Reyes Centeno, Marcos Antonio

Zamora, Winston

Repositorio Institucional UNAN-Managua

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BARCELONA (UAB) FACULTAD REGIONAL MULTIDISCIPLINARIA DE ESTELÍ (FAREM)   MÁSTER EN DIDÁCTICAS ESPECÍFICAS Análisis de los procesos utilizados por los alumnos en la resolución y presentación de gráfico de problemas de conteo.  Autores:  Marcos Antonio  Reyes Centeno.  Winston Zamora  Tutora:  Nuria Planas   TÍTULO  UNIDAD:   LA NECESIDAD DE SABER CONTAR. (Teoría combinatoria). Autores:  Marcos Antonio  Reyes Centeno.   Winston Zamora  Materia:  Matemática. Clase y edad promedio:  Undécimo Grado, 16 años Tipo de curso:  Regular. Nº de sesiones:  3   Duración de las sesiones:  90min. COMPETENCIAS Y OBJETIVOS: Al finalizar la unidad los estudiantes serán capaces de:  1. Aplicar el principio de la multiplicación en la solución de problemas contextuales de conteo. (Como combinar ropa, sesiones fotográficas, acomodos para sentarse, sobre colorear, teselar  planos).      2. Utilizar estrategias sistemáticas de conteo.      3.  Emplear la  notación matemática de factorial para simplificar el cálculo de problemas con estructura multiplicativas.         CONTENIDOS:      Conocimientos y/o habilidades:  1.  Principio de la multiplicación. 2.  La notación factorial de un número natural. Criterios de evaluación final: 1.  Discriminar problemas de estructura multiplicativa de  los que no tienen esta estructura. 2.  Expresar mediante el lenguaje matemático situaciones que impliquen el uso de la multiplicación en la solución de problemas cotidianos. 3.  Utilizar estrategias para la resolución de problemas usando el principio multiplicativo. 4.  Valorar el uso de la notación  de factorial de un número natural. II) DESARROLLO DE LA UNIDAD  POR   SESIÓN. SESIÓN 1 y 2: Apliquemos la multiplicación para contar. En esta sesión  se hará énfasis en:  1. La aplicación del principio multiplicativo  en  la solución  de situaciones ajustadas al contexto.  2. El establecimiento de la diferencia entre las situaciones que se resuelven con estructuras de carácter multiplicativo y las que no se resuelven con éstas. 3. Descubrir la noción de factorial a partir de situaciones propias del contexto, como las sesiones fotográficas.   En esta sesión se abordarán problemas en los que intervienen estructuras de carácter multiplicativo, además de situaciones problemáticas que no tienen esta estructura, haciendo énfasis en el dominio del uso del principio  de la multiplicación, para resolver problemas de conteo, propios de esta temática. Tareas y/o actividades. Interacción Tiempo aproximado                     Tarea 1 :(Actividad Inicial para los alumnos). Actividad de valor formador: Organizar equipos de 4 estudiantes  y en el seno del grupo consensúen sus conclusiones, nombrar un secretario relator en cada equipo y pasar al frente a dos de ellos.   Tú tienes tres camisas y dos pantalones ¿Cuántas formas distintas tienes para Actividades iniciales. Saludos, asistencia, introducción a la clase. Profesor- alumno. 5 minutos 1. Analizan y resuelven  problemas de conteo partiendo de situaciones concretas, para esto asignaremos los problemas 1 y 2 citados abajo. 2. Caracteriza los elementos de una situación con estructura multiplicativa, discriminando aquellos que se resuelven sin el principio de la multiplicación y que requieren de  conteo. Problema 1 y 2. 3. Use el principio multiplicativo  para resolver situaciones aplicadas al contexto que lo induzcan a comprender la notación de factorial.  Problema  3.   Maestro-grupos  estudiantes.  45 minutos 4. Discute e interpreta los resultados obtenidos  en los problemas 1, 2 y 3 para explicar sus soluciones y exponerlas en plenario.    Maestro- grupos estudiantes. 25 minutos Reflexiones finales y asignación de deberes.   Maestro-alumno. 15 minutos vestirte usando esas prendas?   (Ver material de apoyo anexo 7. Pág. 32). 1.1. Ahora supón que tienes tres camisas y cinco pantalones. ¿Cuántas formas distintas de vestirte tienes?  1.2 Si tu hermano te pide prestado un pantalón ¿De cuántas  maneras   puedes vestirte ahora? -¿Disminuyen o aumentan tus alternativas? ¿Cuál es el factor de disminución? Explica a qué se debe esa disminución o ese aumento.     Criterio de evaluación: Expresa verbalmente y con claridad los procesos que lo condujeron a la solución del problema con estructura  multiplicativa.    Tarea 2: Esta actividad será desarrollada individualmente, luego se pasará al frente del grupo  a dos estudiantes a presentar sus reflexiones y comentarios.  ¿De cuántas formas se pueden repartir 36 caramelos en paquetes iguales sin que sobre ninguno?           Actividad de valor formador: Lo que se pretende es que el estudiante note que la  disminución en 3 alternativas de vestir, es debido a la falta de  un pantalón, porque no se combinaría con las tres camisas. La tarea 2, presenta un problema que no se resuelve por el principio de la multiplicación, pues no se aplica éste, para que el alumno discrimine entre un tipo de problema y otro, pero en ambos se necesita contar. Tarea  3:  Esta actividad se realizará bajo la conducción del profesor, con apoyo de tres estudiantes.       Los  estudiantes  ubicarán  tres  sillas  delante  la  clase  y  se  pedirá  la participación  de  tres  de  ellos  (las  ordenaciones  se  harán  anotando  los nombres  de  los  alumnos)  para  realizar  una  sesión  fotográfica,  luego  se cambiará la posición de los alumnos en las sillas hasta agotar las posibles    distribuciones. Un estudiante anotará los resultados posibles. Se preguntará: ¿Qué pudimos observar? ¿Y si se colocaran 4 sillas con 4 estudiantes? ¿De  cuántas  formas  podrían  acomodarse  los  estudiantes  para  otra  sesión fotográfica? (estos resultados sólo se anotarán en la pizarra y por escrito en cuadernos de trabajo). ¿Cuántas veces está contenido el primer resultado en éste? Y si fueran cinco estudiantes en cinco sillas ¿Cuántas veces está contenido el segundo resultado en éste? ¿Qué concluyes?  DEBERES:   1. ¿De cuántas formas puede obtenerse 24 sumando números iguales? 2. Si en la sesión fotográfica de la tarea 3, se usaran  5 sillas y sólo 4 estudiantes ¿Cuántas fotos se pueden obtener? ¿Y  si  tenemos  5  sillas  y  tres  estudiantes  será  igual  a  tener  3  sillas  y  5 estudiantes en cuanto a los resultados posibles? SESIÓN 3 y 4: El uso de la notación factorial. Esta sesión se centrará en: Se espera que los estudiantes completen las alternativas. ¿De cuántas maneras se puede ocupar la primera silla y así de  cuántas maneras la segunda y de cuántas la tercera? ___,___,____   1. La aplicación de la notación de factorial en la búsqueda de patrones.  2. Resolver situaciones de conteo partiendo del principio multiplicativo y la noción de factorial.  Tarea 1: Formando grupos de 4 estudiantes, se les orientará que usando la calculadora científica, específicamente la tecla de factorial, se asignará a cada estudiante una de las  cuatro actividades que a continuación se presentan, pasando al frente cuatro estudiantes seleccionados para presentar reflexiones.  ¿A partir de qué número los factoriales  son divisibles por tres? ¿Por   qué? 1. ¿A partir de qué números los factoriales terminan en un cero? ¿por qué? 2. ¿A partir de qué números los factoriales terminan en dos ceros? ¿Y Por qué? 3. ¿Cuál es el mayor número al que se le puede calcular el factorial en una calculadora científica?    ¿Por qué?   Criterio de evaluación: Tareas Interacción Tiempo aproximado Actividades  Iniciales Saludos, asistencia, introducción a la clase. Profesor- alumno. 5  minutos  1.  Revisar los deberes de la sesión anterior Pasando dos estudiantes seleccionado de forma aleatoria a la pizarra. Maestro-alumno.    10 minutos.   2. Encuentren patrones en expresiones factoriales a partir de   condiciones dadas, apoyándose en la calculadora científica.  Ver. Problema 1. Maestro- alumno. 25 minutos 1. Aplique el principio multiplicativo y la noción de factorial en situaciones del contexto. Problema 2.     Maestro-alumno. . 40 minutos 4. Presentación de reflexiones finales de forma grupal, escuchando los comentarios de al menos tres grupos.   6. Asignación de deberes. Maestro -alumno.   10 minutos. Escriben y describen las regularidades observadas en el hallazgo de patrones y argumentan las razones de los mismos.            Tarea 2: Formar parejas y asignar para cada estudiante una de las  dos  actividades que a continuación se presentan, pasando al frente dos  estudiantes seleccionados para presentar reflexiones y comentarios   1. ¿De cuántas formas podemos sentar a tres personas en 5 sillas?  2. ¿Hay alguna diferencia, si se tratara de cinco personas y tres sillas?             Tarea 3:  Formando grupos de 4 estudiantes, estos resolverán la actividad que a continuación se  presenta, pasando al frente cuatro estudiantes seleccionados para presentar reflexiones.    ¿De cuántas formas podríamos teselar un rectángulo de 9x1 cm. con rectángulos    de color rojo, verde, amarillo o azul de 3x1 cm? Si sólo podemos usar un color una vez en cada evento. A continuación ver ejemplo:  Deberes: 1. ¿ Cuántos dígitos tiene 20!? ¿Por qué?    2. ¿A partir de qué número los factoriales son  divisibles por 4? ¿Por qué? 3. ¿Cuántas banderas de 4 colores distintos se pueden formar con franjas rectangulares semejantes de colores rojo, verde, amarillo y azul, sin repetir colores? Los alumnos elaborarán las franjas rectangulares y las colorearán. SESIÓN 5  y 6: Consolidación de las técnicas  de conteo.                   Esta sesión se dedicará a: 1. Al afianzamiento de las nociones de factorial  y el principio de la multiplicación. Tareas Interacción Tiempo aproximado           2. La consolidación y evaluación de los aprendizajes de la unidad. TAREAS: Se discutirán los siguientes problemas:  1- ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 5 personas si hay 5 lugares? 2. ¿Cuántos  números  de  5  cifras  diferentes  se pueden  formar  con  los dígitos:  1 ,  2,  3,  4,  5?  Cuál  es  la  suma  de  todos  estos  números?  3- Compara las dos soluciones. ¿Qué concluyes? Actividad de valor formador: 4- Rellena  la tabla con números distintos de tres cifras con los dígitos indicados. Anota tus conclusiones y coméntalas en plenario.  Ver la primera fila.  1.Revisión de  deberes de la sesión anterior Alumnos- docente 15 minutos 2. Resolver problemas contextualizados sobre los tópicos más relevantes estudiados en la unidad. Alumno- docente. 25 minutos 3. Evaluar el aprendizaje a partir de la solución de problemas contextuales propios de las temáticas estudiadas. Alumno- docente. 25 minutos 4. Provocar a los estudiantes con situaciones problemáticas que le permitan la regulación de sus aprendizajes. Alumno- docente. 25 minutos 3 7 9 = 379 397 793 739 973 937 2 5 8 =    852   1 4 7 = 471      7 6 3 =     367  8 9 2 =      928        Criterio de evaluación: Comunican a sus compañeros en plenario cómo el principio de la multiplicación le ayudó a deducir los  resultados. 5- Un grupo de amigos formado por Cecilia, Sonia, Diego y Cristina organizan una fiesta, acuerdan que dos de ellos se encargarán de comprar uno la comida y otro las bebidas ¿De cuántas formas posibles puede estar compuesta la pareja encargada de dicha misión?    DEBERES:               3-En una venta de comida rápida venden tres tipos de comida: Hamburguesas, sándwiches y perros calientes, además tres tipos de refrescos, de Jamaica, de tamarindo y de limón. ¿De cuántas formas puedes elegir un tipo de comida con su respectivo refresco?   9 8 1 =   891    6 3 4 =      346 5 2 9 =     295  4 1 8 =    184   2 3 4 =  234     El interés en este problema es el uso de diagramas de árbol, además puede servir como punto de partida para la siguiente unidad. Anexo1: Nota de campos  Lugar: Colegio Fuente de Vida .Aula. Quinto año  Fecha: 19/10/09 Profesor: Winston Zamora. Observador: Marcos Reyes Período: 6Horas Sesión: 1  Tema: Técnicas de conteo. Actividad: 1-Tú tienes tres camisas y dos pantalones ¿Cuántas formas distintas tienes para vestirte usando esas prendas?  1.1. Ahora supón que tienes tres camisas y cinco pantalones ¿Cuántas formas Distintas de vestirte tienes?       Si tu hermano te pide prestado un pantalón ¿De cuántas  maneras puedes vestirte ahora? ¿Disminuyen o aumentan tus alternativas? ¿Cuál es el factor de disminución? Explica a qué se debe esa disminución o ese aumento. Materiales: Camisas y pantalones recortadas  Situación: Observación de la aplicación de una unidad didáctica. ¿Dónde tuvo lugar la observación?  La observación tuvo lugar, en el aula de quinto año del Colegio Fuente de Vida, de Juigalpa, Chontales, Nicaragua. ¿Quiénes estuvieron presentes? Estuvieron presentes, los estudiantes de quinto año, la directora licenciada Alba Escobar y los maestrantes Marcos Reyes y Winston Zamora. Descripción del ambiente Físico. El Colegio Fuente de Vida, es un centro que presenta excelentes condiciones físicas en cuanto a aulas de calidad con condiciones ambientales adecuadas, bastante presencia de vegetación y muy buenos lugares para la recreación de los estudiantes. El aula en la que trabajamos, es de concreto, con piso de ladrillo, techo alto, con buena iluminación y ventilación y orientada de este a oeste, con puertas hacia el sur, como se establece en los estándares de construcción de aulas para escuelas. Descripción de las interacciones sociales La participación de los estudiantes, puede considerarse muy buena, la forma en que interactuaron en los equipos fue excelente, hubo mucha comunicación entre