A circuit property of symmetrical lattice networks
is derived and applied to the analysis of symmetrical twoport
electromagnetic structures. This property is related to the
independence of the power dissipation in the series and cross impedances
of the lattice network and the consequent independence
in the power dissipated under even and odd excitation in the twoport
structure. Its utility is illustrated with its application to a
planar radiating element, the so-called complementary strip-slot.
This property allows identifying the cause of the losses in the
analysed example and explains the radiation origin.Universidad de Málaga. Campus de Excelencia Internacional Andalucía Tech

Abdo-Sánchez, Elena

Camacho-Peñalosa, Carlos

Esteban Marzo, Jaime

Martin-Guerrero, Teresa Maria

Spanish

Abdo-Sánchez, María Elena

Repositorio Institucional Universidad de Málaga

Disipacio´n de potencia en redes en celosı´a: laradiacio´n del strip-slot complementarioElena Abdo-Sa´nchez(1), Teresa M. Martı´n-Guerrero(1), Jaime Esteban(2) y Carlos Camacho-Pen˜alosa(1).elenaabdo@ic.uma.es, teresa@ic.uma.es, jesteban@etc.upm.es, ccp@ic.uma.es.(1)Universidad de Ma´laga, Andalucı´a Tech, Dpto. Ingenierı´a de Comunicaciones, Campus de Teatinos s/n, 29071 Ma´laga.(2)Universidad Polite´cnica de Madrid, Dpto. Sen˜ales, Sistemas y Radiocomunicaciones, Avda. Complutense 30, 28040 Madrid.Abstract— A circuit property of symmetrical lattice networksis derived and applied to the analysis of symmetrical two-port electromagnetic structures. This property is related to theindependence of the power dissipation in the series and cross im-pedances of the lattice network and the consequent independencein the power dissipated under even and odd excitation in the two-port structure. Its utility is illustrated with its application to aplanar radiating element, the so-called complementary strip-slot.This property allows identifying the cause of the losses in theanalysed example and explains the radiation origin.I. INTRODUCCIO´NLas redes en celosı´a son tema de estudio en circuitos decomunicaciones [1]. Aunque en microondas es habitual el usode estructuras en T o en Π como modelos circuitales, las redesen celosı´a han demostrado ser una opcio´n ma´s apropiada enmuchos casos, especialmente cuando se trata de estructurasque presentan geometrı´a y puertos de excitacio´n sime´tricos[2]–[5]. Lo que da ventaja a las redes en celosı´a sobre las ma´sconvencionales T y Π es que la celosı´a equivalente de una redde dos puertos es siempre realizable, cosa que no ocurre conla T o la Π en las que pueden aparecer elementos negativossin sentido fı´sico, tal y como se ilustra en [5]. Esta propiedadde las redes en celosı´a se ha aprovechado en ejemplos comolos presentados en [2], [3], donde se utilizan para modelaruna guı´a rectangular con postes diele´ctricos y con pe´rdidas;en [4] para modelar secciones de lı´neas acopladas o en [5]para modelar componentes y discontinuidades en lı´neas detransmisio´n sime´tricas.En esta contribucio´n se deduce una propiedad de las redesen celosı´a doblemente terminadas (excitadas con generadorreal y cargadas). La propiedad establece la independencia de lapotencia disipada en cada una de las ramas de la celosı´a (ramaserie y rama cruzada) bajo ciertas condiciones. Por tanto, sepresenta el estudio de la potencia disipada en redes en celosı´adoblemente terminadas y se deducen las condiciones que hande cumplir dichas redes para que las potencias disipadas en lasramas sean independientes. El resultado se aplica al estudio deun elemento radiante planar (denominado en la literatura strip-slot complementario [6]) cuyo circuito equivalente o´ptimo hademostrado ser una red en celosı´a. La independencia de lapotencia disipada en cada rama simplifica notablemente elca´lculo de