Найдена плотность распределения количества скоропортящейся продукции при непрерывном производстве и релейном управлении ценой продажи

Лившиц, Климентий Исаакович

Ульянова, Екатерина Сергеевна

Russian

Tomsk State University Repository

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙТ. 58, № 11/2 ФИЗИКА 2015УДК 519.865К.И. ЛИВШИЦ, Е.С. УЛЬЯНОВАДИФФУЗИОННАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПРОЦЕССА ПРОИЗВОДСТВА И СБЫТАСКОРОПОРТЯЩЕЙСЯ ПРОДУКЦИИНайдена плотность распределения количества скоропортящейся продукции при непрерывном  производст-ве и релейном управлении ценой продажи.Ключевые слова: скоропортящаяся продукция, плотность распределения, диффузионная аппроксимация.Модели управления запасами с ограниченным сроком годности интенсивно изучаются в по-следние годы. За это время появилось несколько обзорных статей по данной теме, например обзо-ры S.K. Goyal, B.C. Giri [1], M. Bakker, J. Riezebos и R.H. Teunter [2]. Укажем еще на работыV.K. Mishra и L.S. Singh [3, 4], R. Begum, S.K. Sahu, R.R. Sahoo [5, 6], R.P. Tripathi, D. Singh,T. Mishra [7], в которых рассматриваются модели управления запасами, непрерывно портящихся стечением времени, при условии, что спрос на продукцию является известной функцией от време-ни. В работе [8] рассматривается модель управления запасами, где спрос на продукты являетсяизвестной функцией от времени, а процесс ухудшения продукции рассматривается как случайныйс функцией распределения Вейбулла. В статье [9] рассматривается модель управления непрерывнопортящимися запасами, где спрос является известной функцией от цены.1. Математическая модель задачиВ настоящей работе задача поступления (производства) и сбыта скоропортящейся продукциирассматривается при следующих предположениях. Считается, что продукция поступает с посто-янной скоростью С , так что за время t  поступает Ct  единиц продукции. При хранении продук-ция непрерывно портится. Пусть ( )S t  – количество продукции в момент времени t . Тогда потериза малое время t∆  равны ( )kS t t∆ . Будем считать далее, что величины покупок – независимыеслучайные величины с плотностью распределения φ( )x , средним значением { }M x a=  и вторыммоментом { }2 2M x a= . Моменты продаж образуют пуассоновский поток, интенсивность которо-го λ  зависит от цены продажи b . Считается, что интенсивность потока продаж λ  монотонно убы-вает с ростом цены b . Управление продажами осуществляется следующим образом. Вводится по-роговое значение допустимого запаса продукции 0S . При 0( )S t S≤  назначается цена продажи 0b ,при 0( )S t S>  назначается цена продажи 1 0b b< . В соответствии с этим текущая интенсивность по-тока моментов продаж имеет вид0 01 0λ , ,λ( )λ , S S .S SS≤⎧= ⎨ >⎩ (1)Естественно считать, что 0λ 0C a− >  и 1λ 0C a− < . До достижения критического уровня 0S  созда-ется запас продукции, затем начинается ее распродажа. Наконец, возможна ситуация, когда теку-щий спрос не может быть удовлетворен полностью. В этом случае считается, что ( ) 0S t < . Заказыудовлетворяются в порядке их поступления.Обозначим{ }Pr ( )( , ) S S t S dSP S tdS≤ < +=– плотность распределения количества продукции S  в момент времени t .Теорема 1. Если ( , )P S t  дифференцируема по t , ( , )SP S t  дифференцируема по S , то функ-ция ( , )P S t  удовлетворяет прямому уравнению КолмогороваК.И. Лившиц, Е.С. Ульянова282[ ]0( , ) ( ( ) ) ( , ) λ( ) ( , ) λ( ) ( , )φ( ) ,P S t kSI S C P S t S P S t S y P S y t y dyt S∞∂ ∂= − − + + +∂ ∂ ∫  (2)где ( )I S  – единичная ступенчатая функция.