Presentación del análisis conjunto de dos variablesParcialmente financiado por el PIE13-02

De-Haro-García, Julia

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Repositorio Institucional Universidad de Málaga

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA1Lección 3. Análisis conjuntode dos variablesEstadística  DescriptivaJULIA DE HARO GARCÍA23.1 COVARIANZA Y COEFICIENTE DE CORRELACIÓNLINEAL SIMPLE3.2 REGRESIÓN LINEALTEMA 3. ANÁLISIS CONJUNTO DE DOS VARIABLESJULIA DE HARO Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA)ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA23• Saber representar e interpretar una distribuciónbidimensional mediante una nube de puntos.• Interpretar la correlación lineal como una medida de larelación lineal existente entre dos variables.• Determinar e interpretar la recta de regresión.• Analizar la bondad del ajuste realizado. Coeficiente dedeterminación.• Realizar predicciones, de forma crítica, a partir de unarecta de regresión.ObjetivosJULIA DE HARO Relaciones entre dos variables (a) Causal (b) Interdependencia X Y X Y (c) Indirecta (d) Espúrea X Y X Y Z Tipos de covariación4JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA35Nubes de puntosa) Asociación lineal creciente b) Asociación lineal decrecienteXYXYCovariación. Análisis gráficoJULIA DE HARO 6c) Ausencia de asociación d) Asociación no linealXYXYCovariación. Análisis gráficoJULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA4La covarianza, sXY, es una medida absoluta que cuantificala covariación lineal entre dos variables X e Y.( )( )NyyxxsN1iiiXY∑=−−=73.1 CovarianzaJULIA DE HARO yxNyxsNiiiXY ⋅−=∑= 1 El signo de la covarianza indica el tipo de asociación linealentre X e Y.• Una covarianza positiva indica una relación linealpositiva o directa (Los valores bajos de ambas variables se presentana la vez al igual que los elevados, pero no sabemos si hay una relacióncausal entre ellas) .• Una covarianza negativa es un reflejo de una relaciónlineal inversa o decreciente o negativa.• Una covarianza nula indica que no existe covariación orelación lineal entre las variables, pero puede o no existirotro tipo de covariación como exponencial, parabólica etc.83.1 CovarianzaESTADÍSTICA DESCRIPTIVA59XY_x_yII IIII IVXY_x_yxiyi_xi-x  > 0_yi-y  > 0II IIII IVxjyj_yj-y <  0xj -x < 0_3.1 CovarianzaJULIA DE HARO 10Una medida relativa que expresa el grado de asociaciónlineal entre las variables es el coeficiente de correlaciónlineal simple, rXY :Si , la relación lineal es perfecta y directaSi , la relación lineal es perfecta e inversaSi , no existe relación lineal entre las variables (sXY=0)(Puede que sean independientes o que exista otro tipo derelación entre ellas)yxxyxy SSSr = 1r1 XY ≤≤−1rXY =1rXY −=0rXY =3.1 Coeficiente de correlación lineal simpleJULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA611Entre los diversos tipos de relaciones entre dos variables, lamás estudiada es la relación de causalidad, es decir, unade ellas es la causa de la otra.Aquella variable que depende de otra se denomina variabledependiente, endógena o explicada (Y), mientras que lavariable que es el origen de los cambios se denominavariable independiente, exógena o explicativa (X).El análisis de la regresión consiste en obtener la líneaideal, línea de regresión, hacia la que tienden los puntos deldiagrama de dispersión; es decir, trata de determinar ladependencia exacta que se haya contenida en ladependencia estadística, mediante la eliminación de factoresaleatorios.3.2  Regresión linealJULIA DE HARO 3.2  Regresión linealObservadoAjustadoError12Yi = Y*i + ei = a + b Xi + ei,     i = 1, 2, ..., N12JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA713Sólo en el caso particular de que la relación fuese“perfecta”, la nube de puntos estaría