Los modelos NPZ (siglas para Nutrientes-Fitoplancton-Zooplancton en inglés) son comúnmente utilizados en estudios de biología marina. 
Este tipo de modelos utiliza un conjunto de ecuaciones diferenciales muy sencillo para definir la dinámica del plancton marino.
Las variables de estado de las cuales se modeliza su evolución son los nutrientes, el fitoplancton y el zooplankton, esto se hace en términos de su contenido de nitrógeno, ya que este compuesto el que normalmente limita la producción primaria en el océano.
En este trabajo se implementa el acoplado de un modelo NPZ para el modelado de los flujos biogeoquímicos con un modelo de aguas poco profundas bicapa para la hidrodinámica.
El objetivo es aplicar este modelo a la simulación de flujos biogeoquímicos en el Estrecho de Gibraltar con imposición de la dinámica mareal.1) Proyecto DAIFLUID. Plan Nacional MTM2012-38383-C02-01.  2) Universidad de Málaga. Campus de Excelencia Internacional Andalucía Tec

Castro-Diaz, Manuel Jesus

Fernández-Nieto, Enrique

Macías-Sánchez, Jorge

Castro-Díaz, Manuel Jesús

Repositorio Institucional Universidad de Málaga

XXIII Congreso de Ecuaciones Diferenciales y AplicacionesXIII Congreso de Matema´tica AplicadaCastello´n, 9-13 septiembre 2013(pp. 1–8)Un modelo 1D NPZ de acoplamiento entre la hidrodina´micay los flujos biogeoqu´ımicos en estrechos bicapa. Aplicacio´n ala dina´mica mareal en el Estrecho de GibraltarJ. Mac´ıas1, M.J. Castro1, E. Ferna´ndez-Nieto21 Universidad de Ma´laga, Departamento de Ana´lisis Matema´tico, Facultad de Ciencias, Campus deTeatinos, s/n, 29080-Ma´laga. E-mails: jmacias@uma.es, mjcastro@uma.es.2 Universidad de Sevilla Departamento de Matema´tica Aplicada I, ETS Arquitectura, Avda. ReinaMercedes, 2, 41012-Sevilla. E-mail: edofer@us.es.Palabras clave: Modelo NPZ, shallow water bicapa, acoplamiento, flujos biogeoqu´ımicos, Estrechode GibraltarResumenLos modelos NPZ (siglas para Nutrientes-Fitoplancton-Zooplancton en ingle´s) soncomu´nmente utilizados en estudios de biolog´ıa marina. Este tipo de modelos utiliza unconjunto de ecuaciones diferenciales muy sencillo para definir la dina´mica del planc-ton marino. Las variables de estado de las cuales se modeliza su evolucio´n son losnutrientes, el fitoplancton y el zooplankton, esto se hace en te´rminos de su contenidode nitro´geno, ya que este compuesto el que normalmente limita la produccio´n primariaen el oce´ano. En este trabajo se implementa el acoplado de un modelo NPZ para elmodelado de los flujos biogeoqu´ımicos con un modelo de aguas poco profundas bicapapara la hidrodina´mica. El objetivo es aplicar este modelo a la simulacio´n de flujosbiogeoqu´ımicos en el Estrecho de Gibraltar con imposicio´n de la dina´mica mareal.1. Introduccio´nEl Estrecho de Gibraltar es un a´rea de nuestros mares y oce´anos fascinante desdemuchos puntos de vista. Su dina´mica es muy complicada y energe´tica, y los procesosbiolo´lgicos asociados de un enorme intere´s socio-econo´mico y ambiental. En la actuali-dad no existe ningu´n modelo f´ısico-biolo´gico completamente acoplado para el Estrecho deGibraltar. Un primer intento se recoge en [5] donde en primer lugar se integra el modelohidrodina´mico y tras la simulacio´n se extraen los valores de las variables necesarias para laintegracio´n del modelo biolo´gico. En este trabajo proponemos un modelo