la disipacio´n de potencia en este elemento radiante.Dado que cada rama se corresponde, esencialmente, con elstrip o tira (rama cruzada) y con el slot o ranura (rama serie),respectivamente, dicha independencia permite, a su vez, identi-ficar el origen fı´sico de las pe´rdidas en el elemento, y entenderde que´ manera radia. Hasta donde conocen los autores, estapropiedad exclusiva de las redes en celosı´a sime´tricas no hasido tratada antes explı´citamente en la literatura por parte deotros autores ni se ha utilizado, hasta ahora, para el estudiode estructuras electromagne´ticas.II. DISIPACIO´N DE POTENCIA EN REDES EN CELOSI´ASIME´TRICASConsideremos una red en celosı´a sime´trica doblementeterminada. La simetrı´a viene dada porque las dos ramas serieson iguales y lo mismo ocurre con las dos ramas cruzadas.La Figura 1a ilustra este bipuerto. El ca´lculo de la potenciadisipada en cada una de las ramas pasa por el ana´lisis del cir-cuito, que puede hacerse utilizando te´cnicas convencionales deana´lisis por mallas. Para hacer este ana´lisis resulta apropiadoreorganizar el circuito como muestra la Figura 1b.Zg ZaZaZb Zb ZLVg(a) Red en celosı´aZbVgZaZgZLI1I2ZbZa I3(b) Red en puenteFig. 1. Red en celosı´a sime´trica terminada.La ecuacio´n matricial siguiente permite calcular las corrien-tes en cada una de las mallas del circuito:ZΣG −Zb −Za−Zb ZΣL −ZL−Za −ZL ZΣLI1I2I3 =Vg00 (1)donde se han definido ZΣG = ZG + Za + Zb y ZΣL = ZL +Za + Zb.La potencia disipada en cada una de las ramas viene dadapor las expresionesPa =12|I2|2 Re [Za] (2a)Pb =12|I3|2 Re [Zb] . (2b)Despejando en (1) para I2 e I3 se obtieneI2 =Vg (ZL + Zb)ZL Za + ZL Zb + 2ZL Zg + 2Za Zb + Za Zg + Zb Zg(3a)I3 =Vg (ZL + Za)ZL Za + ZL Zb + 2ZL Zg + 2Za Zb + Za Zg + Zb Zg.(3b)Y, por tanto, las potencias disipadas resultantes sonPa =Re [Za] |Vg (ZL + Zb)|22 |ZL Za + ZL Zb + 2ZL Zg + 2Za Zb + Za Zg + Zb Zg|2(4a)Pb =2Re [Zb] |Vg (ZL + Za)|22 |ZL Za + ZL Zb + 2ZL Zg + 2Za Zb + Za Zg + Zb Zg|2 .(4b)Como puede comprobarse, en condiciones generales, lared en celosı´a no presenta independencia en las potenciasdisipadas en ambas ramas. En el siguiente apartado se estudianlas condiciones en las que esta independencia aparece.III. CONDICIO´N PARA LA INDEPENDENCIA DE LADISIPACIO´N DE POTENCIA EN REDES EN CELOSI´APuede comprobarse de forma inmediata que la igualdadentre las impedancias de carga y del generador (Zg = ZL)conduce a una simplificacio´n notable en las expresiones cal-culadas en el apartado anterior. En efecto, en este caso, lascorrientes se pueden escribir comoI2 =Vg2(Za + Zg)(5a)I3 =Vg2(Zb + Zg). (5b)Resulta ya evidente en el resultado de las corrientes quee´stas son independientes en ambas ramas. Ambas dependenso´lo de la impedancia del generador (Zg = ZL) y de laimpedancia que aparece en cada una de ellas. El ca´lculo de lapotencia resulta, en consecuencia,Pa = |Vg|2 Re [Za]8|Za + Zg|2(6a)Pb = |Vg|2 Re [Zb]8|Zb + Zg|2, (6b)por lo que la potencia disipada en la rama serie so´lodepende de la impedancia de la rama serie y es independientede la impedancia que se coloque en la rama cruzada. Unaafirmacio´n equivalente puede hacerse sobre la potencia en larama cruzada. Ambas dependen, eso sı´, de las impedanciascon las que se termina la red (ZL = Zg).Este resultado podrı´a esperarse si se recuerda el teorema dela biseccio´n de Barlett [7]. Dicho teorema establece que enuna red de dos puertos con un plano de simetrı´a puede serrepresentada por una red en celosı´a cuya rama serie soportala impedancia Za y la rama cruzada la impedancia Zb. Laprimera, Za, es la impedancia que presenta el bipuerto cuando(a) Strip-slot complementario (b) Ranura alimentada por microstripFig. 