Universidad de Málaga. Campus de Excelencia Internacional Andalucía Tech

Vercher, Enriqueta

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Repositorio Institucional de la Universidad de Málaga

Selección de carteras: modelos y algoritmos

Repositorio Institucional Universidad de Málaga

El problema de selección de carteras:modelos y algoritmosEnriqueta Vercher GonzálezDepartamento de Estadística e Investigación Operativa.Universitat de ValènciaFacultad de CC. Económicas y Empresariales.Universidad de Málaga4 de Noviembre de 2016Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016El problema de selección de carterasPreliminaresEl problema de seleccionar una cartera de inversión tiene como objetivodeterminar qué cantidad hemos de invertir en cada activo de manerasatisfactoria para el inversor, teniendo en cuenta la incertidumbreasociada al comportamiento de los mercados financieros.La primera formulación matemática del problema de seleccionar unacartera se debe a Harry Markowitz, quien en 1952 estableció que:Selección de una carteraEl proceso de seleccionar una cartera puede ser dividido en dos fases. Laprimera etapa comienza con la observación y la experiencia, y concluye conlas estimaciones (convicciones) sobre el futuro comportamiento de losactivos disponibles. La segunda etapa comienza con la información relevantede la primera etapa acerca del rendimiento futuro y finaliza con la elección dela cartera.Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016Selección de carteras basadas en conjuntos fuzzy Incertidumbre del rendimiento de la inversiónNúmeros fuzzy y distribución de posibilidadDada una cartera X = (x1, x2, ...xN), la lógica fuzzy permite también modelizar laincertidumbre del rendimiento mediante cantidades fuzzy o distribuciones deposibilidad/credibilidad. Alternativamente:La incertidumbre del rendimiento del activo j-ésimo puede modelarse, porejemplo, mediante números fuzzy de tipo LR, R˜j = (alj , auj , cj , dj)LR paraj = 1, 2, . . . ,N, y el rendimiento total de la cartera como combinación de losrendimientos de los activos individuales:R˜P(x) =N∑j=1xj R˜j ,La incertidumbre del rendimiento de la cartera X puede aproximarsedirectamente mediante una cantidad fuzzy, PX , que incorpore la relacióncontemporánea que guardan entre si los rendimientos de los N activosmediante una única función de pertenencia.Dado que un número fuzzy induce una distribución de posibilidad que coincidecon su función de pertenencia (Zadeh’78), podemos estimar los valoresesperados de rendimiento y riesgo de una cartera mediante los momentosposibilísticos de R˜P(x) o de PX , respectivamente. También podemos aproximaruna distribución de credibilidad a los datos históricos.Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016Selección de carteras basadas en conjuntos fuzzy Incertidumbre del rendimiento de la inversiónOptimización lineal semi-infinitaPara rendimientos fuzzy LR con funciones de referencia tipo potencia, R˜j , y un nivelesperado de rendimiento trapezoidal R˜f , el modelo (FMDR) tiene una estructurasemi-infinita:Modelo de PSIL(FMDR) Min∑Nj=1(Bj − Aj + sAjpjpj+1+ sBjqjqj+1)xjs.a.∑Nj=1(Aj − sAj(1− α)1pj )xj ≥ Rl − c0(1− α) α ∈ [h, 1]∑Nj=1(Bj + sBj(1− α)1qj )xj ≥ Ru + d0(1− α) α ∈ [h, 1]∑Nj=1 xj = 10 ≤ xj ≤ ujEl cumplimiento de la restricción fuzzy se controla mediante el valor deh ∈ [0, 1], permitiendo la incorporación de la opinión del inversor.El conjunto factible de este problema es acotado y su resolución se alcanzaaplicando condiciones de optimalidad KKT bajo la cualificación de restricccionesde Slater para programación semi-infinita lineal (Vercher’08).Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016Modelos de selección con múltiples objetivosRendimiento fuzzy de una carteraRendimiento fuzzy de una cartera: PXDada una cartera X = (x1, x2, ..., xN) se calculan los rendimientos históricos, {rt (X)}Tt=1:rt (X) =N∑j=1rjt xjdonde el rendimiento rjt del activo j-ésimo se calcula como rjt =pj(t+1)−pjtpjt, siendo pjt el preciodel activo j en el periodo t . La incertidumbre sobre el rendimiento se modeliza mediante unnúmero fuzzy de tipo LR: PX = (pl , pu , c, d)LpiRρ .En lugar de agregar las incertidumbres individuales de los activos, aproximamosdirectamente la incertidumbre del rendimiento de la cartera.Los rendimientos rt (X) incorporan información implícita sobre las relacionescontemporáneas entre los diferentes activos (Bermúdez et al ’07).Los valores de los momentos de la distribución de posibilidad no son parámetrosconocidos en el problema de optimización, alternativamente se evalúan una vez conocidoslas valores de la variable de decisión X .Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016Modelos de selección con múltiples objetivos Modelos posibilísticos con múltiples objetivosAlgoritmo genético para el modelo CCMDREl algoritmo genético trabaja con carteras factibles e incorpora un criterio dedominancia. Maneja dos poblaciones: la actual siempre del mismo tamaño M, y elconjunto de soluciones no-dominadas que puede tener diferentes tamaños. Cadanueva generación contiene todas las soluciones no dominadas de la generaciónanterior.Aplica una estrategia elitista, selecciona las carteras más cercanas a la fronterasuperior a las que aplica un operador mutación aleatorio (con pesosproporcionados por un procedimiento de aprendizaje).Operador de mutación aleatorio-ponderado. Para las carteras de la élite semodifican ligeramente las proporciones asociadas a dos activos, xi > 0 y xj ≥ 0.El activo i se selecciona aleatoriamente, la probabilidad de selección de jdepende del número medio de veces en que haya sido seleccionado en la éliteen generaciones anteriores. En el nuevo individuo, las proporciones son:x′i = xi − p0 y x′j = xj + p0, con p0 tal que se mantienen la cardinalidad y lafactibilidad. Se aplica un número determinado de veces en cada cartera de laélite.El algoritmo para si la distancia entre dos fronteras superiores sucesivas esmenor que una constante, o si llega al máximo de generaciones permitido.Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016Modelos de selección con múltiples objetivos Algoritmos evolutivos para el modelo MDRSModelo de media-riesgo lateral-asimetría (MDRS)Se incorpora un tercer objetivo (coeficiente de asimetría) cuando los rendimientos no estánsimétricamente distribuidos alrededor de la media. La formulación matemática del modelo es(Vercher|Bermúdez’13):(MDRS) max E˜(PX ) = pu+pl2 +d2ρρ+1 − c2 pipi+1min w˜(PX ) = pu − pl + d ρρ+1 + c pipi+1max S(PX ) =µ3(PX )w(PX )3s.a.∑Nj=1 xj = 10 ≤ lj ≤ xj ≤ uj j = 1, ...NKl ≤ c(X ) ≤ KuSe ha resuelto parcialmente este problema mediante el genético anterior para dosproblemas bi-objetivo (DRSM ) y (MDRS), en donde el tercer objetivo se incorporaba almodelo como restricción con una cota inferior.Para aproximar el frente óptimo de Pareto del modelo MDRS se han utilizado tresalgoritmos evolutivos: NSGA-II (Deb et al|02), MOEA/D (Zhang|Li’07) y Global WASF-GA(Ruiz|Saborido|Luque’16).Se han adaptado operadores de mutación, recombinación y reparación para mantener lafactibilidad de las soluciones generadas por los algoritmos EMO (Saborido et al’16).Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016Modelos de selección con múltiples objetivos Algoritmos evolutivos para el modelo MDRSMétrica CLa comparación de los valores medios de la métrica C alcanzados entre las aproximacionesencontradas por las versiones clásicas de los métodos y las que utilizan los nuevos operadores,para las 50 ejecuciones, son:C(NSGA-IINuevo ,NSGA-II)=100C(GWASF-GANuevo ,GWASF-GA)=100C(MOEA/DNuevo , MOEA/D)=39.125 y C(MOEA/D, MOEA/DNuevo)=4.394 (test t: p-valor< 10−10)Comparación de los valores medios de la métrica C alcanzados entre las aproximacionesencontradas por las nuevas versiones de los algoritmos: NSGAIINuevo , MOEA/DNuevo yGWASF-GANuevo .C(A,B) NSGAIINuevo MOEA/DNuevo GWASF-GANuevoNSGAIINuevo – 21.236 31.327MOEA/DNuevo 25.999 – 28.571GWASF-GANuevo 14.884 11.020 –Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016Modelos de selección con múltiples objetivos Algoritmos evolutivos para el modelo MDRSHipervolumenDiagrama de caja del hipervolumen (HV ) alcanzado en las 50 ejecuciones de los tresprocedimientos (NSGAII, MOEA/D y GWASF-GA), con los operadores clásicos y conlos nuevos operadores propuestos.0.20.30.40.50.6NSGAIINewOp NSGAII MOEA/DNewOp MOEA/D GWASF−GANewOp GWASF−GASelección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016Modelos de selección con múltiples objetivos Algoritmos evolutivos para el modelo MDRSHipervolumenComparaciones dos a dos de los hipervolúmenes medios,según el algoritmo utilizado.Algoritmo Oper. clásicos Oper. nuevos p-valorMedia D. típica Media D. típicaNSGAII 0.198 0.016 0.572 0.015 < 2.2e − 16MOEA/D 0.369 0.056 0.529 0.028 < 2.2e − 16GWASF-GA 0.182 0.014 0.588 0.015 < 2.2e − 16La comparación de los HV medios obtenidos con los operadores nuevos mediante un testANOVA (asumiendo homogeneidad de varianzas), presentan diferencias estadísticamentesignificativas (pv< 2.2e − 16). Las comparaciones múltiples dos a dos:NSGAIINuevo MOEA/DNuevoMOEA/DNuevo <1.0e − 5GWASF-GANuevo 2.0e − 4 <1.0e − 5Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016ConclusionesConclusionesPara la primera fase del problema de selección de carteras, hemos propuesto:Considerar los rendimientos de cada cartera como conjunto de datos histórico,en lugar de considerar la agregación de la incertidumbre de los rendimientos delos activos individualmente.Aproximar la incertidumbre del rendimiento de una cartera dada mediantenúmeros fuzzy de tipo LR, con funciones de referencia de la familia depotencias, cuyos parámetros se obtienen a partir de los percentiles muestrales.En cuanto a la fase de selección de carteras óptimas, proponemos:Aplicar algoritmos evolutivos (adaptados con nuevos operadores) para obtenerla frontera de Pareto del problema de selección de carteras con restricción decardinalidad, independientemente del procedimiento que haya sido utilizadopara obtener la información en la primera fase.Proporcionar carteras eficientes que cumplen con los requisitos impuestos porel inversor, clasificadas según su perfil de aversión al riesgo.Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016

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