Умножения на смешанных абелевых группах

Abstract

A multiplication on an abelian group G is a homomorphism $$\mu: G\otimes G\rightarrow G$$. An mixed abelian group G is called an MT-group if every multiplication on the torsion part of the group G can be extended  uniquely to a multiplication on G. MT-groups have been studied in many articles on the theory of additive groups of rings, but their complete description has not yet been obtained. In this paper, a pure fully invariant subgroup $$G^*_\Lambda$$ is considered for an abelian MT-group G. One of the main properties of this subgroup is that $$\bigcap\limits_{p \in \Lambda (G)}pG^*_\Lambda$$ is a nil-ideal in every ring with the additive group G (here $$\Lambda (G)$$ is the set of all primes p, for which the p-primary component of G is non-zero). It is shown that for every MT-group G either $$G=G^*_\Lambda$$ or the quotient group $$G/G^*_\Lambda$$ is uncountable.Умножение на абелевой группе G - это гомоморфизм $$\mu: G\otimes G\rightarrow G$$. Абелева группа G называется MT-группой, если любое умноженеие на ее периодической части однозначно продолжается до умножения на G. MT-группы изучались во многих работах по теории аддитивных групп колец, но вопрос об их строении остается открытым. В настоящней работе для MT-группы G рассматривается сервантная вполне характеристическая подгруппа $$G^*_\Lambda$$, одно из основных свойств которой заключается в том, что  подгруппа $$\bigcap\limits_{p \in \Lambda (G)}pG^*_\Lambda$$ является ниль-идеалом в любом кольце с аддитивной группой G (здесь $$\Lambda(G)$$ - множество всех простых чисел p, для которых p-примарная компонента группы G отлична от нуля). Показано, что для любой MT-группы G либо $$G=G^*_\Lambda$$, либо факторгруппа $$G/G^*_\Lambda$$ несчетна