unidimensional1J. Mac´ıas, M.J. Castro, E. Ferna´ndez-Nietoque acopla la hidrodina´mica y los procesos biolo´gicos en estrechos de seccio´n arbitraria ycon un flujo bicapa, se pretende as´ı representar la dina´mica que se observa en el Estrechode Gibraltar, que es esencialmente bicapa. La estrategia tanto nume´rica como computacio-nal difiere completamente del trabajo anteriormente mencionado. En [6] aplicamos estetipo de estrategias para modelos acoplados con una componente biolo´gica de mucha mayorcomplejidad que la que aqu´ı se presenta.2. La componente hidrodina´micaLa parte hidrodina´mica del modelo acoplado consiste en un modelo de aguas pocoprofundas unidimensional de dos capas inmiscibles con superficie libre en un canal deseccio´n arbitraria. La deduccio´n de este modelo puede encontrarse en [1]. En nuestro casola primera capa representa la capa de agua atla´ntica que penetra en superficie en el Marde Albora´n, en la cual tienen lugar los procesos biolo´gicos, mientras que la segunda capaesta´ formada por el agua mediterra´nea ma´s salada y densa que fluye en profundidaden su camino a trave´s del Estrecho hacia en Atla´ntico Norte. El sistema de ecuacionesdiferenciales que resulta es el siguiente:∂A1∂t+∂Q1∂x= 0,∂Q1∂t+∂∂x(Q21A1+g2σ1A21)= − gσ1A1∂A2∂x+g2(1σ1)xA21 − gdbdxσbσ1A1+gσ1(I3,1 + I3,2)A1,∂A2∂t+∂Q2∂x= 0,∂Q2∂t+∂∂x(Q22A2+g2σ2A22)= −r gσ1A2∂A1∂x+g2(1σ2)xA22 − gdbdxσbσ2A2+g[rσ1(I3,1 + I3,2) +(1− r)σ3I3,2]A2,(1)donde el ı´ndice 1 denota la capa superficial y el ı´ndice 2 la capa ma´s profunda. La coor-denada x representa la posicio´n a lo largo de un eje tranversal al canal, t es el tiempo,g la aceleracio´n de la gravedad, b(x) es la funcio´n que define la batimetr´ıa del fondo yσ(x, z) la funcio´n anchura que depende de la coordenada vertical. Cada una de las capasse supone que tiene una densidad constante, ρi, i = 1, 2 (ρ1 < ρ2), siendo r =ρ1ρ2la razo´nentre estas densidades. Las variables Ai(x, t), i = 1, 2 representan las secciones hu´medaspara cada capa y se relacionan con el espesor de la capa, hi(x, t), i = 1, 2 mediante lasexpresiones:A1(x, t) =∫ b+h2+h1b(x)+h2(x,t)σ(x, z) dz, A2(x, t) =∫ b(x)+h2(x,t)b(x)σ(x, z) dz. (2)2Un modelo 1D de acoplamiento hidrodina´mica-biolog´ıaLa inco´gnitas Qi(x, t), i = 1, 2 representan el flujo de masa en cada seccio´n de coordenadax en el tiempo t y se relacionan con la velocidad media de cada capa mediante la expresio´n:Qi(x, t) = ui(x, t)Ai(x, t), i = 1, 2.Los te´rminos I3,1 e I3,2 que aparecen en las ecuaciones de conservacio´n de momento vienendados por:I3,1(x, t) =∫ b(x)+h1(x,t)+h2(x,t)b(x)+h2(x,t)∂σ∂x(x, z) dz, I3,2(x, t) =∫ b(x)+h2(x,t)b(x)∂σ∂x(x, z) dz. (3)Finalmente, σ1, σ2, σ3 y σb esta´n definidas porσ1(x, t) = σ(x, b(x) + h2(x, t) + h1(x, t)), σ3(x, t) = σ(x, b(x) + h2(x, t)),σ2(x, t) =σ1σ3σ1(1− r) + rσ3 , σb(x) = σ(x, b(x)).El sistema (1) se puede escribir como:∂wH∂t+A(σ, wH)∂wH∂x= S(x,σ, wH , b) (4)dondewH =(A1(x, t) Q1(x, t) A2(x, t) Q2(x, t))T,σ =(σ1(x, t) σ2(x, t) σ3(x, t) σb(x))T,A(σ, wH) =0 1 0 0gh¯1 − u21 2u1 gh¯1 00 0 0 1rghˆ2 0 gh¯2 − u22 2u2 (5)conh¯i =Aiσi, i = 1, 2 hˆ2 =A2σ1(6)yS(x,σ, wH , b) =0gA1σ1∫ b+h1+h2b∂σ∂xdz − gA1 σbσ1dbdx0−g σbσ2A2dbdx+ gA2(rσ1∫ b+h1+h2b∂σ∂xdz +1− rσ3∫ b+h2b∂σ∂x). (7)Teniendo en cuenta las definiciones de A1 y A2 y usando la regla de Leibnitz se tiene que:∂∂x(A1 +A2) =∫ b+h1+h2b∂σ∂xdz +(dbdx+∂h1∂x+∂h2∂x)σ1 − dbdxσb (8)3J. Mac´ıas, M.J. Castro, E. Ferna´ndez-Nieto∂A2∂x=∫ b+h2b∂σ∂xdz +(dbdx+∂h2∂x)σ3 − dbdxσb. (9)Ahora, usando (8) y (9), el te´rmino fuente S(x,σ, w, b) se puede reescribir formalmentecomo:S(x,σ, wH , b) =0gh¯1∂∂x(A1 +A2)− gA1 ∂∂x(b+ h1 + h2)0gh¯2∂A2∂x+ rghˆ2∂A1∂x− gA2 ∂∂x(b+ h2 + rh1). (10)Los autovalores de A(σ, w) se clasifican en externos (2) e internos (otros 2). Los au-tovalores externos, λ±ext, esta´n relacionados con la velocidad de propagacio´n de las pertur-baciones barotro´picas y los autovalores internos, λ±int, con la velocidad de propagacio´n dela perturbaciones barocl´ınicas. Desafortunadamente no existen expresiones anal´ıticas paraestos autovalores, sin embargo, cuando r ∼= 1, se tienen las siguientes aproximaciones deprimer orden (ve´ase [7]):λ±ext =u1h¯1 + u2h¯2h¯1 + h¯2±√g(h¯1 + h¯2) (11)λ±int =u1h¯2 + u2h¯1h¯1 + h¯2±√g′h¯1h¯2h¯1 + h¯2(1− (u1 − u2)2g′(h¯1 + h¯2)), (12)con g′ = g(1 − r hˆ2h¯2). Obse´rvese como, de acuerdo con la expresio´n (12), el sistema (1) eshiperbo´lico siF 2I =(u1 − u2)2g′(h¯1 + h¯2)≤ 1,siendo F 2I conocido como nu´mero de estabilidad de Froude.En los casos que abordamos en las aplicaciones reales, donde r ∼= 1, se tienen lassiguientes desigualdades:λ−ext < λ−int < λ+int < λ+ext.Dependiendo del valor de los autovalores, el flujo se dice que es subcr´ıtico si los autovaloresinternos tienen signos distintos, cr´ıtico si uno de estos autovalores es cero y, en otro caso, elflujo se dice supercr´ıtico. De la expresio´n de la matriz A(σ, w) se deduce que las seccionescr´ıtica, subcr´ıtica y supercr´ıtica se caracterizan por ser secciones donde G2 = 1, G2 > 1,G2 < 1, respectivamente, dondeG2 = F 21 + F22 −g′gF 21F22 , (13)yF 21 =u21g′h¯1, F 22 =u22g′h¯2. (14)En estas expresiones G y Fi, i = 1, 2 son las definiciones adecuadas para este caso delnu´mero de Froude compuesto y el nu´mero de Froude interno, respectivamente.4Un modelo 1D de acoplamiento hidrodina´mica-biolog´ıa3. La componente biolo´gica: un modelo NPZLa componente biolo´gica del modelo acoplado es un modelo sencillo NPZ que, ba´sica-mente, es el mismo que el descrito en [5], pero formulado en variables conservadas. Lastres variables de estado del modelos, N , P , Z, se modelizan usualmente en funcio´n de sucontenido de nitro´geno, al ser el nitro´geno el componente que normalmente limita la pro-duccio´n primaria. Los cambios temporales en la concentracio´n de los contituyentes vienendadas por las ecuaciones:∂ (A1N)∂t+∂ (u1A1N)∂x= −f(I) g(N)A1P + (1− β)h(P )A1Z + γ j(Z)A1Z.∂ (A1P )∂t+∂ (u1A1P )∂x= f(I) g(N)A1P − h(P )A1Z − i(P )A1P,∂ (A1Z)∂t+∂ (u1A1Z)∂x= β h(P )A1Z − j(Z)A1Z,(15)El primer paso para formular un modelo NPZ consiste en determinar las expresionespara las funciones de transferencia que aparecen en las ecuaciones anteriores. La eleccio´nde la forma funcional para estos te´rminos es cr´ıtica para la dina´mica del modelo y puedetambie´n restringuir la parametrizacio´n del modelo debido a los coeficientes necesariospara su escritura. En este trabajo consideramos las mismas parametrizaciones para lasfunciones de transferencia que en [5]. Sin embargo, hemos implementado una versio´n delmodelo extremadamente versa´til que permite a cualquier potencial usuario del modelo,que lo utilice a trave´s de la Plataforma HySEA, escribir y usar cualquier otra expresio´nfuncional para las ecuaciones del modelo NPZ particular que desee