Persamaan Navier-Stokes memiliki bentuk persamaan diferensial parsial non-linier orde dua yang menerangkan  pergerakan dari suatu fluida. Persamaan ini menjelaskan keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida yaitu gaya-gaya benda dan gaya-gaya permukaan. Dalam studi ini, kasus yang ditinjau adalah aliran fluida laminar pada pipa tidak horizontal. Penyelesaian persamaan Navier-Stokes dilakukan secara teoretik. Dengan mengubah persamaan dalam bentuk koordinat polar serta secara langsung, maka diperoleh kecepatan rata-rata fluida, laju  aliran volume fluida, serta laju aliran massa fluida pada pipa tidak horizontal

Malago, Jasruddin Daud

Tiwow, Vistarani Arini

Repository Universitas Negeri Makassar

Jurnal Sainsmat, Maret 2015, Halaman 51-56  Vol. IV, No. 1 ISSN 2086-6755 http://ojs.unm.ac.id/index.php/sainsmat     51 Penerapan Persamaan Navier-Stokes Untuk Kasus Aliran Fluida Laminer Pada Pipa Tidak Horizontal Application of Navier-Stokes Equations To Laminar Fluid Flow Case In Unhorizontal Pipe Vistarani Arini Tiwow*, Jasruddin Daud Malago Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Makassar. Jl. Daeng Tata Raya, Makassar Received 23rd December 2014 / Accepted 3rd January 2015 ABSTRAK Persamaan Navier-Stokes memiliki bentuk persamaan diferensial parsial non-linier orde dua yang menerangkan pergerakan dari suatu fluida. Persamaan ini menjelaskan keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida yaitu gaya-gaya benda dan gaya-gaya permukaan. Dalam studi ini, kasus yang ditinjau adalah aliran fluida laminar pada pipa tidak horizontal. Penyelesaian persamaan Navier-Stokes dilakukan secara teoretik. Dengan mengubah persamaan dalam bentuk koordinat polar serta mengintegrasikan secara langsung, maka diperoleh kecepatan rata-rata fluida, laju aliran volume fluida, serta laju aliran massa fluida pada pipa tidak horizontal. Kata Kunci : Persamaan Navier-Stokes, Pipa Tidak Horizontal, Kecepatan Rata-rata Fluida ABSTRACT Navier-Stokes equation is a form of partial differential equations of non-linear second order which describe the motion of a fluid. This equation describes the balance of forces acting on the fluid, that is body forces and surface forces. In this study, the case focus to laminar fluid flow in the unhorizontal pipe. Completion of the Navier-Stokes equations is done theoretically. By changing the equation in the form of polar coordinates and integrating it directly, then we obtain the average velocity of fluid, volume flow rate of fluid, and the mass flow rate of the fluid in the pipe is not horizontal. Key words : Navier-Stokes Equations, Unhorizontal Pipe, Average Velocity of Fluid     *Korespondensi:  email: vista.arini@gmail.com  Vistarani dan Jasruddin (2015)   52 PENDAHULUAN Persamaan Navier-Stokes adalah bentuk diferensial dari hukum kedua Newton tentang pergerakan dari suatu fluida. Persamaan ini menyatakan bahwa perubahan dalam momentum partikel-partikel fluida hanya bergantung pada gaya viskos internal dan gaya viskos tekanan eksternal yang bekerja pada fluida. Dengan demikian, persamaan Navier-Stokes menjelaskan kesetimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida (Welty dkk, 2004). Persamaan