sobre una recta y todoslos errores ei serían nulos.02468100 1002468100 103.2  Regresión lineal1rXY = 1rXY −=JULIA DE HARO 14De entre las infinitas rectas que sería posible ajustar a unanube de puntos, nos quedamos con la resultante de aplicar elcriterio de mínimos cuadrados ordinarios, de tal forma que larecta obtenida es aquella que hace mínima la suma de loserrores, ei, al cuadrado.Min ∑ ei2= ∑ (Yi - Y*i )2Tras la resolución de un sistema de ecuaciones normales, enel que se ha impuesto este criterio, los parámetros a y b de larecta de regresión son:2XXYssbxbya=−=3.2  Regresión linealJULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA815a: Es el término independiente, la ordenada en elorigen.Indica el valor de Y cuando X toma el valor cero.b: Es la pendiente de la recta de regresión. Coeficientede regresión.Se puede interpretar diciendo que por términomedio, cuando X se incrementa en una unidad, lavariable Y aumenta (o disminuye, según el signo) enb unidades, según el modelo estimado.3.2  Regresión lineal. Interpretación de coeficientesJULIA DE HARO 16• si b<0, la dependencia lineal es inversa o negativa(recta decreciente)• si b=0, no existe dependencia lineal (sXY=0)(recta horizontal, se cumple, )• si b>0, la dependencia lineal es directa o positiva(recta creciente)3.2  Regresión linealay i =*JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA9Entre las propiedades de mayor interés de la rectade regresión tenemos:• pasa por el centro de gravedad de la nubede puntos, por el punto• la suma de los residuos resultantes es cero(Σei = 0).( ).y,x173.2  Regresión linealJULIA DE HARO Un concepto muy importante en economía es el conceptode elasticidad, que es la variación porcentual queexperimenta la variable Y cuando X aumenta un 1%.Elasticidad media:YXbYXXYX/XY/YdElasticida =∂∂=∂∂=YXbE =3.2  Regresión lineal.  Elasticidad18JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA1019Para el ajuste lineal por el método de los mínimoscuadrados, se demuestra que el coeficiente dedeterminación, R2, es igual al coeficiente de correlaciónlineal simple al cuadrado, r2xy.R2 indica la proporción de las variaciones de Y que vienenexplicadas por X, según el modelo lineal.Por lo tanto, 1-R2 es la proporción de las variaciones de Y queno explica X según el modelo lineal ajustado. Lo no explicadopor el modelo.22222*2 1 XYYeYY rssssR =−==3.2   Bondad del ajuste. Coeficiente de determinación 0≤  R2 ≤1JULIA DE HARO 20El análisis de la regresión, además de describir ladependencia causal entre las variables sirve para estimaro predecir el valor de la variable dependiente (Y) dado unvalor de la variable independiente (X). Para ello basta consustituir en el modelo estimado un valor de la variableexógena Xp y el resultado es la predicción que el modeloofrece para la variable endógena Yp :Yp = a + b XpSi el valor de X elegido para predecir el correspondientevalor de Y, está dentro del recorrido de X, a la predicciónse le denomina interpolación y si está fuera del recorridose le llama extrapolación.PredicciónJULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA11Fiabilidad de la predicción Sólo deben realizarse predicciones si el modelo ofrece ungrado de ajuste satisfactorio. La interpolación (predicción para valores dentro de lanube de puntos) tendrá un grado de fiabilidad mayor quela extrapolación, y en el caso deextrapolaciones, (predicción para valores fuera de lanube de puntos) cuanto más lejos estemos de los valoresobservados, menor precisión se obtiene en el valor depredicción.Predicción21JULIA DE HARO Los ingresos y los gastos anuales de 10 familias,seleccionadas de forma aleatoria en un pueblo, en miles deeuros, son:EjercicioIngresos Gastos121524253026123620241113202325261432182322JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA12Haciendo