Økonometriske modeller for transportadfærd som transportmiddelvalg, bilejerskab, rejseformål, etc. er sædvanligvis baseret på stokastisk nytteteori. Ved at lave forskellige antagelser om den underliggende stokastiske proces fås modeller som spænder fra simple logit modeller til mere generelle probit modeller. Eftersom responsvariablen er diskret er det ikke muligt at teste antagelser vedrørende den underliggende stokastiske proces. Konsekvensen er, at kun relativt lidt information om modellens validitet kan etableres. 
I dette paper tages der hul på beskrivelsen af den klasse af misspecifikationer, som skyldes skjulte ikke-lineariteter. Det vises, hvorledes misspecifikationer i modal-split modeller er tæt koblet til rejseafstand og i sidste ende til ændringer i den marginale rejsemodstand. Helt præcist vises det at to respondenter med forskellig marginal rejsemodstand ikke kan antages at have identiske fejlled. Yderligere vises det, hvorledes disse misspecifikationer er systematiske og en oplagt løsningsmåde foreslås

J. H., Rich

Danish

Open Access Journals at Aalborg University

Misspecifikationer i modal-splitmodellerRich J.H.Danmarks MiljøundersøgelserAfdelingen for systemanalyseP.O. Box 358, DK-4000 Roskilde, DanmarkTlf. +45 46301206  /  Fax  +45 46301212  /  email: jhr@dmu.dkAbstraktØkonometriske modeller for transportadfærd som transportmiddelvalg, bilejerskab,rejseformål, etc. er sædvanligvis baseret på stokastisk nytteteori. Ved at lave forskelligeantagelser om den underliggende  stokastiske proces fås modeller som spænder fra simple logitmodeller til mere generelle probit modeller. Eftersom responsvariablen er diskret er det ikkemuligt at teste antagelser vedrørende den underliggende stokastiske proces. Konsekvensen er,at kun relativt lidt information om modellens validitet kan etableres.I dette paper tages der hul på beskrivelsen af den klasse af misspecifikationer, som skyldesskjulte ikke-lineariteter. Det vises, hvorledes misspecifikationer i modal-split modeller er tætkoblet til rejseafstand og i sidste ende til ændringer i den marginale rejsemodstand. Heltpræcist vises det at to respondenter med forskellig marginal rejsemodstand ikke kan antages athave identiske fejlled. Yderligere vises det, hvorledes disse misspecifikationer er systematiskeog en oplagt løsningsmåde foreslås.Keywords: Modal-split modeller, misspecifikationer, ikke-lineariteter / Modal-split models,misspecifications, non-linearities.Session: Trafikmodeller.IndledningDen mest anvendte model for transportmiddelvalg er den ordinære multinomiale logit model(MNL). Udgangspunktet er stokastisk nytteteori hvor der til hver respondent tilordnes en indirektebetinget nyttefunktion. Den fundamentale antagelse er at individets oplevede nytte kan udtrykkesgennem nyttefunktionen samt at individerne er rationelle forbrugere som søger at maksimerederes nytte. Lad nytten til individ tog alternativ i være givet ved .tititi VU e+= Her repræsenterertiV den deterministiske del af nyttefunktionen mens tie betegner det stokastiske element. Ved atlave antagelser om den stokastiske proces tie er det muligt at angive sandsynligheden for at individtvælger alternativ j som ( ) ( )., ttjtit MjUUPjP Î">=  Under antagelse af uafhængige identiskegumbel fordelte fejl kan det vises at den tilhørende valgsandsynlighed er givet ved( ) tMmeejP tMmVVttmtjt"Î= åÎ,,,( 1 )hvor tM definerer den enkelte respondents valgsæt.Det vanskelige ved at bygge modeller baseret på denne teori er at den endogene variabel erdiskret. Vi forsøger med andre ord at anvende en kontinuert teori på diskrete udfald. Da vi ikkekan observere den indirekte nytte er det ikke muligt at teste den latente stokastiske proces pånogen normal måde. Det er imidlertid muligt at påvise hvorvidt misspecifikationer i bestemtesituationer vil kunne opstå. Den