2. Geometrı´as.se conecta a una excitacio´n par (la misma excitacio´n en ambospuertos). La segunda, Zb, es la impedancia que presenta elbipuerto cuando la excitacio´n es impar (la misma amplitud deexcitacio´n en ambos puertos, pero signos contrarios). Dadoque ambas impedancias, Za y Zb, corresponden a modosortogonales de excitacio´n es de esperar que tensiones y co-rrientes, ası´ como la potencia disipada en cada rama, seanindependientes entre sı´. No´tese que la aplicacio´n del teoremade Barlett requiere no so´lo la simetrı´a de la celosı´a, sinoque ha de ser tambie´n sime´trica la terminacio´n del bipuerto(ZL = Zg).Si este resultado se aplica a estructuras electromagne´ticas,significa que la disipacio´n de potencia total en la estructurapuede calcularse como la suma de la potencia disipada enlas impedancias que resultan de excitar la estructura con losmodos par e impar, respectivamente. Es ma´s, si se identificanambas impedancias con una parte de la estructura fı´sica,puede localizarse el origen de las pe´rdidas en la estructura,asigna´ndolas al elemento o regio´n al que corresponda la ramade que se trate.IV. APLICACIO´N AL ESTUDIO DE LA RADIACIO´N DELELEMENTO STRIP-SLOT COMPLEMENTARIORecientemente, los autores han presentado un nuevo ele-mento radiante planar al que se ha denominado strip-slotcomplementario. Consiste en una lı´nea microstrip alimentandoa una doble tira (dos stubs sime´tricos) superpuesta a una ranura(slot) en el plano de referencia. Un dibujo de la estructura semuestra en la Figura 2a. Tambie´n puede entenderse como unaranura (slot) alimentada por microstrip (ver Figura 2b), que seha modificado colocando una tira alineada con la ranura. Estamodificacio´n consigue eliminar la naturaleza resonante de laranura y conseguir ası´ un comportamiento de adaptacio´n enbanda ancha [6].Como se demuestra en [6] la estructura strip-slot comple-mentario admite ser modelada con una red en celosı´a. Sedemuestra tambie´n que la rama serie de la celosı´a puedeatribuirse a la propagacio´n del modo par en la estructuraacoplada de tres conductores (microstrip-slotline). Asimismo,la rama cruzada se corresponde con el modo impar. Bajociertas condiciones, los modos par e impar pueden asociarsea los modos de la ranura y de la tira, respectivamente, conlo que el circuito equivalente en celosı´a esta´ formado por laimpedancia de la ranura en la rama serie y la impedanciade la tira en la rama cruzada, tal y como se muestra en laZ /2ranura2Ztira 2ZtiraZ /2ranura(a) Strip-slotZ /2ranura2Z 2ZstubZ /2ranura(b) RanuraFig. 3. Circuito equivalente usando redes en celosı´a.Figura 3a. Por otro lado, es bien conocido que una ranuraalimentada por microstrip se modela con una impedanciaen serie [8] que, representada como red en celosı´a, admiteel circuito equivalente de la Figura 3b. Con esto se quieredemostrar que la adicio´n de una tira superpuesta a la ranurapuede representarse an˜adiendo la rama cruzada al circuitoequivalente de una ranura alimentada por microstrip. An˜adiresta rama cruzada, adema´s, modifica la impedancia de entradade la red y es por ello por lo que el circuito de la Figura 3a,que se corresponde con el elemento strip-slot complementario,presenta una impedancia con un gran ancho de banda (infinitoen el caso ideal) frente al comportamiento resonante de laranura alimentada por microstrip, como se ha demostradoen [6]. Esto se debe a que la impedancia imagen en unacelosı´a es independiente de la frecuencia si sus ramas tienenun comportamiento complementario en frecuencia.En lo que se refiere a la radiacio´n, cabe preguntarse co´moafecta la presencia de la tira conductora a la ranura. Losresultados de las simulaciones y las medidas realizadas a losprototipos demuestran que las propiedades de radiacio´n dela ranura se ven so´lo ligeramente alteradas por la presenciade la tira [6], pero no se contaba con ningu´n resultadoteo´rico que respaldara esta cualidad. La propiedad