Esta tesis cubre dos artículos conjuntos con Nuño-Ballesteros (The Image Milnor Number and Excellent Unfoldings, en 2021, y On whitney equisingular unfoldings of corank 1 germs, como prepublicación), un artículo que sigue en desarrollo conjunto con Nuño-Ballesteros y Lê Dũng Tráng (provisionalmente titulado Relative polar curves and monodromy, como prepublicación) y un trabajo en desarrollo con Mond. Estos tres trabajos delimitan las tres partes principales del texto.
Como se ha mencionado, el texto está dividido en tres partes. La primera de ellas trata el estudio de singularidades de gérmenes de aplicaciones holomorfas en el contexto de la teoría de Thom-Mather, i.e., módulo cambio de coordenadas biholomorfo (llamado -equivalencia). En particular, nos centramos en gérmenes de corrango uno de en , pero también desarrollamos la teoría para gérmenes de en , con , y gérmenes con una intersección completa con singularidades aisladas (comúnmente conocidos como ICIS, de isolated complete intersection singularity en inglés) en el dominio.
El principal objetivo de la primera parte del texto es encontrar una buena caracterización de la equisingularidad de Whitney para familias a un parámetro de gérmenes -finitos de corrango uno. Una caracterización de la equisingularidad de Whitney ya fue dada por Gaffney en 1993 en su artículo Polar multiplicities and equisingularity of map germs: una familia de gérmenes es Whitney equisingular si, y solo si, es excelente y todas las multiplicidades polares en el dominio y codominio son constantes a lo largo de la familia. A pesar de ello, esta caracterización tiene el inconveniente de necesitar una gran cantidad de invariantes para asegurar la equisingularidad, del orden de la dimensión del espacio de salida al cuadrado.
Se han hecho algunos avances desde el resultado de Gaffney, por ejemplo, Jorge Pérez y Saia redujeron el número de invariantes en 2006 en su artículo Euler obstruction, polar multiplicities and equisingularity of map germs, necesitando todavía una gran cantidad de ellos (manteniendo el orden del número invariantes). Además, Houston tiene un artículo no publicado basado en una prepublicación no publicada de Gaffney (no disponible al público) en el que trata esta cuestión (véase su prepublicación de 2008, Equisingularity and the euler characteristic of a milnor fibre).
Nuestra contribución ha sido, en primer lugar, encontrar una condición para deshacerse de la hipótesis de excelencia. Más concretamente, Houston conjeturó en su artículo de 2010 Stratification of unfoldings of corank 1 singularities que una familia de gérmenes de corrango uno era excelente si el número de Milnor en la imagen era constante a lo largo de la familia. Hemos resuelto esta conjetura para gérmenes de aplicaciones holomorfas que van de en , ergo usamos el número de Milnor en la imagen para asegurar la excelencia de la familia.
Por otro lado, nos inspiramos en el trabajo de Teissier para hipersuperficies con singularidades aisladas en su artículo de 1982 Variétés polaires. II. Multiplicités polaires, sections planes, et conditions de Whitney y en el de Gaffney para intersecciones completas con singularidades aisladas en su artículo de 1996 Multiplicities and equisingularity of ICIS germs: caracterizar la equisingularidad de Whitney en términos de una secuencia o, lo que es lo mismo, estudiar los números de Milnor de secciones hiperplanas genéricas con codimensión creciente. Así pues, probamos un resultado similar para gérmenes de aplicaciones holomorfas usando esta filosofía, utilizando el teorema de Gaffney y reduciendo el número de invariantes que necesitamos (y su orden, siendo ). Pese a ello, en el caso de gérmenes de aplicaciones holomorfas, necesitamos condiciones que controlen el dominio y el codominio por separado, y es por ello que usamos la secuencia para el codominio, usando el número de Milnor en la imagen usual, y la secuencia para el dominio, usando una definición análoga del número de Milnor en la imagen para gérmenes de aplicaciones holomorfas con una intersección completa con singularidad aislada en el dominio. Esta última secuencia fue la motivación para desarrollar la teoría de gérmenes de aplicaciones holomorfas definidos desde una intersección completa con singularidad aislada.