grundlæggende fremgangsmåde som anvendes i paperet er atindlejre modal-split komponenten i en kombineret diskret-kontinuert ramme, som det blandtandet er gjort i Rich (1996). Ved at udlede marginale fordelinger for den overordnede model er detmuligt at identificere misspecifikationer under visse omstændigheder.Konsekvenser af ikke-lineariteterDet er relevant at overveje konsekvenserne af en potentiel ikke-linearitet. Lad os først definerehvad der forstås ved en ikke-lineær model. Den lineære model er defineret ved ( ) ?X tmtVf =, .Som før angiver mtV , nyttefunktionen, mens tX og ? betegner datamatrice og parametervektor.Lineær-i-parameter modeller er set udfra et estimationsteknisk synspunkt identiske med denlineære model. Vi har at ( ) ( )?X tmt gVf =, , mens der for den ikke-lineære model gælder at( ) ( )?X tmt gVf =, . Vi skal i det følgende udelukkende beskæftige os med modeller som er lineære iparametrene. I forbindelse med MNL modellen er valgsandsynlighederne den centrale størrelse ogdisse sandsynligheder er ikke invariant overfor ikke-lineariteter. Der gælder kun at( ) ( ) mttpmpmtUU tm ¹">Û¹"> ( 2 )Dette gælder oplagt også for enhver monoton transformation af nyttefunktionen1. Det er klart atpotentielle skift i funktionsform vil have indflydelse på modellen og dermed ogsåvalgsandsynlighederne, men som hovedregel er MNL modellens estimerede valg relativt robust                                                  1 Hvis modellen har parametre som varierer over alternativer er dette ikke nødvendigvis tilfældet.overfor potentielle ikke-lineariteter. Det betyder at, det er meget vanskeligt at få en fornemmelseaf, hvordan den korrekte funktionsform ser ud ved kun at se på estimerede valgsandsynligheder.Hvis man på den anden side kun er interesseret i de estimerede valgsandsynligheder er selvefunktionsformen oftest mere eller mindre irrelevant.De store problemer opstår hvis modal-split modellen indgår i et større modelkompleks som deteksempelvis er tilfældet i ALTRANS2 og PETRA3. Her vil man oftest forbinde de enkeltesubmodeller gennem logsummer. Logsummer repræsenterer et tilgængelighedsmål, somudtrykker den enkelte respondents samlede nytte ved et valg. For logsummerne ertilstedeværelsen af ikke-lineariteter mere alvorligt.( ) ÷øöçèæ¹÷øöçèæ åå''loglogmfmmm ee ?X?X ( 3 )En typisk situation, hvor logsummerne er vigtige, er i koblingen mellem bilejerskab og modal-split. Her vil logsummerne fra modal-split delen typisk kunne indgå i bilejerskabet for herved atkoble anvendelse med ejerskab.Tilstedeværelsen af ikke-lineariteterFor at se på hvornår og hvordan ikke-lineariteterne optræder introducerer vi en udvidetmodelramme i forhold til MNL modellen. For at forstå ideen bag den nye model kan det værehensigtsmæssigt først at se på en diskret model der kombinerer modal-split og destinationsvalg. Isin simpleste form en helt almindelig flad MNL model som det ses nedenfor i ligning 3.( )å åÎ Î=tmdtmtmdtmtMm MdddteeeedmP' ' *,,,,, bCaSbCaSgg ( 4 )hvor a og b er parametre hørende til henholdsvis de socioøkonomiske variable mt ,S og de variablesom relaterer til rejsen mdt ,C . Elementerne i  mdt ,C  er typisk tid og pengeomkostninger. Yderligereer dgen variabel som beskriver attraktionen i destinationen d . Med andre ord ser nyttefunktionenud somdmdtmtmdt qV gln,,, ++= bCaS ( 5 )                                                  2 ALTRANS er et national forskningsprojekt finansieret af Transportrådet, DMU og Miljøstyrelsen. I ALTRANSbeskrives befolkningens transportvaner med speciel fokus på serviceniveauet i den kollektive transport. Arbejdetvaretages af DMU.3 PETRA er adfærdsmodel for persontrafikken udviklet af COWI. Se PETRA 1997 working paper no.7.Den kontinuerte pendant til denne diskrete destinationsmodel opstår ved dels at antage IIA-egenskaben samt at lade zonestørrelsen