considerar de formasencilla. Tambie´n es posible realizar la implementacio´n de otros tipos de modelos biolo´gicosma´s complicados, como el que se presenta en [6].Las cinco funciones de transferencia que aparecen en un modelo NPZ han sido para-metrizadas, en nuestro caso, como se indica a continuacio´n:f(I) = J es la respuesta del fitoplancton a la luz, siendo una funcio´n de la irradiacio´nsolar, h1, P y otros para´metros como latitud, nubosidad, ...g(N) = Qp = µp Nk1 +N, es el consumo de nutrientes por el fitoplancton donde µpes la tasa ma´xima de crecimiento para el fitoplancton, y k1 es el valor medio para lasaturacio´n del consumo de nitrato.h(P ) = Gp =µg Pkg + P, parametriza la ingestio´n de fitoplancton por el zooplancton,donde µg es la tasa ma´xima de consumo de fitoplancton por el zooplancton, y kg elvalor medio de saturacio´n.i(P ) = mp =µ1 Pkg + P, es la pe´rdida de fitoplancton, donde µ1 es la tasa de mortalidadnatural ma´xima del fitoplancton.5J. Mac´ıas, M.J. Castro, E. Ferna´ndez-Nietoj(Z) es la pe´rdida de zooplankton debido a muerte, excrecio´n y predacio´n:mz =µz Zkz + Z,donde kz es la mitad del valor de saturacio´n para la mortalidad del zooplancton yµz la tasa ma´xima de mortalidad del zooplancton.Finalmente, β es la asimilacio´n de zooplancton y γ es la fraccio´n de pe´rdida de zoo-plancton en relacio´n a los nutrientes.3.1. Produccio´n debida a los procesos de mezclaAdema´s de la adveccio´n, los procesos de mezcla entre la capa superficial de aguaatla´ntica y la capa profunda mediterra´nea son fundamentales para la compresio´n de lospatrones biogeoqu´ımicos en este a´rea marina (Mac´ıas et al., 2007). Con el objetivo deevitar el uso de parametrizaciones complejas para los procesos de mezcla interfacial, queadema´s dependen fuertemente en la eleccio´n de diversos para´metros a los que muestrangran sensibilidad, resultando dif´ıciles de ajustar, nosotros hemos considerado el nu´mero deestabilidad de Froude, F 2I , para determinar cuando los procesos de mezcla tienen lugar ycuando no, a la vez que para modular su intensidad. Cuando F 2I > 1 esto esta´ relacionadocon la aparicio´n de las conocidas como inestabilidades de Kelvin-Helmholtz y, en tal caso,la mezcla juega un papel importante. As´ı pues, podremos parametrizar la mezcla medianteun coeficiente de mezcla a trave´s de la picnoclina que sea constante o bien modularlo enfuncio´n de este nu´mero de estabilidad de Froude.Teniendo todo esto en cuenta, la expresio´n final para el modelo para los flujos biogeo-qu´ımico considerado es la siguiente:∂ A1N∂t+∂ (u1A1N)∂x= kmix (Ndeep −N)− J QpA1P + (1− β)GpA1Z + γ mz A1Z,∂ A1P∂t+∂ (u1A1P )∂x= −kmix P + J QpA1P −GpA1Z −mpA1P,∂ A1Z∂t+∂ (u1A1Z)∂x= −kmix Z + β GpA1Z −mz A1Z,(16)donde Ndeep es la concentracio´n de nitrato en la capa inferior y kmix es el coeficiente ofuncio´n de mezcla a trave´s de la picnoclina. En nuestro caso, kmix es una funcio´n quedepende de F 2I y A1.Por u´ltimo el sistema (16) se puede escribir como:∂wB∂t+∂FB∂x(wB, u1) = SB(wB), (17)dondewB = A1NA1PA1Z , FB(wB, u1) = u1A1Nu1A1Pu1A1Z6Un modelo 1D de acoplamiento hidrodina´mica-biolog´ıaySB(wB) =kmix (Ndeep −N)− J QpA1P + (1− β)GpA1Z + γ mz A1Z,−kmix P + J QpA1P −GpA1Z −mpA1P,−kmix Z + β GpA1Z −mz A1Z.4. Esquema nume´ricoLas soluciones de (1) y (17) pueden desarrollar discontinuidades, incluso partiendode datos iniciales