El objetivo de esta tesis doctoral es dar a conocer los resultados obtenidos sobre existencia, unicidad y regularidad de las soluciones de diferentes ecuaciones elípticas regidas por el operador 1-laplaciano.
El primer capítulo está dedicado al estudio de la ecuación
- div (Du/|Du|) + g(u) |Du| = f(x)
en un subconjunto abierto y acotado U de R^N con frontera Lipschitz, con la condición de Dirichlet u=0 en la frontera, tomando una función f positiva y siendo g una función real, continua y positiva. Por un lado, obtenemos soluciones no acotadas cuando el dato f pertenece al espacio de Marcinkiewicz L^{N,\infty}(U), por lo que debemos introducir la definición apropiada para este tipo de soluciones. Por otro lado, mostramos diferentes resultados de existencia, unicidad y regularidad de solución dependiendo de las propiedades de la función g.
El capítulo 2 está dedicado al estudio de la ecuación anterior tomando una función constante g igual a 1 y como dato f, una función positiva del espacio de Lebesgue L^1(U). Hemos probado la existencia de solución y un principio de comparación. Además, también hemos visto la regularidad de las soluciones cuando el dato es del espacio L^q(U) con 1<q<N.
Finalmente, en el último capítulo trabajamos con un problema de evolución. Siendo L un parámetro positivo, estudiamos la ecuación
L u - div(Du/|Du|) = 0
con condiciones dinámicas de frontera. Utilizando la teoría de semigrupos no lineales obtenemos una mild solutio o solución en el sentido de semigrupos y probamos que esta solución es, de hecho, una solución fuerte del problema. Además también probamos un principio de comparación y un resultado que muestra que la distancia entre las soluciones depende de la distancia entre los datos.This PhD thesis is devoted to the study of the existence, uniqueness and regularity of solutions of some elliptic equations involving the 1-Laplacian operator.
In Chapter 1 we focus on the study of the equation
- div (Du/|Du|) + g(u) |Du| = f(x)
in a bounded open set U in R^N with Lipschitz boundary with the Dirichlet condition u=0 on the boundary, where the datum f denotes a nonnegative function and g is a nonnegative continuous real function. On the one hand, we deal with unbounded solutions when datum f belongs to the Marcinkiewicz space L^{N,\infty}(U), so we have to introduce the suitable concept of this kind of solutions. On the other hand, we show different results concerning existence, uniqueness or regularity of the solutions depending on the properties of function g.
Chapter 2 is devoted to study the previous equation when we take a constant function g equal to 1 and nonnegative data f in the Lebesgue space L^1(U). We prove an existence result and a comparison principle. Moreover, we seek the optimal summability of the solution when L^q-data, with 1<q<N, are considered.
Finally, in Chapter 3 we deal with an evolution problem. If L is a positive parameter, we study equation
L u - div(Du/|Du|) = 0
with dynamical boundary conditions. Applying nonlinear semigroup theory we obtain a mild solution to the problem and we prove that this is, in fact, a strong solution. We also prove a comparison principle and a result which shows that the distance between the solutions depends on the distance between the data
