U članku uvodimo definiciju asocijativne superalgebre, osnovna svojstva, te dajemo neke primjere.In this article we introduce the denition of associative superalgebras, basic characteristics, and give some examples

Fošner, Ajda

Fošner, Maja

Repository of University of Primorska

O superalgebrahAjda FosˇnerUniverza na PrimorskemFakulteta za management KoperCankarjeva 56104 KoperSlovenijaajda.fosner@fm-kp.siMaja FosˇnerUniverza v MariboruFakulteta za logistikoMariborska cesta 23000 CeljeSlovenijamaja.fosner@uni-mb.siPovzetek: V cˇlanku bomo predstavili definicijo asociativne superalgebre, os-novne lastnosti in podali nekaj primerov.Abstract: In this article we introduce the definition of associative superalgebras,basic characteristics, and give some examples.2000 Math. Subj. Class.: 17A70.1 UvodV moderni literaturi je veliko pozornosti posvecˇeno tako imenovanim superalge-bram. Kac je v enem izmed svojih cˇlankov [11] zapisal, da se je zanimanje zasuperalgebre pojavilo v fiziki v kontekstu ’supersimetrij’. Do sedaj so na tem po-drocˇju veliko prispevali Kac, Martinez, Zelmanov, Wall, Shestakov in drugi (glejnpr. [6, 7, 8, 10, 12, 13, 14]). Glavni namen tega cˇlanka je predstaviti definicijoasociativnih superalgeber, osnovne primere ter nekaj lastnosti.Pod besedo algebra bomo v nadaljevanju razumeli, da gre za asociativno algebronad poljem Φ. Predpostavili bomo, da poznamo osnovne pojme kot so algebra,moduli, ideali. Seveda pa na zacˇetku zapiˇsimo nekaj osnovnih pojmov na po-drocˇju algebre. Algebra A je enostavna, cˇe je A2 6= 0 in sta 0 in A njena edinaideala. Pravimo, da je algebra A praalgebra, cˇe je produkt dveh njenih nenicˇelnihidealov vselej razlicˇen od nicˇ. Izkazˇe se, da je algebra A praalgebra natanko tedaj,ko iz aAb = 0, kjer sta a in b elementa algebre A, sledi, da je a = 0 ali b = 0.Primer praalgebre je Mn(C), algebra n × n kompleksnih matrik. Algebra A jepolpraalgebra, cˇe ne vsebuje nenicˇelnih nilpotentnih idealov (ideal I algebre A je1nilpotenten, cˇe je In = 0 za neko naravno sˇtevilo n). Algebra A je polpraalgebranatanko tedaj, ko iz aAa = 0, kjer je a ∈ A, sledi, da je a = 0. Vsaka praalgebraje tudi polpraalgebra. Obratno ni nujno res. Namrecˇ, cˇe je 0 6= A praalgebra,potem je A×A polpraalgebra, ki ni praalgebra.2 SuperalgebraDragi bralci, v nadaljevanju vas vabimo v svet superalgeber. Predstavili bomonajosnovnejˇse pojme in podali primere asociativnih superalgeber.SuperalgebraA nad poljem Φ je Z2-gradirana (neasociativna) algebra. To pomeni,da obstajata taka Φ-podmodula A0 in A1 algebre A, da je A = A0 ⊕A1 in veljaA0A0 ⊆ A0 (to pomeni, da je A0 podalgebra algebre A), A0A1 ⊆ A1, A1A0 ⊆ A1ter A1A1 ⊆ A0. Pravimo, da je A0 sodi del, A1 pa lihi del superalgebre A.Asociativna superalgebra A je asociativna Z2-gradirana algebra. Pravimo, da jeA trivialna superalgebra, cˇe je A1 = 0. Elementu a ∈ Ak, kjer je k = 0 ali k = 1,pravimo homogen element stopnje k in piˇsemo |a| = k.Gradiran Φ-podmodul B asociativne superalgebre A je tak podmodul algebre A,da jeB = B ∩ A0 ⊕ B ∩A1.V takem primeru piˇsemo B0 = B ∩ A0 ter B1 = B ∩ A1. To pomeni, da jeB = B0 ⊕ B1. Cˇe je B gradirana podalgebra A, je potem B tudi asociativnasuperalgebra. Gradiran ideal (ali superideal) I superalgebre A je ideal algebreA, ki je hkrati gradiran Φ-podmodul. Torej je I = I ∩ A0 ⊕ I ∩ A1 oziromaI = I0 ⊕ I1.Ustavimo se pri gradaciji. Kako dolocˇimo Z2-gradacijo? Za superalgebro A jedana Z2-gradacija ekvivalentna obstoju takega avtomorfizma σ algebre A, daje σ2 = id. V primeru, ko je tak avtomorfizem σ definiran na algebri A, jeZ2-gradacija algebre A definirana s sodim delomA0 = {x ∈ A | xσ = x}in lihim delomA1 = {x ∈ A | xσ = −x}.Namrecˇ, vsak element x ∈ A lahko zapiˇsemo kot x = 12(x+xσ)+ 12(x−xσ), kjer jex+xσ ∈ A0 in x−xσ ∈ A1. Velja tudi obratno, cˇe je A = A0⊕A1 superalgebra,2definiramo avtomorfizem σ algebre A s predpisom xσ0 = x0 in xσ1 = −x1, kjer stax0 ∈ A0 ter x1 ∈ A1.Podmodul B superalgebre A je gradiran natanko tedaj, ko je Bσ = B. Cen-ter Z(A) superalgebre A naj bo obicˇajni center algebre A, torej Z(A) = {a ∈A | ab = ba ∀b ∈ A}. Ker avtomorfizem ohranja center, je le ta gradiran. Topomeni, da je Z(A) = Z(A)0 ⊕Z(A)1.V nadaljevanju bomo podali nekaj primerov asociativnih superalgeber.Primer 1 Naj bo A algebra in c ∈ A obrnljiv element. Nadalje, naj bo σavtomorfizem algebre A definiran s predpisom xσ = cxc−1 za vsak x ∈ A. Kajhitro vidimo, da je σ2 = id natanko tedaj, ko je c2 ∈ Z(A). Torej je A = A0⊕A1superalgebra, pri cˇemer je sodi del algebre A0 = {x ∈ A | xc = cx}, lihi del paA1 = {x ∈ A | xc = −cx}.Posebej si poglejmo primer, ko je A = Mr+s(Φ), algebra (r+ s)× (r+ s) matriknad Φ, r, s ∈ N. Za element c lahko izberemo matriko oblike[Ir 00 −Is], kjer jeIr identicˇna matrika algebre Mr(Φ), Is identicˇna matrika algebre Ms(Φ). Potemsta sodi in lihi del podana kotA0 =[Mr(Φ) 00 Ms(Φ)]in A1 =[0 Mr,s(Φ)Ms,r(Φ) 0],pri cˇemer Mr,s(Φ) oznacˇuje mnozˇico matrik velikosti r× s. Ta algebra je asocia-tivna superalgebra in jo obicˇajno oznacˇujemo s simbolom M(r|s).Primer 2 Naj bo A algebra nad Φ in naj bo A = A × A. Nadalje, naj bona algebri A definiran avtomorfizmom σ s predpisom σ(a, b) = (b, a), a, b ∈ A.Potem je A = A0 ⊕ A1, pri cˇemer je sodi del A0 = {(a, a) | a ∈ A} in lihi delA1 = {(b,−b) | b ∈ A}. Izkazˇe se, da je A ∼= {[C DD C]| C,D ∈ A},A0 ∼= {[C 00 C]| C ∈ A} in A1 ∼= {[0 DD 0]| D ∈ A}.V tem primeru pravimo, da je superalgebra A porojena z avtomorfizmom zamen-jave.Primer 3 Naj bo A = Q(α, β) 4-dimenzionalna algebra nad poljem Φ z bazo{1, uv, u, v} in naj bo mnozˇenje definirano s predpisom u2 = α ∈ Φ, v2 = β ∈ Φ,uv = −vu. V posebnem primeru je A algebra kvaternionov nad R. Oznacˇimo zA0 = Φ1+Φuv in A1 = Φu+Φv. Potem je A = A0⊕A1 asociativna superalgebra,ki jo imenujemo superalgebra kvaternionov.3Sedaj, ko smo spoznali definicijo superalgebre in osnovne primere, zapiˇsimo sˇenekaj osnovnih pojmov na tem obravnavanem podrocˇju. Asociativna superal-gebra A je enostavna, cˇe nima pravih nenicˇelnih gradiranih idealov. Ob temvelja omeniti, da to sˇe ne pomeni, da je superalgebra A enostavna tudi kot alge-bra. Cˇe je produkt poljubnih dveh nenicˇelnih gradiranih idealov superalgebre Anenicˇeln, je A pra-superalgebra in je polpra-superalgebra, cˇe ne vsebuje nenicˇelnihnilpotentnih gradiranih idealov. Izkazˇe se, da je asociativna superalgebra A pra-superalgebra natanko tedaj, ko iz enakosti aAb = 0, kjer je vsaj eden izmedelementov a, b ∈ A homogen, sledi a = 0 ali b = 0.Naj bo A pra-superalgebra. Ob tem se zastavi vprasˇanje, ali sta potem algebriA in A0 tudi praalgebri. Izkazˇe se, da odgovor na zastavljeno vprasˇanje ni vednopritrdilen. To dokazujeta naslednja dva primera.Primer 4 Naj bo A praalgebra nad poljem Φ in naj bo A = A×A superalgebraz gradacijo kot v primeru 2. Ta algebra je pra-superalgebra (produkt poljubnihdveh nenicˇelnih gradiranih idealov je nenicˇeln), ki pa ocˇitno ni praalgebra, saj je(0×A)(A× 0) = 0.Primer 5 Superalgebra M(r|s) je pra-superalgebra. MnozˇiciI = {[C 00 0]| C ∈Mr(F)} in J = {[0 00 D]| D ∈Ms(F)}sta nenicˇelna ideala algebre M(r|s)0, katerih produkt je nicˇ. Torej algebraM(r|s)0 ni praalgebra.Odgovor na prej zastavljeno vprasˇanje o povezavi med pra-superalgebro (oziromapolpra-superalgebro) A in praalgebrama (oziroma polpraalgebrama) A ter A0 je:Cˇe je A asociativna