suaves. En este trabajo, proponemos un me´todo de volu´menes finitosde segundo orden con limitador de flujo, basado en una combinacio´n no lineal adecuadadel esquema IFCP (de “Intermediate Field Capturing Parabola”) introducido en [2] y elesquema Lax-Wendroff, con un tratamiento especial para las ecuaciones de transporte delsistema (17). El esquema que resulta se reduce al IFCP para la componente hidrodina´micay a un esquema tipo upwind con un tratamiento descentrado upwind para las ecuacionesde transporte en las regiones de solucio´n no suave y al me´todo de Lax-Wendroff en laszonas regulares, consiguie´ndose orden dos en las regiones suaves. Para ver una descripcio´ncompleta del esquema nume´rico ve´ase [4].5. Tests nume´ricosHemos realizado multitud de test nume´ricos para distintas geometr´ıas del canal, im-poniendo una diversidad de condiciones de contorno y, en particular, imponiendo el efectode la luz solar constante o dependiente del tiempo. Como ejemplo ma´s complejo hemosconsiderado la geometr´ıa del Estrecho de Gibraltar (extremadamente abrupta y compli-cada), sobre la cual hemos hecho una imposicio´n realista del efecto de las mareas, al igualque en [1], teniendo en cuenta sus cuatro componentes principales. Hemos realizado variassimulaciones de 10 d´ıas en diferentes e´pocas del an˜o y con una parametrizacio´n adecuadadel te´rmino de irradiacio´n solar.Figura 1: Instanta´neas del modelo NPZ en el Estrecho de Gibraltar.7J. Mac´ıas, M.J. Castro, E. Ferna´ndez-NietoFigura 2: Instanta´neas del modelo NPZ en el Estrecho de Gibraltar.AgradecimientosEste trabajo ha sido parcialmente financiado por el Gobierno de Espan˜a y los fondosFEDER a trave´s del proyecto de investigacio´n DAIFLUID (referencia MTM2012-38383-C02-02) y por la Junta de Andaluc´ıa a trave´s del proyecto de excelencia TESELA (refe-rencia P11- RNM7069).Referencias[1] M.J. Castro, J.A. Garc´ıa-Rodr´ıguez, J.M. Gonza´lez-Vida, J. Mac´ıas y C. Pare´s. Numerical simulationof two-layer shallow-water flows through channels with irregular geometry J. Comp. Physics., Vol.195, (2004), pp. 202-235.[2] E.D. Ferna´ndez-Nieto, M.J. Castro y C. Pare´s. On an intermediate field capturing Riemann solverbased on a parabolic viscosity matrix for the two-layer shallow water system J. Sci. Comput., 48(1),(2011), pp. 117-140.[3] P.J. Franks. NPZ models of plankton dynamics: Their construction, coupling to physics, and appli-cation. J. Oceanogr., Vol. 58, (2002), pp. 379-387.[4] J. Mac´ıas, M.J. Castro y E.D. Ferna´ndez-Nieto. A 1D coupled hydrodynamical biological NPZ modelfor channels with arbitrary sections. En preparacio´n, 2013.[5] D. Mac´ıas, A.P. Mart´ın, J. Garc´ıa-Lafuente, C:M: Garc´ıa, A. Yool, M. Bruno, A. Va´zquez-Escobar,A. Izquierdo, D.V. Sein y F. Echevarr´ıa. Analysis of mixing and biogeochemical effects induced by tideson the Atlantic-Mediterranean floew in the Strait of Gibraltar throuhg a physical-biological coupledmodel. Prog. Oceanogr., Vol. 74, (2007), pp. 252-272.[6] E. Ramı´rez-Romero , M. Vichi, M.J. Castro, J. Mac´ıas, D. Mac´ıas, C.M. Garc´ıa y M. Bruno. Modelingbiogeochemical seasonal cycle in the Strait of Gibraltar. Enviado (2013).[7] J.B. Schijf y J.C. Schonfeld. Theoretical considerations on the motion of salt and fresh water. EnProc. of the Minn. Int. Hydraulics Conv., 321-333. Joint meeting IAHR and Hyd. Div. ASCE., Sept.1953.8