gå mod 0. Da fremkommer modellen som deninfinitisimale grænse. For at få en brugbar model transformeres modellen fra rektangulære tilpolære koordinater. Det smarte ved denne transformation er, at vi nu umiddelbart kan behandlerejseafstanden endogent4. Den nye nyttefunktion får for hver individ formen{ } ( ) { }qq gq ,,, ln, LmmLm qLV ++= bCaS ( 6 )Dette gøres ved at skifte koordinatsystem for hver enkelt respondent således at hvert nyekoordinat system netop har centrum hvor respondenten starter sin rejse. Specifikationen af( )q,LCm  lader vi være givet ved( ) ( ) { }LELLLCLC Lmmm qqq ,,,, =÷øöçèæ= ( 7 )Hvor { }q,, LmE  eller blot mt,E  betegner den marginale rejsemodstand for den enkelte rejse. Detinteressante ved denne simple opløsning er at vi ikke antager direkte proportionalitet mellemrejsemodstanden og rejselængden, men netop kan regne igennem med en variabel marginalrejsemodstand.Modellens valgsandsynligheder er givet ved.( ) { }( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )å òòÎ ¶¶==tmtmtmttmMmBLLttdLdLyxeLedLdeLedLdLmGdLdmP' 020,,,,,,,,,,,,qqqgqqgqqqpqqbCaSbCaS( 8 )Når ( ) { }( )qqq ,,,0 LmPdLdmPdLd tt ®Þ® . Fra et beregningsmæssigt synspunkt er selv megetsimple funktionsformer for ( )qg ,L  vanskelige at håndtere. For det første kan integralet ikkeevalueres eksakt og for det andet vil integrationsdomænet skifte på en meget kompleks måde. Ivores situation er det imidlertid nok at se på det simple tilfælde hvor ( ) gqg =,L .Maximum likelihood estimaterne findes på sædvanligvis ved at maksimere likelihoodfunktionengivet ved( ) { }( )mttyTt Mmt LmGL,',,, Õ ÕÎ= qba ( 9 )                                                  4 Se Rich H.R. 1996 for en nærmere gennemgang.Hvor Û= 1,mty alternativ m er valgt og 0, =mty  ellers5.Marginale fordelingsfunktionerFra likelihood funktionen er det muligt at udlede to interessante marginale fordelinger. Først ogfremmest er den marginale fordeling for transportmiddelvalg defineret ved6( ) { }( ) ( )( )( )( )åòòÎ==tmtmtMrmtrtmtrtbtt bIebIedLdLyxLmGmGmax,,max,,020 '',,,,,,maxbEbEaSaSqq¶¶qp( 10 )Sandsynligheden af det rumlige valg { }q,L  betinget på m  er givet ved{ }( ) { }( )( )mGLmGmLGtttqq ,,, = ( 11 )Nu kan den marginale rejselængdefordeling umiddelbart udledes ved at integrere-q dimensionen ud. Vi får at( ) { }( ) qqpLdmLGmLG tt ò=20, ( 12 )Hvor det er relativt let at se, at( )( )( )bEbEmtmtLt ILemLGmt,,,= ( 13 )En interessant størrelse er den forventede rejselængde betinget af transportmåde[ ] ( )÷øöçèæ -= mbGbLE tmtmt ,212maxmax,, bE( 14 )Det helt centrale resultat, som umiddelbart kan udledes fra rejselængdefordelingen er at( ) ( ) ( )bEbE bE mtmtmttb mtLemLG ,,2, ,2lim ,maxG==¥® ( 15 )                                                  5 Se appendiks 1 for en opstilling af optimeringsproblemet.6 Formen af -rtI , funktionen kan ses i appendiks 1.Dette resultat siger at den marginale rejselængdefordeling reducerer til en gammafordeling nårmaxb går mod uendeligt. I praksis er der oplagt en øvre grænse for maxb og derfor vil den faktiskefordeling være trunkeret. Fra et praktisk synspunkt er der dog ikke grund til at koncentrere sig omden trunkerede del eftersom halerne på gammafordelingen går meget hurtigt mod 0.Selve resultatet er vigtigt at flere grunde. For det første etableres der en simpel forbindelse mellemden teoretiske model og den skitserede gammafunktion. Denne forbindelse kan påvises empiriskudfra TUdata. Se figur 1 for en profil af rejselængdefordelingen7.Figur 1: Empiriske fordelingsfunktion for rejselængden fordelt på to transportmåder.                                                  