polpra-superalgebra, potem sta A in A0 polpraalgebri. Vprimeru, da je A asociativna pra-superalgebra, potem je bodisi A praalgebrabodisi A0 praalgebra. Dokaz teh dveh rezultatov najdemo v cˇlanku [12].3 ZakljucˇekOb pojmu superalgebre se naravno porajajo vprasˇanja, kako posplosˇiti nekatereklasicˇne strukturne izreke, ki veljajo za algebre, na superalgebre. Dotaknimo senekoliko ozadja problemov. Na primer: Naj bo A asociativna algebra. Cˇe v Avpeljemo t.i. jordanski produkt s predpisom a ◦ b = ab+ ba, A postane jordanskaalgebra, ki jo navadno oznacˇujemo s simbolom A+. Ob tem se zastavlja vprasˇanje4povezave med strukturnimi znacˇilnostmi algeber A in A+ (npr. vsak ideal algebreA je ideal algebre A+, ali velja tudi obratno?). Tovrstna vprasˇanja je obravnavalzˇe Herstein v petdesetih letih prejˇsnjega stoletja (glej npr. [9]). Omejil se jepredvsem na sˇtudij enostavnih algeber. Kasneje je bila njegova teorija na razlicˇnenacˇine posplosˇena. Na tem podrocˇju so rezultate prispevali Lanski, Martindale,McCrimmon, Miers, Montgomery in sˇtevilni drugi. Z definiranjem superalgeberlahko na podoben nacˇin vpeljemo jordanske superalgebre. In kaksˇna je povezavamed strukturo superalgebre in prirejene jordanske superalgebre? Nekaj primerovobravnave tovrstnih vprasˇanj najdemo na primer v cˇlankih [1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12].Na koncu naj omenimo, da lahko pojem superalgebre razsˇirimo na G-gradirane al-gebre, kjer je G Abelova grupa. Algebra je G-gradirana, cˇe obstajajo taki podpros-tori Ag, g ∈ G, algebre A, da je A = ⊕g∈GAg in AgAh ⊆ Agh za vsaka g, h ∈ G.Superagebre so torej poseben primer G-gradiranih algeber. V tem primeru jeG = Z2. V G-gradiranih algebrah na naraven nacˇin definiramo strukture kot somoduli, ideali, gradirane praalgebre . . . In tukaj so novi odprti problemi.Literatura[1] K. I. Beidar, M. Bresˇar, M. A. Chebotar, Jordan superhomomorphisms,Comm. Algebra 31 (2003), 633–644.[2] M. Bresˇar, A. Fosˇner, M. Fosˇner, Jordan ideals revisited, Monatsh.Math., 1 (2005), 1–10.[3] M. Fosˇner, Jordan superderivations, Comm. Algebra 31 (2003), 4533–4545.[4] M. Fosˇner, Jordans superderivations, II, Internat. J. Math. Math. Sci.2004 (2004), 2357–2369.[5] M. Fosˇner, On the extended centroid of prime associative superalgebraswith applications to superderivations, Comm. Algebra 32 (2004), 689–705.[6] C. Go´mez-Ambrosi, J. Laliena, I. P. Shestakov, On the Lie structure ofthe skew elements of a prime superalgebra with superinvolution, Comm.Algebra 2 (2000), 3277–3291.[7] C. Go´mez-Ambrosi, F. Montaner, On Herstein’s constructions relatingJordan and associative superalgebras, Comm. Algebra 28 (2000), 3743–3762.5[8] C. Go´mez-Ambrosi, I. P. Shestakov, On the Lie structure of the skewelements of a simple superalgebra with superinvolution, J. Algebra 208(1998), 43–71.[9] I. N. Herstein, Topics in ring theory, The University of Chicago Press,Chicago 1969.[10] V. G. Kac, Classification of simple Z-graded Lie superalgebras and sim-ple Jordan superalgebras, Comm. Algebra 13 (1977), 1375–1400.[11] V. G. Kac, Lie superalgebras, Advances in mathematics 26 (1977), 8–96.[12] F. Montaner, On the Lie structure of associative superalgebras, Comm.Algebra 26 (1998), 2337–2349.[13] S. Montgomery, Constructing simple Lie superalgebras from associativegraded algebras, J. Algebra 195 (1997), 558–579.[14] I. P. Shestakov, Prime alternative superalgebras of arbitrary character-istic, Algebra and logic 36 (1997), 389–420.6

O superalgebrama

http://e.math.hr/sites/default/files/br15/fosner_fosner_slo.pdf

O superalgebrama

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository of University of Primorska