Solving the k-node minimum label spanning arborescence problem with exact and heuristic methods

Abstract

Zsfassung in dt. SpracheIn dieser Diplomarbeit werden exakte und heuristische Methoden entwickelt um das k-node Minimum Label Spanning Arborescence (k-MLSA) Problem zu lösen. Dieses Problem ist eine Kombination des Minimum Label Spanning Tree (MLST) Problems und des k-cardinality Tree Problems, die beide NP-vollständig sind. Beim MLST Problem soll in einem gerichteten Graphen, dessen Kanten ein oder mehrere Label zugeordnet sind, die minimale Teilmenge an Labels gefunden werden, sodass die entsprechenden Kanten einen gerichteten Baum mit zumindest k Knoten des Graphen enthalten. Dieses Problem ergibt sich im Kontext eines laufenden Projektes am Institut für Computer Graphik und Algorithmen (Technische Universität Wien), in dem ein neuer graphenbasierter Ansatz zur Datenkompression entwickelt wurde. Neben den exakten und heuristischen Methoden zur Lösung des k-MLSA Problems wird in dieser Diplomarbeit ein neuer Preprocessing Algorithmus entwickelt um die initialen Labels zu erzeugen. Die entwickelte Heuristik ist ein memetischer Algorithmus (MA), d.h. die Kombination eines genetischen Algorithmus mit lokalen Suchmethoden, die dazu dienen die mittels evolutionärer Operatoren gefundenen Kandidatenlösungen weiter zu verbessern. Der exakte Algorithmus basiert auf Methoden der mathematischen Programmierung. Zur Lösung des zugrundeliegenden ganzzahligen linearen Modells werden Branch-and-Cut und Spalten Generierung zu einem Branch-and-Cut-and-Price (BCP) Algorithmus verbunden. Dieser Algorithmus erzeugt neue (Label) Variablen und Nebenbe- dingungen dynamisch während des Branch-and-Bound Prozesses, und fügt diese zu einem ursprünglich unvollständigen Modell hinzu. Die neuen Variablen werden erzeugt indem das Pricing Problem basierend auf den Werten der dualen Variablen der jeweiligen Lösung berechnet wird. In diesem Ansatz müssen die (Label) Variablen nicht mehr in einem Preprocessing Schritt generiert werden. Da das Pricing Problem im Verlauf des BCP Prozesses häufig gelöst werden muss, erfordert es besonders effiziente Algorithmen. Zu diesem Zweck wird eine Methode vorgestellt, die auf der Suche von nicht dominierten Intervallen basiert und effiziente Lösungen sowohl für das Pricing Problem als auch für den Preprocessing Schritt generieren kann. Obwohl die in dieser Diplomarbeit vorgestellte BCP Methode grössere Instanzen in kürzerer Zeit lösen kann als die schon entwickelten Branch-and-Cut und Branch-and-Price Algorithmen ist für praktische Anwendungen der MA geeigneter, da dieser fast optimale Lösungen für grössere Instanzen in sehr kurzer Zeit findet. Die neue Preprocessing Methode reduziert die Berechnungskomplexiät im Vergleich zur früheren Methode, die einen Flaschenhals im Verfahren bildete, signifikant.In this thesis, exact and heuristic methods for solving the k-node minimum label spanning arborescence (k-MLSA) problem are developed. The k-MLSA problem is a combination of the minimum label spanning tree problem and the k-cardinality tree problem, which are both NP-complete. Given a complete, directed graph in which one or more labels are associated with each arc, the goal is to derive a minimum cardinality subset of labels such that their corresponding arcs contain a directed tree connecting at least k nodes of the graph. The problem arises in the context of a data-compression model, which has been developed as part of a project at the Institute of Computer Graphics and Algorithms (Vienna University of Technology). In addition to exact and heuristic methods for solving the k-MLSA problem, this thesis contributes a new preprocessing algorithm for constructing the initial labels. The heuristic method is a memetic algorithm (MA), i.e. a combination of a genetic algorithm with local search methods, which are used to further improve candidate solutions derived by the evolutionary operators. The exact algorithm is based on mathematical programming. It solves the underlying integer programming formulation by combining branch-and-cut with column generation in a branch-and-cut-and-price (BCP) approach. In this approach, new (label) variables and constraints are added dynamically to an incomplete initial model during the branch-and-bound process. The new variables are generated by solving the pricing problem, which is based on the values of the dual variables of the current solution. Hence, the label variables no longer need to be constructed in a preprocessing step. As the pricing problem needs to be solved frequently as part of the overall BCP process, efficient algorithms are required. For this purpose, a method based on non-dominated interval search is proposed. It provides an efficient solution to the pricing problem as well as to the preprocessing step.The BCP approach proposed in this thesis can solve larger instances than previously developed branch-and-cut and branch-and-price algorithms.However, for practical applications, the MA is more appropriate as it is able to find near-optimal solutions for larger instances within short running times. The new preprocessing method significantly reduces computational complexity compared to the previous method, which has been the bottleneck in the overall procedure.8