7 Et stort problem ved at sammenligne de to fordelinger er at den empiriske fordeling typisk i tilfælde med survey dataer ødelagt af ophobning. Folk svarer typisk 10 kilometer i stedet for 9 og 20 i stedet for 17. Principielt kan man testefordelingerne ved at gennemføre et person c2 - test. Testet overkommer ophobningen men har oplagt lav styrke sådet synes mere oplagt blot at se på fordelingerne og konstatere en god overensstemmelse.En anden ting som bliver klart er, at hvis den marginale rejsemodstand mt,E  generelt ændrer sigmed L eller t , så kan det ikke antages at alle observationer dækkes af den samme gammafunktion.Med andre ord skrider den fundamentale antagelse om identiske fejlled for MNL modellen.Dette resultat har ikke i sig selv den store værdi. Statistikere ved godt at fejlled i MNL modellerikke er identiske. Det interessante opstår først i det omfang, at man kan identificere en systematiskmisspecifikation og det er netop tilfældet her. Lad os tage fat på misspecifikationer som varierermed henholdsvis individerne ( t ) og rejselængden ( L ).t - variationerHvis variationen i et vist omfang er systematisk over grupper af individer bør man entenoverveje en segmentering eller en udvidet parametrisering af rejsemodstanden således atmodellen har separate parametre for hver gruppe. Da den marginale rejsemodstand typiskvarierer med tilgængelighed vil det oftest være særdeles fornuftigt at segmentere efterurbaniseringsgrad. Dette gøres blandt andet også i ALTRANS.L - variationerVariationen hørende til rejselængden er oftest også af systematisk karakter. Lad os antage atden marginale rejsemodstand falder med afstanden L . Dette er et normalt fænomen eftersomlængere rejser betyder kørsel på større veje, at man bruger tog fremfor bus etc. Lad LT væremængden af rejser af længde L . Da vil ( )E LETrt rt TLL= Îå ,angive den gennemsnitlige marginalerejsemodstand for transportmåde r  og længde L . Bemærk at vi for klarhedens skyld blotantager at der er én alternativ specifik variabel, dvs. at E t r,  ikke er en vektor men et tal. Imatematisk notation har vi at ( ) ( ) ( ) ( )max......21 bELEEE rrrr >>>> .Eftersom de marginale omkostninger varierer på denne måde er det oplagt, at denunderliggende stokastiske proces ikke kan opfylde kravet om identiske fordelinger, jf.ovenstående resultat. På trods af dette er det muligt at der eksisterer en funktion ( )×Q således at( )( ) LLEQ r "® 1 . Eftersom ( )EC LLt rt m tt,,= søger vi altså en transformation af ( )C Lt m t, såledesat ( )( )Q C L L tt m t t, ® " . Den interessante ting er altså at den lineære specifikation kunforekommer som et tilfælde, men at vi i en lang række tilfælde vil kunne håndtere ikke-lineariteten mellem rejsemodstand og rejselængde ved et simpel exogen variabeltransformationsom opfylder ovenstående krav.I de to ovenstående eksempler er det foreslået hvordan man i visse situationer kan mindskeeffekten af den ikke-linearitet som uværligt vil eksistere i langt de fleste MNL modeller.Forudsætningen er dog at variationen i ( )LEr som funktion af L  skal være systematisk. Hvisfunktionen ikke er monoton faldende har man et forklaringsproblem og man bør overveje datanærmere.KonklusionI paperet er det blevet vist hvorledes MNL modeller principielt set indeholder en latentmisspecifikation. Denne misspecifikation relaterer sig helt generelt til inhomogene marginalerejsemodstande. Sådanne inhomogeniteter opstår dels i kraft af en variation over individer, somtypisk vil skyldes forskellige lokaliseringsmæssige forhold og dels en variation relateret tilrejselængden. Den første inhomogenitet kan behandles ved at segmentere på urbaniseringsgrad.Den anden inhomogenitet skyldes at man for længere rejser typisk vil køre på større veje, benyttehurtigere transportmidler som eksempelvis tog fremfor tog, etc. I den udstrækning at variationenmed rejselængden er systematisk kan man ved at gennemføre en exogen variabeltransformationoverkomme problemet. I paperet er opstillet præcist hvilke krav der skal stilles til dennevariabeltransformationen.Misspecifikationen