Пример. Рассмотрим в качестве примера простейший случай, когда покупки имеют экспо-ненциальное распределение1φ( ) exp SSa a⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ .В стационарном режиме при t →∞   уравнение (2) принимает вид[ ] 11 0λ( ) ( ) λ ( ) ( )e 0, ;S za aSd kS C P S P S e P z dz S SdS a∞ −− − + = >∫  (3)[ ] 000 10 0λ λ( ( ) ) ( ) λ ( ) ( ) ( ) 0, .S z S zSa a a aS Sd kSI S C P S P S e P z e dz e P z e dz S SdS a a∞− −− − + + = −∞ < ≤∫ ∫  (4)Решая уравнения (3) и (4), получим000 1 1λλ 10λ -λ λ 10 0, 0,( ) 1 , 0 ,1 1 , ,C a SCaSk aSk k aBe SkP S B S e S SCk k CB S S e S SC C k−−−⎧⎪ <⎪⎪⎪ ⎛ ⎞= − ≤ ≤⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎪⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − < ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ (5)где постоянная B  определяется из условия нормировки.2. Диффузионная аппроксимация процесса производства и сбытаВ общем случае найти решение уравнения (2) не удается даже в стационарном режиме. По-этому представляет интерес построение приближенных решений уравнения (2).Будем предполагать, что скорость производства C cN= , интенсивности потоков покупок0 0 1 1λ Λ , λ ΛN N= = , порог 0 0S s N= , где 1N? . Рассмотрим поведение решения уравнения (2)при N →∞ . Обозначим 2 1/ Nε = . Введем функцию( , , ) ,SF S t P t⎛ ⎞ε = ⎜ ⎟ε⎝ ⎠ . (6)Рассмотрим вначале область 0.S S>  Уравнение (2) в этой области перепишется в виде[ ]2 1 10( , ,ε)ε Λ ( , ,ε) ε ( ε ) (y, ,ε) ( ε , ,ε)φ( ) .F y t F y t k y c F t F y z t z dzt y∞∂ ∂+ = − + Λ +∂ ∂ ∫  (7)Раскладывая функцию ( ε , ,ε)F y z t+  в ряд Тейлора по первому аргументу и ограничиваясь первы-ми тремя членами разложения, получим[ ] 22 2 221 1 2( , ,ε) ( , ,ε)ε ε ( ε ) ( , ,ε) ε (ε ).2aF y t F y tk y c a F y t ot y y∂ ∂ ∂= − + Λ + Λ +∂ ∂ ∂  (8)Введем новые переменные1, ( ),εt t u y x t= = −  (9)где функцию ( )x t  определим ниже и функцию ( , ,ε)Q u t  соотношением1( , ,ε) ( ), ,εεF y t Q y x t t⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ . (10)Потребуем, чтобы функция ( )x t  удовлетворяла уравнению1( ) ( )x t kx t c a= − + − Λ? . (11)Диффузионная аппроксимация процесса производства и сбыта скоропортящейся продукции 283Тогда для функции ( , , )Q u t ε  будем иметь[ ] 21 2 2( , ,ε) (ε )( , ,ε) ( , ,ε) .2 εaQ u t okuQ u t Q u tt uΛ∂ ∂= + +∂ ∂  (12)Пусть0( , ) lim ( , ,ε)Q u t Q u tε→= . (13)Тогда[ ] 21 2 2( , ) ( , )( , ) .2aQ u t Q u tkuQ u tt u uΛ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂  (14)Соответствующее (14) стохастическое дифференциальное уравнение для процесса ( )u t  имеетвид1 2( ) ( ) ( ),du t ku t dt a dW t= − + Λ  (15)где ( )W t  – стандартный винеровский процесс.Из уравнений (11) и (15), учитывая сделанные замены переменных, будем иметь для процесса2ξ( ) ε ( )t S t=  при ε 1?1 1 2ξ( ) ξ( ) ( ) ε ( ).d t k t dt c a dt a dW t= − + − Λ + Λ  (16)Пусть{ }Pr ξ( )( , ) .t zh z tz∂ <= ∂  (17)Согласно (16), плотность распределения ( , )h z t  будет удовлетворять уравнению[ ] 221 21 2( , ) ( , )( ) ( , ) ε .2ah z t h z tc a kz h z tt z zΛ∂ ∂ ∂= − − Λ − +∂ ∂ ∂  (18)В стационарном режиме получим для плотности распределения( ) lim ( , )th z h z t→∞= ,[ ]2 21 2 12ε ( ) ( ) ( ) 02a d h z d a c kz h zdzdzΛ + Λ − + = , (19)откуда2121 2( )( )a c kza kh z BeΛ − +− Λ ε= . (20)Рассмотрим теперь область 0S S< . Уравнение (2) относительно функции ( , ,ε)F S t  (6) теперьперепишется как[ ]2 0 00( , ,ε)ε ( , ,ε) ε ( ε ( ) ) ( , ,ε) Λ ( ε , ,ε)φ( ) ( ,ε)F y t F y t k yI y c F y t F y z t z dz R yt y∞∂ ∂+ Λ = − + + +∂ ∂ ∫ , (21)где021 0( , ) ( ) ( , , ) ( ) ( ),ySR y F y z t z dz o∞− εε = Λ −Λ + ε ε ϕ = ε∫так как функция ( , , )F y t ε  ограничена и второй момент 2a  существует. Поэтому последнее сла-гаемое в уравнении (21) в дальнейшем не учитывается. Раскладывая  ( , , )F y z t+ ε ε  в ряд Тейлорапо первому аргументу, получим[ ] 22 2 220 0 2( , ,ε) (y, , )( (y) ) ( , , ) ( ).2aF y t F tk yI c a F y t ot y y∂ ∂ ∂ εε = ε ε − + Λ ε + Λ ε + ε∂ ∂ ∂  (22)Рассмотрим область 0y < . Сделав замены (9) и (10) и положив0( )x t c a= − Λ? , (23)получим при 0ε→ для функции (13)К.И. Лившиц, Е.С. Ульянова28420 22( , ) ( , ) .2aQ u t Q u tt uΛ∂ ∂=∂ ∂  (24)Пусть 0y > . Сделав замены (9) и (10) и положив0( ) ( )x t kx t c a= − + − Λ? , (25)получим при 0ε→ для функции (13)[ ] 20 2 2( , ) ( , )( , ) .2aQ u t Q u tkuQ u tt u uΛ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂  (26)Из соотношений (23) – (26) вытекает, что при 1ε?  процесс 2( ) ( )t S tξ = ε  удовлетворяет сто-хастическому дифференциальному уравнению0 0 2( ) ξ( ) ( (t)) ( ) ( ).d t k t I dt c a dt a dW tξ = − ξ + − Λ + Λ ε  (27)Поэтому в стационарном режиме плотность распределения (17) удовлетворяет уравнению[ ]2 20 2 02Λ ε ( ) (Λ ( )) ( ) 0.2a d h z d a c kzI z h zdzdz+ − + =  (28)С учетом граничного условия ( ) 0h −∞ =  в области 0z <  получим020 22( )( )c a zah z De−ΛΛ ε= . (29)В области 00 z s≤ ≤  решение уравнения (28) имеет вид2 20 02 20 2 0 2( ) ( )1 20( ) ( )kx c a kz c azk a k ah z D D e dx e+ −Λ + −Λ− Λ ε Λ ε= + ∫  . (30)В точке 0z =  должны выполняться условия непрерывности (0 0) (0 0), (0 0) (0 0)h h h h′ ′− = + − = + ,так как функция ( )h z  удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка, откуда2 0D =  и 2020 2( )1c aaD D e−ΛΛ ε= .Таким образом, плотность распределения ( )h s  определяется соотношением20 02 20 2 0 22020 22121 2( ) 2( )( )0( )0, 0,( ) ,0 ,, .c a c a sa k aks c aa kks c aa kAe e sh s Ae s sBe s s−Λ −ΛΛ ε Λ ε+ −ΛΛ ε+ −Λ− Λ ε⎧⎪ <⎪⎪⎪= ≤ ≤⎨⎪⎪ >⎪⎪⎩ (31)Связь между постоянными A  и B  определяется далее, во-первых, условием нормировки0000( ) ( ) (s) 1ssh s ds h s ds h ds∞−∞+ + =∫ ∫ ∫ ,и, во-вторых, рассмотрением уравнения (2) при  0S S=  в стационарном режиме, которое в этомслучае принимает вид00 0 0 1 00( , )( ) ( λ ) ( , ) λ ( , )φ( ) 0.P SkS C k P S P S y y dyS∞∂ ∞− + − ∞ + + ∞ =∂ ∫  (32)Заменяя плотность ( , )P S ∞  на ее аппроксимацию (31), получим второе уравнение, связывающеепостоянные A  и B . Для получения окончательных соотношений необходимо, очевидно, задатьявный вид плотности распределения ( )yϕ .Таким образом, в работе найдена плотность распределения количества скоропортящейся про-дукции при релейном управлении интенсивностью продаж и дополнительном предположении отом, что темп производства и интенсивность продаж достаточно велики. Аналогично вышеизло-Диффузионная аппроксимация процесса производства и сбыта скоропортящейся продукции 285женному могут быть исследованы и более сложные алгоритмы управления продажами, напримералгоритм с гистерезисным управлением продажами.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. G o y a l  S . K . ,  G i r i  B . C .  // Eur. J. Operat. Res. – 2001. – V. 134 (1). – P. 1–16.2. B a k k e r  M . ,  R i e z e b o s  J . ,  T e u n t e r  R . H .  // E. J. Operat. Res. –2012. – V. 221. – P. 275–284.3. M i s h r a  V . K .  // J. Industrial Eng. Management. – 2013. – V. 6(2). – P. 495–506.4. M i s h r a  V . K .  // J. Industrial Eng. Management. – 2011. – V. 6(4). – P. 269–271.5. B e g u m  R . ,  S a h u  S . K . ,  S a h o o  R . R .  // British J. Appl. Sci. Technol. – 2012. – V. 2(2). – P. 112–131.6. B e g u m  R . ,  S a h u  S . K .  // Int. J. Inventory Control and Management. – 2012. – V. 2. – No. 2. – P. 257–268.7. T r i p a t h i  R . P . ,  S i n g h  D . ,  M i s h r a  T .  // Int. J. Supply and Operations Management. – 2014. – V. 1. – Iss. 1.–P. 20–37.8. S h a r m a  V . ,  C h a u d h a r y  R .  // Res. J. Management Sci. – 2013. – V. 2(3). – P. 28–30.9. T r i p a t h y  C . K . ,  M i s h r a  U .  // Appl. Mathematical Sci. – 2010. – V. 4. – No. 44. – P. 2171–2179.Национальный исследовательский Томский государственный университет, Поступила в редакцию 14.10.15.г. Томск, РоссияE-mail: kim47@mail.ru; katerina_tomsk@sibmail.com._______________Лившиц Климентий Исаакович, д.т.н., профессор;Ульянова Екатерина Сергеевна, аспирантка.K.I. LIVSHITS, E.S. ULYANOVADIFFUSION APPROXIMATION OF THE PRODUCTION AND SELLING OF PERISHABLEPRODUCTSIn this paper the density distribution of the number of perishable products with continuous production and relaycontrol sales price has been found.Keywords:  perishable products. diffusion approximation, density distribution.REFERENCES1. Goyal S.K., Giri B.C. Recent trends in modeling of deteriorating inventory. European Journal of Operational Research,2001, vol. 134 (1), pp. 1–16.2. Bakker M., J. Riezebos J., Teunter R.H. Review of inventory systems with deterioration since 2001. European Journal ofOperational Research, 2012, vol. 221, pp. 275–284.3. Mishra V.K. An inventory model of instantaneous deteriorating items with controllable deterioration rate for time depend-ent demand and holding cost. Journal of Industrial Engineering and Management, 2013, vol. 6(2), pp. 495–506.4. Mishra V.K. Deteriorating inventory model with time dependent demand and partial backlogging. Journal of IndustrialEngineering and Management, 2011, vol. 6(4), pp. 269–271.5. Begum R., Sahu S.K., Sahoo R.R. An Inventory Model for Deteriorating Items with Quadratic Demand and Partial Back-logging. British Journal of Applied Science & Technology, 2012, vol. 2(2), pp. 112–131.6. Begum R., Sahu S.K. An EOQ model for deteriorating items quadratic demand and shortages. International Journal of In-ventory Control and Management, 2012, vol. 2, no. 2, pp. 257–268.7. Tripathi R.P., Singh D., Mishra T. EOQ model for deteriorating Items with exponential time dependent demand rate underinflation when supplier credit linked to order quantity. International Journal of Supply and Operations Management, 2014,vol. 1, iss. 1, pp. 20–37.8. Sharma V., Chaudhary R. An inventory model for deteriorating items with weibull deterioration with time dependent de-mand and shortages. Research Journal of Management Sciences, 2013, vol. 2(3), pp. 28–30.9. Tripathy C.K., Mishra U. An inventory model for weibull deteriorating items with price dependent demand and time-varying holding cost. Applied Mathematical Sciences, 2010, vol. 4, no. 44, pp. 2171–2179.

Диффузионная аппроксимация процесса производства и сбыта скоропортящейся продукции

http://vital.lib.tsu.ru/vital/access/services/Download/vtls:000553290/SOURCE1

Диффузионная аппроксимация процесса производства и сбыта скоропортящейся продукции

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Tomsk State University Repository