Por último, cabe destacar que hemos probado algunos resultados interesantes a lo largo de nuestro trabajo en esta dirección. El primero de estos resultados es el principio de conservación del número de Milnor en la imagen, así como su semicontinuidad superior. Entre otros, también es de excepcional interés una versión más débil de la conjetura de Mond. Recordamos que la conjetura de Mond afirma que el número de Milnor en la imagen de un germen -finito es mayor o igual que su -codimensión (con igualdad en el caso homogéneo con pesos, llamado también casi homogéneo). Así pues, hemos probado que el número de Milnor en la imagen es cero si, y solo si, el germen es estable (o, equivalentemente, que su -codimensión es cero).
La segunda parte de este texto trata la monodromía geométrica local de las fibraciones de Milnor-Lê: probamos que una monodromía geométrica local de un germen no fija ningún punto si .
Esto es una generalización de un teorema de Lê Dũng Tràng en su artículo de 1975 La monodromie n'a pas de points fixes enunciado para gérmenes de funciones holomorfas con dominio suave, . Además, Tibar enunció este resultado en su tesis doctoral y en un artículo.
Para probar esta generalización usamos una técnica desarrollada por Lê Dũng Tràng que permita hacer un razonamiento inductivo llamada el carrusel: un campo vectorial definido sobre un cilindro complejo que levanta el campo vectorial unitario de una circunferencia y es tangente a cierto conjunto de valores críticos. La idea principal de la prueba es levantar este campo vectorial especial a de una forma conveniente (esto es, que permita encajar el razonamiento inductivo) y tomar su flujo para tener una monodromía geométrica, por lo tanto, también usamos las técnicas mostradas en el libro de Gibson, Wirthmüller, du Plessis y Looijenga Topological stability of smooth mappings para probar los lemas de isotopía de Thom-Mather.
Este teorema, así como su versión original dada por Lê Dũng Tràng en su artículo de 1975, tiene aplicaciones interesantes. Mediante un teorema clásico de Lefschetz sobre los puntos fijos de un endomorfismo continuo de un espacio topológico, el teorema que demostramos implica que el número de Lefschetz de una monodromía geométrica local es cero. Esto también es un resultado de A'Campo en su artículo de 1973 Le nombre de Lefschetz d'une monodromie, que da una versión más general usando maquinaria matemática muy técnica y cuya prueba, en la versión más general, atribuye a Deligne. Como corolario de esta aplicación, podemos probar que el hecho de ser suave es un invariante topológico de gérmenes de hipersuperficies usando también un teorema de Lê Dũng Tràng en su artículo de 1973 Calcul du nombre de cycles évanouissants d'une hypersurface complexe, esto también es un caso de la conjetura de Zariski sobre multiplicidades. Este corolario puede ser probado, también, con otro teorema de A'Campo en su artículo anteriormente mencionado, que es, a su vez, consecuencia de nuestro resultado principal.
Finalmente, mostramos un teorema de no coalescencia en un contexto general, generalizando algunos conceptos ampliamente usados. Este resultado se traduce, a grandes rasgos, en que, bajo ciertas condiciones, una familia de singularidades, en algún sentido, no puede escindirse, o dividirse, a lo largo de una familia si se conservan ciertos invariantes, como el número de Milnor. Por ejemplo, Lê Dũng Tràng demostró en su artículo anteriormente mencionado que una familia de hipersuperficies con singularidades aisladas no tiene coalescencia si la suma de los números de Milnor es constante a lo largo de la familia (véase también el trabajo de Bey en su artículo de 1972 Sur l'irréductibilité de la monodromie locale y el de Lazzeri en 1973 A theorem on the monodromy of isolated singularities). Otro ejemplo de no coalescencia fue dado enpor Carvalho, Nuño-Ballesteros, Oréfice-Okamoto y Tomazella para familias de intersecciones completas con singularidad aislada con número de Milnor total constante en su prepublicación Families of ICIS with constant total Milnor number. Más precisamente, por contexto general nos referimos a una familia de hipersuperficies dadas por funciones con puntos críticos aislados en cierto espacio ambiente que además es un espacio de Milnor con ciertas hipótesis en la fibración y la familia.