Navier-Stokes memiliki banyak aplikasi yang berhubungan dengan mekanika fluida. Fluida diterapkan dalam meteorologi, hidrologi, oseanografi, dan penelitian medis pada pernapasan dan sirkulasi darah. Menariknya, meskipun formulasinya sederhana dan aplikasinya bervariasi, banyak permasalahan yang solusinya masih tetap terbuka (Saksa, 2009; Galdi, 2011). Pemecahan persamaan Navier-Stokes dengan menggunakan penyelesaian analitik jarang ditemukan. Kesulitan utama dalam menyelesaikan persamaan Navier-Stokes adalah karena ketidaklinierannya timbul dari suku percepatan konvektif. Persamaan Navier-Stokes berlaku pada kedua aliran laminer dan turbulen. Penyelesaian secara eksak baru tersedia beberapa kasus untuk aliran laminer, dimana kecepatannya tidak tergantung pada waktu atau aliran tunak (Munson dkk, 2002). Pada penelitian ini, kami memaparkan penerapan persamaan Navier-Stokes pada kasus aliran fluida laminer di pipa tidak horizontal. Menarik bagi kami untuk membahas persamaan Navier-Stokes karena kerumitannya. Analisis teoretis dipilih dengan membatasinya untuk aliran laminer berkembang penuh. Jika alirannya tidak berkembang penuh, maka analisis teoretis menjadi jauh lebih kompleks. Kasus-kasus yang diselesaikan secara eksak kebanyakan dibahas untuk aliran laminer pada pipa yang horizontal. Oleh karena itu, kasus aliran fluida laminer pada pipa tidak horizontal dipilih dan dipecahkan permasalahannya dengan menerapkan batasan-batasan yang tepat selama proses penyelesaian berlangsung untuk memperoleh kecepatan rata-rata fluida, laju aliran volume fluida, serta laju aliran massa fluida. METODE Persamaan Navier-Stokes diselesaikan secara teoretik. Analisis persamaan Navier-Stokes dalam persamaan diferensial untuk gerak fluida dibatasi pada, (1) aliran laminar yaitu gerak partikel atau distribusi fluida yang kecepatannya seragam, lurus, dan sejajar, (2) aliran tunak berkembang penuh yaitu kondisi dimana komponen aliran tidak berubah terhadap waktu, dan (3) inkompresibel (tak mampu-mampat) yaitu kondisi aliran dimana rapat massa fluidanya tidak berubah (Munson dkk, 2002).  HASIL DAN PEMBAHASAN Persamaan Navier-Stokes diselesaikan untuk geometri tertentu dari aliran laminar berkembang penuh di dalam sebuah pipa bundar yang tidak horizontal. Gerakan umum dari sebuah fluida Newtonian tak mampu-mampat diatur oleh persamaan kontinuitas (kekekalan massa) dan persamaan momentum (Zhang dkk, 2006; Spurk dan Aksel, 2008; Bhattacharyya dkk, Penerapan Persamaan Navier-Stokes   53 2009; Herbst dan Skibsted, 2009; Khmelnik, 2011), ∇. V = 0 ப୚ப୲+ V.∇V = − ∇୮஡+ g + υ∇ଶV ........ (1)   Gambar 1. Diagram benda bebas dari silinder fluida untuk aliran dalam pipa yang tidak horizontal (Munson dkk., 2002). Untuk aliran tunak, berkembang penuh di dalam pipa, kecepatan hanya memiliki komponen aksial, yang hanya merupakan fungsi koordinat radial ൣV = u(r)k෠൧. Untuk kondisi-kondisi seperti itu, ruas kiri dari persamaan (1) adalah nol. Hal ini ekivalen dengan mengatakan bahwa fluida tidak mengalami percepatan selama mengalir. Jadi, dengan g = −gk෠, maka persamaan Navier-Stokes menjadi, −∇pρ− gk෠ + υ∇ଶv = 0 W r l θ W sin θ = γπr2l sin θ τ2πrl pπr2 (p+∆p) πr2 x l Q Silinder fluida Vistarani dan