. Bergounioux et D. Tiba, General optimality conditions for con-strained convex control problems, SIAM J. Control Optimiz., vol. 34,no. 2 (1996), pp. 698 - 711.[ 4 ] H. Brezis, Analyse fonctionelle. Théorie et applications,Masson, Paris(1983).[ 5 ] J. Sprekels et D. Tiba, A duality approach in the optimization ofbeams and plates, Preprint 335, WIAS, Berlin (1997), accepté pourpublication en SIAM J. Control Optimiz.[ 6 ] F. Tröltzsch, Optimality conditions for parabolic control problems andapplications, Teubner Verlag, Leipzig (1984).7

Generalized bang-bang properties in the optimization of plates

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