ellos, mantuvieron siempre la voluntad de ayudarle a los miembros del equipo que habían entendido a media los problemas planteados, la disposición de exponer en plenario sus ideas, siempre se mantuvo; no tuvieron inhibiciones para preguntar a sus compañeros o al docente, cuando algo no iba bien. Este quinto año, es un grupo con mucha capacidad para socializarse. Descripción de las actividades realizadas Sesión 1 La actividad que realizamos está descrita al inicio, tiene que ver con la combinación de camisas y pantalones para obtener la cantidad de formas en que una persona puede vestirse si posee tres camisas y dos pantalones. Para esto a los alumnos se les dio recortes de camisas y pantalones, para que buscaran todas las posibles formas en que estas prendas podrían combinarse  y conseguir así, el número de combinaciones de las mismas. Luego que ellos lograron con el material concreto descubrir las posibles formas en que se podían combinar las prendas, se les pidió que dedujeran con qué operación matemática, teniendo los números 3 y 2, podían obtener resultados conseguidos  con la manipulación del material concreto. Al final ellos concluyeron que número de formas en que se podía combinar las prendas de vestir estaba dado por 2x3=6. Hubo otras actividades, pero se centra la atención en esta, por qué posee un alto valor formador.(El profesor les ayudó un poco) Sesión 2 En la segunda sesión, la actividad rectora es la de la sesión fotográfica, en esta actividad, tres alumnos pasaron frente a la clase, para que con ellos se realizara una sesión fotográfica, otro alumno, pasó a la pizarra a tomar nota de todos los resultados posibles de dicha sesión. Posteriormente se les pidió a los estudiantes que dedujeran con operaciones aritméticas básicas y recordando la actividad de la sesión 1, que encontraran el resultado obtenido manualmente. En este caso hubo que ayudarles un poco con la idea de las casillas, se les preguntó: supongan que cada asiento, equivale a una casilla y que hay que rellenar la primera casilla si hay tres alumnos ¿cuántas opciones tienes para rellenar la primera casilla (primera silla) ¿cuántas para rellenar la segunda casilla? ¿Cuántas te quedan para rellenar la tercera? En una discusión grupal se logró que los alumnos dedujeran el resultado 3x2x1=6 fotografías distintas. Sesión 3 En el caso de la sesión tres, realizada el 22 de octubre del año 2009, la actividad fundamental en la que concentré la observación fue en la siguiente:  - Rellena  la tabla con números distintos de tres cifras con los dígitos indicados. Anota tus conclusiones y coméntalas en plenario.       Ver la primera fila. 3 7 9 = 379 397 793 739 973 937 2 5 8 =    852   1 4 7 = 471      7 6 3 =     367  8 9 2 =      928 9 8 1 =   891    6 3 4 =      346 5 2 9 =     295  4 1 8 =    184   2 3 4 =  234      Esta actividad, tiene un carácter evaluativo, porque además de que se le permite al estudiante estar aprendiendo, manipulando situaciones, también se busca, que haciendo uso de la experiencia previa, identifique patrones y comunique verbalmente los resultados de su trabajo, para que  regule y autorregule sus aprendizajes. En esta actividad, los alumnos con más eficacia consiguieron los resultados esperados, además dedujeron que la cantidad de números (seis números) que se pueden escribir con tres dígitos distintos, se obtienen de modo similar al problema de la sesión fotográfica de la clase anterior. Esto es 3x2x1=6 números distintos. Otros. En el primer día, de aplicación de la unidad didáctica, hubo mucho nerviosismo de los estudiantes, por estar frente a la cámara. Poco a poco se fueron acostumbrando.     Anexo2: DIARIO DEL ALUMNO 1. ¿Qué actividades se realizaron hoy en la clase? 2. ¿Qué han aprendido? 3. ¿Cómo lo han aprendido? 4. ¿Para qué  puede servir lo que has aprendido? 5. ¿Cómo se han sentido durante toda la clase? 6. ¿Cuál fue el acontecimiento más significativo que ocurrió en la clase? 7. ¿Qué puedes decir de la forma como el profesor evalúa los aprendizajes? ¿te  motivó para seguir aprendiendo? 8. ¿Tienes idea de lo que haremos en la próxima clase? 9. ¿Qué comentario le harías al profesor para que la clase de hoy hubiera sido más exitosa? 10.  ¿Qué  actividades de las que realizamos hoy  no te gustaron y cómo crees que hubieran sido más  satisfactorias?         Valoración de la directora 

Análisis de los procesos utilizados por los alumnos en la resolución y presentación de gráfico de problemas de conteo

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