Finalmente, la tercera parte es una nueva forma de encarar el estudio de inestabilidades de gérmenes de aplicaciones holomorfas -finitas de en con . Como el lector verá, la principal herramienta que usamos para controlar el número de Milnor en la imagen en la primera parte del texto son los espacios de puntos múltiples de los gérmenes. Pese a ello, no los usamos como un todo, sino que solo nos preocupamos por la parte alternada de su homología porque usamos una secuencia espectral que calcula la imagen (ICSS, del inglés image-computing spectral sequences) para calcular los números de Milnor en la imagen. Esta es la razón para intentar usar toda la simetría de los espacios de puntos múltiples en lugar de solo su homología alternada. Esto lo hacemos utilizando la estructura de los espacios de puntos múltiples (de momento, en corrango uno) y teoría de representaciones.
La filosofía de esta nueva forma de aproximarse a problemas de inestabilidades de gérmenes es intentar transformarlos en problemas de álgebra lineal. De hecho, tenemos éxito cuando tratamos de relacionar la constancia de y la de en familias, donde es el número de Milnor en los puntos dobles dado en la primera parte del texto como En particular, probamos que la constancia de implica la de en familias de monogérmenes de corrango uno.
Además, probamos que cualquier espacio de puntos múltiples de un monogermen de corrango uno que tenga una singularidad dará homología alternada cuando tomemos su fibra de Milnor. Esto es también una generalización de un teorema dado en la primera parte del texto para familias de gérmenes que admiten un desdoblamiento estable a un parámetro.This thesis covers two joint papers with Nuño-Ballesteros ([GCNB21, GCNB20]), a
joint paper with Nuño-Ballesteros and Lê Dung Tràng ([GCTNB21]) and a joint work in
development with Mond. These three works delimit the three main parts of the text.
As we were saying, the text is divided intro three parts. The ?rst of them is devoted to
the study of singularities of holomorphic map germs in the context of the Thom-Mather
theory, i.e., modulo A -equivalence. In particular, we focus on corank one germs from C n
to C n+1 , but we also develop the theory for germs from C n to C p , with n < p, and germs
with an isolated complete intersection singularity (icis) in the source.
The main goal of the ?rst part of the text is ?nding a nice characterization of the
Whitney equisingularity for one-parameter families of A -finite germs f t : (C n ,S) →
(C n+1 ,0) of corank one. A characterization of the Whitney equisingularity was already
given by Gaffney in [Gaf93]: a family of germs f t : (C n ,S) → (C n+1 ,0) is Whitney
equisingular if, and only if, it is excellent and all the polar multiplicities in the source and
target are constant along the family. However, this characterization has the inconvenient
of needing a huge number of invariants to assure the equisingularity.
Some developments have been made since Ga?ney's result, for example Jorge Pérez and Saia in [JPS06] reduced the number of invariants, still being a huge amount of inva-
riants. Also, Houston has an unpublished paper based on a preprint of Ga?ney addressing
this issue (see [Hou08]).
Our contribution was, first of all, finding a condition to avoid the excellency hypot-
hesis. To be more specific, Houston conjectured in [Hou10] that a family of corank one
germs is excellent if the image Milnor number µ I is constant along the family. We sol-
ve this conjecture for the dimensions (n,n + 1), so use the invariant µ I to assure the
excellency of the family.
On the other hand, we were inspired by the work of Teissier in [Tei82] for isolated
singularities of hypersurfaces and by the work of Gaffney in [Gaf96] for icis: they cha-
racterized Whitney equisingularity in terms of µ ∗ sequences. This means studying the
Milnor numbers of generic sections with increasingly codimension. Hence, we proved a
similar result for map germs using this approach, using Gaffney's theorem and reducing
the number of invariants we need. However, in the case of map germs, one needs control
conditions on the source and target separately, so we used the sequence µ ∗I (f t ) for the
target, with the usual image Milnor number, and a sequence µ ∗ I ( D2 (f t ),π )
for the source, using an analogous definition of the image Milnor number defined for map germs with
an icis in the source. This last sequence also motivated us to develop the theory of map
germs on icis.