demostradaen el apartado III de esta comunicacio´n consigue ser estaexplicacio´n [9].Si se consideran despreciables las pe´rdidas en conductoresy diele´ctricos la potencia radiada por el elemento strip-slotcomplementario debe ser el total de la potencia disipada en sured en celosı´a equivalente:Prad = 2(Pa + Pb) . (7)Puesto que el elemento se excita con una microstrip termi-nada en una carga adaptada, la condicio´n de simetrı´a en lasterminaciones de la red ZL = Zg se cumple en este caso. Laindependencia demostrada entre la potencia disipada en la ra-ma serie (Pa) y la impedancia de la rama cruzada (Zb) justificaque la potencia radiada por la ranura (y esta es pra´cticamenteigual a la potencia radiada) sea independiente de la presencia oausencia de la tira superpuesta. Del mismo modo, la potenciadisipada en la rama cruzada (Pb) puede obtenerse del ana´lisisde una tira alimentada por una microstrip, con plano de masacontinuo, sin ranura. En consecuencia, las propiedades deradiacio´n del strip-slot complementario pueden deducirse delas que tienen sus elementos por separado. Es ma´s, la ranuray la tira alimentadas por microstrip son las estructuras queresultan cuando sendas excitaciones par e impar son aplicadasal elemento strip-slot complementario. Es sabido que una tiraalimentada pro microstrip no radia de forma eficiente, debido ala simetrı´a de las corrientes en su superficie. Por el contrario, laranura alimentada por microstrip es un buen elemento radiante,si bien tiene un comportamiento resonante. Por todo ello, esde esperar que el elemento strip-slot complementario tengapropiedades de radiacio´n muy similares a la de la ranuraalimentada por microstrip, con pequen˜as variaciones debidoa la ligera radiacio´n de la tira superpuesta.Buscando la confirmacio´n de esta suposicio´n, se ha reali-zado el experimento que ilustra la Figura 4, mediante simu-laciones en HFSS en todos los casos. En ella se comparanlas potencias disipadas por las dos ramas de la celosı´a equi-valente de un elemento strip-slot complementario, calculadashaciendo uso de (6) con las que se obtienen de simulacioneselectromagne´ticas de cada uno de los componentes (ranuray tira alimentados por microstrip) por separado. La red encelosı´a equivalente se ha obtenido a partir de la conversio´n dela matriz de para´metros S proporcionados por la simulacio´ndel elemento a para´metros Z y de ahı´ a las impedancias Za yZb. La potencia disipada en las ramas serie (2Pa) es entoncescomparada con la potencia radiada por la ranura alimentadapor microstrip, sin la tira superpuesta. La potencia disipada enlas ramas cruzadas (2Pb) se compara con la que se correspondecon la tira alimentada por microstrip, sin ranura. En la Figura5, la potencia total disipada en la red en celosı´a (2(Pa +Pb))se compara con el resultado de simular la potencia radiada enel elemento strip-slot complementario. El elemento simuladoes el mismo que el que se presento´ en [6] y que demostro´ estaradaptado de 1 a 16 GHz. Los resultados confirman la capa-cidad del circuito equivalente para explicar las propiedadesde radiacio´n del elemento strip-slot complementario como lasuma de potencias radiadas por cada uno de los componentes.Es ma´s, se confirma que la contribucio´n de la tira al total dela radiacio´n es mucho menor que la de la ranura. Es por estoque el elemento en cuestio´n radia, esencialmente, como unaranura sin tira, como ya se pudo comprobar empı´ricamente yse expone en [6].Aunque se ha demostrado que el elemento strip-slot comple-mentario radia ba´sicamente el mismo porcentaje de la potenciadisponible que la ranura sola alimentada por microstrip, esimportante prestar atencio´n al resto de la potencia no radiada.En la Figura 6 se muestra una comparacio´n entre la potenciaque llega a la carga ZL en el caso de