Quantized State Systems in System Simulation - Analysis of Algorithms and Implementation in MATLAB/Simulink

Abstract

Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des VerfassersZsfassung in engl. SpracheIn der heutigen Zeit ist MATLAB/Simulink wohl eine der meist benutzten Simulationsumgebungen. Sowohl im Umfang der Bibliothek als auch in der Vielseitigkeit der numerischen Verfahren bietet Simulink sehr viele Möglichkeiten, Modelle einfach und effizient zu simulieren. Ein wichtiger Bestandteil von Simulink sind numerische Differentialgleichungslöser. Sie haben die Aufgabe die Lösung von kontinuierlichen Systemen approximativ zu berechnen, da zumeist keine Möglichkeit besteht diese auf analytischem Weg zu ermittelt. Diese Verfahren müssen aufgrund begrenzter Ressourcen (Computersystem) entweder die Zeit oder den Zustand des kontinuierlichen Systems diskretisieren. Tatsache ist, dass jeder in Simulink integrierter Differentialgleichungslöser die Zeit diskretisiert. In dieser Arbeit werden wir sehen, dass es eine Vielzahl von Systemen gibt, bei denen diese Löser Schwächen aufweisen. Ein Beispiel dafür sind Modelle, in denen die jeweiligen Parameter einen Zeitpunkt definieren, in welchem es zu einer unstetigen Änderung des Zustandes kommt. Dieser Zeitpunkt wird künftig auch als Diskontinuität bezeichnet. Modelle mit dieser Eigenschaft werden in dieser Arbeit öfter herangezogen. Damit Simulink auch mit dieser Problemstellung in Zukunft besser umgehen kann, wurde im Laufe dieser Arbeit ein Differentialgleichungslöser nach dem Quantized State System (kurz: QSS) Formalismus implementiert. Dieser unterscheidet sich ganz wesentlich von den in Simulink zur Verfügung stehenden Lösern, da beim QSS-Verfahren nicht die Zeit, sondern der Zustand diskretisiert wird. Anders als bei zeitorientierten Verfahren werden hier Diskontinuitäten immer auf direktem Weg erkannt. Diese Arbeit beschäftigt sich im Wesentlichen mit der Umsetzung und Anwendung des QSS-Verfahrens. Die ausgewählten Beispiele in dieser Arbeit sollen einen Eindruck schaffen, wie sehr sich das Verhalten des QSS-Verfahrens von dem Verhalten zeitdiskreter Verfahren unterscheidet. Außerdem beinhaltet diese Arbeit einen theoretischen Abschnitt, der den Fehler und die Stabilität des QSS-Verfahrens untersucht.Nowadays MATLAB/Simulink is probably one of the most used simulation software. Simulink provides a large library of blocks and many capabilities of numerical tools for a simple and efficient simulation. An important part of Simulink are the numerical differential solvers. Their task is to solve continuous systems in an approximatelly way, because in most cases there exists no analytical methode to get the solution of this systems. Numerical solvers are always faced with finite ressources (like a computersystem). This is the reason, that they have to discretise the time or the state. The fact is, that all in Simulink integrated solvers discretise the time. But not always this method leads to good results. Later we will see, that there exists many continuous systems, where these solvers get in trouble. One example are models, which have discontinuities. To deal with this problem this master thesis presents a solver based on the Quantized State System (QSS) which solves such systems by discretising the state rather then the time. The big advantage of this approach is that the solver handles discontinuities in a direct way. This master thesis contains the implementation of this solver and its usage with some selected models. This models show the difference in the behaviour between the QSS method and the conventional time-discrete methods. Beneath that this master thesis encloses a theoretical part where the error and the stability of the QSS method are discussed.6