uso de la anterior información, se pide:a) Represente gráficamente la nube de puntos correspondiente.b) Calcule la covarianza entre ambas variables. Interprétela.c) Calcule el coeficiente de correlación lineal. Interprételo.d) Ajuste por el método de los mínimos cuadrados una recta en la queel gasto sea función de los ingresos.e) ¿Cuáles son los significados estadístico y económico de loscoeficientes de la línea ajustada?f) Proporcione una medida de la bondad del ajuste. Interprétela.g) Estime el gasto de una familia con 12500 € de ingresos. Comente lafiabilidad de dicha predicción.h) Determine la variación porcentual que experimenta el gasto de unafamilia de ingresos 12500 € ante un incremento porcentual unitariode estos últimos.Ejercicio23JULIA DE HARO Solución:a)Ejercicio051015202530350 5 10 15 20 25 30 35 40GAST0SINGRESOS24JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA13b)EjercicioINGRESOS (X) GASTOS (Y) XY X^2 Y^212 11 132 144 12115 13 195 225 16924 20 480 576 40025 23 575 625 52930 25 750 900 62526 26 676 676 67612 14 168 144 19636 32 1152 1296 102420 18 360 400 32424 23 552 576 529TOTALES 224 205 5040 5562 459325JULIA DE HARO b) La expresión de la covarianza es:Al obtener un valor positivo nos indica una relación linealpositiva o directa entre el ingreso y el gasto. Aspecto que yase podía apreciar en la nube de puntos, apartado a.Ejercicio26yxNyxsNiiiXY ⋅−=∑= 1 =504010−  22,4 ∗ 20,5 = 44,8 ∗ 106€  JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA14c) La expresión del coeficiente de correlación es:Al obtener un valor positivo nos indica una relación linealpositiva o directa entre el ingreso y el gasto. Al estar su valorpróximo a 1, esta relación es bastante intensa.Ejercicio27yxxyxy SSSr = =44,854,4439,05= 0,97 1r1 XY ≤≤−JULIA DE HARO d) La recta de regresión a estimar esdondeEjercicio28ii bxay +=*2XXYssbxbya=−= = 20,5 − 0,8229 ∗ 22,4 = 2,067  =44,854,44= 0,8229 JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA15d) La recta ajustada gráficamente:Ejercicio29y* = 2,067 + 0,8229x 051015202530350 5 10 15 20 25 30 35 40GAST0SINGRESOSJULIA DE HARO e) Significado estadístico:a: Ordenada en el origen. Término independiente.b: Pendiente de la recta de regresión. Coeficiente deregresión.Significado económico:a: Para un ingreso nulo el gasto estimado es de 2067€.Podría ser una situación de endeudamiento.b: Si aumentamos los ingresos en 1000€ el gastoaumenta en 822,9€, por término medio, según elmodelo estimado.Ejercicio30JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA16f) Bondad del ajusteInterpretación:El ingreso explica el 94% de las variaciones del gastosegún el modelo estimado. Es un buen ajuste (0,94 >0,75). Solo deja sin explicar el 6%, (1- R2).Ejercicio3122XYrR =94,00,97 22 ==R0≤  R2 ≤1JULIA DE HARO g) PredicciónYp*= 2,067 + 0,8229 (12,5) = 12,3532* 103 €Fiabilidad de la predicción:Como hemos visto el modelo tiene un grado de ajustesatisfactorio (R2 = 0,94 > 0,75) y como 12,5 es un valorde los ingresos dentro del recorrido de dicha variable(interpolación), podemos concluir que la predicciónrealizada es fiable.Ejercicio32JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA17h) ElasticidadEste es el caso de elasticidad para un valor concreto delos ingresos, 12,5 ( no es elasticidad media), por ello elvalor de Y (gasto) viene dado por:Yp*= 2,067 + 0,8229 (12,5) = 12,3532* 103 €Interpretación: Al aumentar el ingreso en un 1%,aumenta el gasto un 0,83%.Ejercicio33YXbE =E = 0,8229 12,512,3532= 0,83 JULIA DE HARO h) En el caso de elasticidad media se procede igual sóloque sustituyendo los valores de x e y por sus puntosmedios ( no hay que realizar la predicción del gasto).Ejercicio34YXbE =JULIA DE HARO 

Análisis conjunto de dos variables

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