skønnes ikke at være problematisk i forhold til modellens evne til at estimerekorrekte udfald af den kategoriske endogene variabel. Derimod påpeges det at logsummerne isærlig alvorlig grad vil lide under potentielle misspecifikationer og specielt latente ikke-lineariteter.Da disse logsummer typisk bruges til at koble submodeller i større modelsystemer er problemetalvorligt. Typisk vil den transformation man foretager ikke forbedre modellens fit, men afhensynet til modellens relation til andre submodeller bør man i disse tilfælde undersøge hvordande skitserede inhomogeniteter spiller ind.LitteraturBen-Akiva M. & Lerman S. 1985, Discrete Choice Analysis, MIT press, Cambridge, Mass.Manski C. & McFadden D. 1981, Structurel Analysis of Discrete Data, eds. MIT press,Cambridge, Mass.PETRA working paper no.7 1997, COWI consult.Rich J.H. 1996, Modelling modal-split and trip length in a simultaneously discrete-continuoussetting, I Trafikdage på Aalborg Universitet, supplementsrapport s.75-86.Appendiks 1Log likelihood funktionen er givet ved( ) { }( )( )( )( ) ( )å å åå åÎ ÎÎ÷÷øöççèæ÷÷øöççèæ-+==Tt MmrtrtMrtmtmttmTt Mmttmt trttbIeLyLmGy'max',','',',' ''''log'',,'log,', bEbEaSbaaSql (16 )Hvor Lt  angiver rejselængde for hver respondent og a= { }a ap1 ,..., og { }b = b bq1, . . . , . Noter atindekseringen af a og b håndteres indirekte gennem datamatricerne St og tE . Formen af de toeksogene strukturer under antagelse af 4 forskellige transportmåder er givet vedSs ss ss stt tt tt t=éëêêêêùûúúúú1 21 21 20 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 0       og      EE EE EEEtt tt ttt=éëêêêêùûúúúú, ,, ,,,11 2112 2213140 0 0 00 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0Noter at identifikationsproblemet får den sidste række-vektor i St  til at udgå. ',mtE  errækkevektoren defineret som  den 'm  E t række i  hvis vi regner fra t .Denne vektor målermarginal rejsemodstand per enheds distance. It r, - funktionen kommer fra integrationen overgeografien( ) ( )( )I b Le d dLe bt r t rLbbt rt rt r tt r, , max''max ,,( ' )'',max, maxE bE bE bE bE b= =+ -òò q pp020 221 1 (17 )Så It r, - funktionen repræsenterer en simpel kontinuert og monoton voksende  afbildningIt r, : R { }0/ ® R.Eftersom der er en naturlig dekomposition af parameterrummet vil vi anvende følgende notationved definitionen af gradient vektoren.Lad ( )l l= a b, og G11= ìíîüýþ¶¶¶¶l la ak,..., hvor den j’te komponent er givet ved( )¶¶¶¶lay Sajt m t m jjm Ct t= -æèçöø÷Îåå , ' , ' ,',Y a b ( 18 )Den anden del af gradient vektoren 2G er defineret tilsvarende med G21= ìíîüýþ¶¶¶¶l lb bk, ... , hvor denj’te komponent er( )¶¶¶¶lby L Ebjt m t t m jjm Ct t= -æèçöø÷Îåå , ' , ' ,',Y a b ( 19 )Den centrale del af gradienten er Y - funktionen defineret ved( ) ( )Y a b E bS a, log ', ' , ' , max'= æèçöø÷Îå e I bt m t m t mm M( 20 )Herved fås( ) ( )( )¶¶Y a bE bE bS aS a,'',,', , , max', maxae S I be I bjt r j t rr Ct rr Ct rtt rt= ÎÎåå( 21 )og( )( )( )¶¶¶¶Y a bE bE bS aS a,'',,' , max', maxbeI bbe I bjr Ct rjt rr Ct rtt rt= ÎÎåå( 22 )hvor It r, - gradienten er givet ved( ) ( )¶¶pI bbb E b b E b eb Et rii ib E bit r i t r ii t r it r iE b, max max max' , , , ,, , max, ,=- +æèçöø÷ -22 2 223 2( 23 )Ved substitution af ovenstående udtryk fås et samlet udtryk for gradientvektoren( )( )¶¶lay Se S I be I bjt m t m jr Ct r j t r t rr Ct r t rm Ctt rtt rtt= -æèçççöø÷÷÷ÎÎÎåååå , ' , ' ,', , , , max', , max',,''S aS aE bE b( 24 )( )( )¶¶¶¶lby L EeI bbe I bjt m t t m jr Ct r t rjr Ct r t rm Ctt rtt rtt= -æèçççççöø÷÷÷÷÷ÎÎÎåååå , ' , ' ,' , , max', , max',,''S aS aE bE b( 25 )

Misspecifikationer i modal-split modeller

https://journals.aau.dk/index.php/td/article/download/4109/3557

Misspecifikationer i modal-split modeller

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Open Access Journals at Aalborg University