la ranura y en elcaso del elemento strip-slot complementario. Puede verseco´mo, aun radiando ambas estructuras pra´cticamente el mismoporcentaje de la potencia disponible, el elemento strip-slotcomplementario transmite a la carga la potencia no radiada enun amplio margen de frecuencias. La ranura alimentada pormicrostrip, en cambio, tiene un comportamiento resonante quehace que aparezcan amplias bandas de frecuencia en las que lapotencia es reflejada y no se transmite a la carga. El circuitoequivalente permite entender esta circunstancia. El circuito dela Figura 2b (ranura) so´lo presenta impedancia serie, mientras0 2 4 6 8 10 12 14 160510152025303540Frecuencia [GHz]P rad/Pdis [%]  C.Eq. Rama Cruzada (2Pb)Tira conductora sin ranuraC. Eq. Rama Serie (2Pa)Ranura sin tira conductoraFig. 4. Comparacio´n de la relacio´n entre la potencia radiada y la potencia dis-ponible, obtenidos del circuito equivalente del strip-slot complementario y dela simulacio´n electromagne´tica de los elementos aislados (tira alimentada pormicrostrip y ranura alimentada por microstrip). El sustrato y las dimensionesde la geometrı´a seleccionados son los de [6].0 2 4 6 8 10 12 14 160510152025303540Frecuencia [GHz]P rad/Pdis [%]  2(Pa+Pb)Strip−slotFig. 5. Relacio´n entre la potencia radiada y la potencia disponible en%, obtenidos del circuito equivalente y de la simulacio´n electromagne´ticadel elemento strip-slot complementario. El sustrato y las dimensiones de lageometrı´a seleccionados son los de [6].que el de la Figura 2a (strip-slot) tiene una rama cruzada quepermite la adaptacio´n en un amplio margen de frecuencias.V. CONCLUSIONESSe ha demostrado una propiedad sobre la potencia disipadaen redes sime´tricas en celosı´a. De acuerdo con esta propiedad,la disipacio´n de potencia en estructuras electromagne´ticassime´tricas de dos puertos puede calcularse como la superpo-sicio´n de las potencias disipadas bajo excitacio´n par (potenciadisipada en la rama serie de la red equivalente en celosı´a) ybajo excitacio´n impar (potencia disipada en la rama cruzadade la red equivalente en celosı´a). Por tanto, si se identificacada una las impedancias del circuito en celosı´a equivalentecon una parte de la estructura, se puede determinar el origende las pe´rdidas.La propiedad se ha aplicado para el estudio de la potencia0 2 4 6 8 10 12 14 16020406080100Frecuencia [GHz]P L/Pdis[%]Strip-Slot (sim)Strip-Slot (med)Ranura (sim)Fig. 6. Comparacio´n de la relacio´n entre la potencia disipada en la carga yla potencia disponible en % en el strip-slot complementario y en la ranuraalimentada por mistrostrip sin la tira meta´lica. El sustrato y las dimensionesde la geometrı´a seleccionados son los de [6].disipada en el elemento strip-slot complementario. Se demues-tra que, de acuerdo con esta propiedad, la potencia radiadapor la estructura se puede calcular sumando las potenciasque, por separado, radian la ranura y el strip alimentados pormicrostrip. Con esto se proporciona una explicacio´n de co´moradia la estructura, que adema´s es consistente con las medidasrealizadas.AGRADECIMIENTOSEste trabajo ha sido financiado por la Junta de Andalucı´abajo el proyecto P10-TIC-6883.REFERENCIAS[1] M. E. Van Valkenburg, Introduction to Modern Network Synthesis, JohnWiley & Sons, Inc., New York, 1960.[2] C.-I. G. Hsu, H. A. Auda, “On the realizability of the impedance matrixfor lossy dielectric posts in a rectangular waveguide,” IEEE Trans.Microw. Theory Techn., vol.36, no.4, pp.763–765, Apr. 1988.[3] K. Ise and M. Koshiba, “Equivalent circuits for dielectric posts in arectangular waveguide,” IEEE Trans. Microw. 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Disipación de potencia en redes en celosía: la radiación del strip-slot complementario

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