Jasruddin (2015)   54 Dibagi dengan – ρ diperoleh ∇p + ρgk෠ − υρ∇ଶv = 0 Dengan υ = μ஡ adalah viskositas kinematik [1], sehingga υρ = μ ∇p + ρgk෠ − μ∇ଶv = 0  .................. (2) Persamaan (2) menyatakan aliran diatur oleh suatu kesetimbangan dari gaya-gaya tekanan, berat, dan viskos di dalam arah aliran. Jika aliran berkembang penuh dan tunak, perubahan bentuk pada setiap ujung elemen fluida sama dan tidak ada bagian dari fluida yang mengalami percepatan selagi mengalir. Percepatan local adalah nol ቀப୚ப୲= 0ቁ karena aliran tunak, dan percepatan konvektif adalah nol ൫V.∇V = u ∂u/ ∂zk෠ = 0൯karena aliran berkembang penuh (Munson dkk, 2002). Karena asumsi V = u(r)k෠, persamaan kontinuitas terpenuhi dengan sendirinya. Kondisi kekekalan massa ini, otomatis terpenuhi oleh asumsi aliran tak mampu-mampat. Fluida mengalir melewati satu bagian pipa dengan laju yang sama saat fluida mengalir melewati bagian yang lainnya. Jika dituliskan dalam bentuk koordinat polar silinder, komponen persamaan (2) sepanjang pipa menjadi, ப୮ப୸+ ρg sin θ − μ ଵ୰பப୰ቀr ப୴౰ப୰ቁ = 0 ..... (3) ∂p∂z + ρg sin θ = μ1r ∂∂r ൬r ∂v୸∂r ൰ 1r ∂∂r ൬r ∂v୸∂r ൰ = 1μ ൬∂p∂z + ρg sinθ൰ Persamaan di atas diintegralkan, න d ൬r ∂v୸∂r ൰ = 1μ ൬∂p∂z + ρg sin θ൰න rdr r ∂v୸∂r = 1μ ൬∂p∂z + ρg sin θ൰12 rଶ + Cଵ r ∂v୸∂r = 1μ ൬∂p∂z + ρg sin θ൰12 rଶ + Cଵ Persamaan di atas dibagi dengan r menjadi, ∂v୸∂r = 12μ ൬∂p∂z + ρg sin θ൰ r + Cଵr  Persamaan diintegralkan kembali, න dv୸ = 12μ ൬∂p∂z + ρg sin θ൰න rdr+ Cଵනdrr  v୸ = 12μ ൬∂p∂z + ρg sin θ൰12 rଶ + Cଵ ln r+ Cଶ ݒ௭ = 14ߤ ൬߲݌߲ݖ + ߩ݃ ݏ݅݊ ߠ൰ ݎଶ + ܥଵ ݈݊ ݎ+ ܥଶ Dengan menggunakan dua kondisi batas, (1) fluida menempel pada dinding (r = R) sehingga kecepatan sama dengan nol, dan (2) kecepatan ݒ௭ menjadi tertentu di tengah-tengah tabung (r = 0), maka C1 = 0 karena ln 0 = - [4, 5], sehingga ܥଶ = − ଵସఓ ቀడ௣డ௭ + ߩ݃ ݏ݅݊ ߠቁܴଶ  ...... (4) Distribusi kecepatan : ݒ௭ = 14ߤ ൬߲݌߲ݖ + ߩ݃ ݏ݅݊ ߠ൰ ݎଶ−14ߤ ൬߲݌߲ݖ + ߩ݃ ݏ݅݊ ߠ൰ܴଶ ݒ௭ = ଵସఓ ቀడ௣డ௭ + ߩ݃ ݏ݅݊ ߠቁ (ݎଶ − ܴଶ)  (5) Persamaan (5) menyatakan bahwa untuk aliran laminar dalam pipa distribusi kecepatannya bersifat parabolik. Penerapan Persamaan Navier-Stokes   55  Gambar 2. Aliran melalui cincin annular diferensial (Munson dkk, 2002). Hubungan antara laju volume aliran Q yang melewati tabung dan gradient tekanan, dengan meninjau aliran melalui cincin annular diferensial (Gambar 2). Karena ݒ௭ konstan pada cincin, maka laju volume aliran melalui luas diferensial dA = (2πr)dr adalah ݀ܳ = ݒ௭(2ߨݎ)݀ݎ diintegralkan ܳ = 2ߨ∫ ݒ௭ݎ݀ݎோ଴  ............................. (6) Persamaan (5) disubstitusikan ke dalam persamaan (6) sehingga, ܳ = 2ߨන 14ߤ ൬߲݌߲ݖ + ߩ݃ ݏ݅݊ ߠ൰ (ݎଶ− ܴଶ)ݎ݀ݎ ܳ = ߨ2ߤ ൬߲݌߲ݖ + ߩ݃ ݏ݅݊ ߠ൰ ቈܴସ4 − ܴସ2 ቉ ܳ = ߨ2ߤ ൬߲݌߲ݖ + ߩ݃ ݏ݅݊ ߠ൰ ቈ−ܴସ4 ቉ ܳ = − గோర଼ఓቀడ௣డ௭+ ߩ݃ ݏ݅݊ ߠቁ  ............. (7) Jika dinyatakan dalam suku penurunan tekanan (∆݌) yang terjadi sepanjang jarak  pada tabung, −߲݌߲ݖ= ∆݌ℓ Maka persamaan laju volume aliran (7) menjadi, ܳ = ߨܴସ8ߤ ൬∆݌ℓ − ߩ݃ ݏ݅݊ ߠ൰ atau ܳ = గோర଼ఓℓ(∆݌ − ߛℓ ݏ݅݊ ߠ)  ................ (8) Dengan ߩ݃ = ߛ = berat jenis. Kecepatan rata-rata fluida di seluruh pipa tidak horizontal, ܸ = ܳܣ= ܳߨܴଶ ܸ = ோమ଼ఓℓ(∆݌ − ߛℓ ݏ݅݊ ߠ)  ................. (9) atau ܸ = ஽మଷଶఓℓ(∆݌ − ߛℓ ݏ݅݊ ߠ)  ............. (10) Kecepatan maksimum fluida di tengah-tengah pipa, dimana dari persamaan (5), ݒ௠௔௞௦ = −ܴଶ4ߤ ൬߲݌߲ݖ + ߩ݃ ݏ݅݊ ߠ൰ ݒ௠௔௞௦ = ܴଶ4ߤ ൬∆݌ℓ − ߩ݃ ݏ݅݊ ߠ൰ ݒ௠௔௞௦ = ܴଶ4ߤ ൬∆݌ − ߩ݃ℓ ݏ݅݊ ߠℓ ൰ ݒ௠௔௞௦ = ܴଶ4ߤℓ (∆݌ − ߛℓ ݏ݅݊ ߠ) ݒ௠௔௞௦ = ஽మଵ଺ఓℓ (∆݌ − ߛℓ ݏ݅݊ ߠ)  ...... (11) sehingga, ݒ௠௔௞௦ = 2ܸ .................................. (12) dr z vz r Vistarani dan Jasruddin (2015)   56 Lajualiran volume fluida di seluruh pipa menjadi : Q = vA Q = Dଶ32μℓ (∆p − γℓ sin θ)ቆπDଶ4 ቇ Q = ୈమଵଶ଼μℓ(∆p − γℓ sin θ)  ............. (13) Laju aliran massa fluida di seluruh pipa : ṁ = ρvA = ρQ ṁ = ρ ୈమଵଶ଼μℓ(∆p − γℓ sinθ)  ......... (14) Untuk kekekalan massa, laju aliran massa fluida yang masuk ke pipa sama dengan laju aliran massa fluida yang keluar dari pipa(ṁଵ = ṁଶ) (Bulu, 2001; McDonough, 2009). ṁଵ = ṁଶ = ρ ୈమଵଶ଼μℓ (∆p − γℓ sinθ) (15) Kasus aliran fluida untuk pipa yang tidak horizontal, gravitasi bumi membantu aliran fluida, dimana diperlukan penurunan tekanan ∆p yang lebih kecil dan sinθ < 0 (Munson dkk, 2002). KESIMPULAN Persamaan Navier-Stokes dapat diselesaikan dengan menerapkan sarat batas yang berkaitan dengan aliran laminar berkembang penuh, sehingga diperoleh : 1. Kecepatan rata-rata fluida di seluruh pipa tidak horizontal : V = Dଶ32μℓ (∆p − γℓ sin θ) 2. Lajualiran volume fluida di seluruh pipa tidak horizontal : Q = Dଶ128μℓ (∆p − γℓ sin θ) 3. Laju aliran massa fluida di seluruh pipa tidak horizontal : ṁ = ρ Dଶ128μℓ (∆p − γℓ sin θ) DAFTAR PUSTAKA Bhattacharyya S, Minwalla S, Wadia SR. 2009. The Incompressible Non-Relativistic Navier-Stokes Equation From Gravity. IOP Publishing For SISSA. pp. 1-24. Bulu A. 2001. Fluid Mechanics. Istanbul: Istanbul Technical University, College of Civil Engineering. Galdi GP. 2011. An Introduction To The Mathematical Theory Of The Navier-Stokes Equations (Steady-State Problems) Second Edition. New York: Springer. Herbst I dan Skibsted E. 2009. Analyticity Estimates For The Navier-Stokes Equations. Denmark: University of Aarhus, Department of Mathematics. Khmelnik SI. 2011. Navier-Stokes Equations On The Existence And The Search Method For Global Solutions Second Edition. Israel: Mathematics in Computer Comp. McDonough JM. 2009. Lectures In Elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications. Lexington: Departments of Mechanical Engineering and Mathematics, University of Kentucky. Munson BR, Young DF, Okiishi TH. 2002. Mekanika Fluida Edisi Keempat Jilid 1 dan 2 (Terjemahan). Jakarta: Penerbit Erlangga. Spurk JH dan Aksel N. 2008. Fluid Mechanics Second Edition. Germany: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Saksa T. 2009. Navier-Stokes Equation. Finland: Department of Mathematics, University of Jyväskylä. Welty JR. 2004. Dasar-Dasar Fenomena Transport Edisi Keempat Volume 1 Transfer Momentum (Terjemahan). Jakarta: Penerbit Erlangga. Zhang R, Shan X, and Chen H. 2006. Efficient Kinetic Method For Fluid Simulation Beyond The Navier-Stokes Equation. Phys. Rev. 74(4). 

Penerapan Persamaan Navier-Stokes Untuk Kasus Aliran Fluida Laminer Pada Pipa Tidak Horizontal

http://eprints.unm.ac.id/3918/1/1283-2777-1-PB.pdf

Penerapan Persamaan Navier-Stokes Untuk Kasus Aliran Fluida Laminer Pada Pipa Tidak Horizontal

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository Universitas Negeri Makassar