Finally, we want to remark that we have proven some interesting results while going
on this direction. The first one is the conservation principle of the image Milnor number,
as well as its upper semi-continuity. Among other developments, it is of exceptional in-
terest a weak version of Mond's conjecture. Recall that Mond's conjecture states that the
image Milnor number of an A -?nite germ is greater than, or equal to, its A e -codimension
(with equality in the weighted homogeneous case). Hence, we proved that the image Mil-
nor number is zero if, and only if, the germ is stable (or, equivalently, the A e -codimension
is zero).
The second part of this text is about the local geometric monodromy of Milnor-Lê
fibrations: we prove that a geometric local monodromy of a germ f : (X,x) → (C,0) does
not have any fixed point if f ∈ m 2. This is a generalization of a theorem of Lê Dung
Tràng in [Trá75] stated for germs on smooth source, f : (C n+1 ,x) → (C,0). Furthermore,
Tibar stated this result in his PhD thesis and in one paper (see [Tib92, Tib93]).
In order to prove this generalization, we use a technique developed by Lê Dung Tràng
called the carousel, which is a vector field with convenient properties. The main idea of
the proof is lifting this vector field to X and take its ?ow to have a geometric monodromy,
hence, we also used the techniques shown in [GWdPL76] to prove Thom-Mather isotopy
lemmas.
This theorem, as its original version given by Lê Dung Tràng, has interesting ap-
plications. By a classical result of Lefschetz, the theorem we prove implies that the
Lefschetz number of the local geometric monodromy is equal to zero. This is also a result
of A'Campo in [A'C73], which has a more general version using heavy mathematical
machinery and whose proof, in the most general version, is attributed to Deligne. As corollary of this application, we can prove that being smooth is a topological invariant of
germs of hypersurfaces (X,x), using also a theorem of Lê Dung Tràng in [Trá73a]. This
corollary can also be proven using another theorem of A'Campo in [A'C73], which is, in
turn, consequence of our main theorem.
Finally, we show a theorem of no coalescence in a general context. This means that,
in some conditions, a family of singularities, in some sense, cannot split along the family
provided the conservation of some invariants, such as the Milnor number. For example,
in [Trá73b], Lê Dung Tràng showed that a family of hypersurfaces with isolated singu-
larities does not have coalescence provided the sum of the Milnor numbers is constant
along the family (see also Bey's work in [Bey72] and Lazzeri's work in [Laz73a]). Anot-
her example of no coalescence is given in [CNnBOOT21] by Carvalho, Nuño-Ballesteros,
Oréfice-Okamoto, and Tomazella for families of icis with constant total Milnor number.
To be more precise, by general context we mean a family of hypersurfaces f −1 t(0) given
by functions f t : X t → C with isolated critical points inside an ambient space (X,x 0 )
that is a Milnor space with some hypothesis on the fibration and the family.
Finally, the third part is a new approach to study instabilities of A -finite map germs
f from C n to C p , with p > n. As the reader will see, the main tool we use to control
the image Milnor number in the first part of the text is the multiple point spaces of the
germs. However, we do not use them as a whole, but we only care about the alternating
part of their homologies because we use an image-computing spectral sequence (icss)
to compute the image Milnor numbers. This is a reason to try to use all the symmetric
structure of the multiple point spaces instead of only their alternating homology. We do
this using the structure of the multiple point spaces (at the moment, in corank one) and
representation theory.
The spirit of this new approach is trying to translate problems of instabilities of germs
into problems of linear algebra. In fact, this attempt is successful when we try to relate
the constancy of µ I and the constancy of µ D in families, where µ D is the double point
Milnor number as given in the first part of the text by µ I ( D 2 (f t ),π ) . In particular, we
prove that the constancy of µ I implies the constancy of µ D in families of corank one
mono-germs.
Furthermore, we prove that any multiple point space of a mono-germ of corank one
that has a singularity will provide alternating homology when we take its Milnor fiber.
This is also a generalization of a theorem given in the first part of the text for families
of germs that admit a one-parameter stable unfolding