Un modelo 1D NPZ de acoplamiento entre la hidrodinámica y los flujos biogeoquímicos en estrechos bicapa. Aplicación a la dinámica mareal en el Estrecho de Gibraltar

Los modelos NPZ (siglas para Nutrientes-Fitoplancton-Zooplancton en ingl es) son
com unmente utilizados en estudios de biolog  a marina. Este tipo de modelos utiliza un
conjunto de ecuaciones diferenciales muy sencillo para de nir la din amica del plancton
marino. Las variables de estado de las cuales se modeliza su evoluci on son los
nutrientes, el  toplancton y el zooplankton, esto se hace en t erminos de su contenido
de nitr ogeno, ya que este compuesto el que normalmente limita la producci on primaria
en el oc eano. En este trabajo se implementa el acoplado de un modelo NPZ para el
modelado de los 
ujos biogeoqu  micos con un modelo de aguas poco profundas bicapa
para la hidrodin amica. El objetivo es aplicar este modelo a la simulaci on de 
ujos
biogeoqu  micos en el Estrecho de Gibraltar con imposici on de la din amica mareal

Macías Sánchez, Jorge

Castro Díaz, Manuel Jesús

Fernández Nieto, Enrique Domingo

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

Un modelo 1D NPZ de acoplamiento entre la hidrodinámica y los  flujos biogeoquímicos en estrechos bicapa. Aplicación a la dinámica mareal en el Estrecho de Gibraltar

Los modelos NPZ (siglas para Nutrientes-Fitoplancton-Zooplancton en inglés) son comúnmente utilizados en estudios de biología marina. Este tipo de modelos utiliza un conjunto de ecuaciones diferenciales muy sencillo para medir la dinámica del plancton marino. Las variables de estado de las cuales se modeliza su evolución son los nutrientes, el toplancton y el zooplankton, esto se hace en términos de su contenido de nitrógeno, ya que este compuesto el que normalmente limita la producción primaria en el océano. En este trabajo se implementa el acoplado de un modelo NPZ para el modelado de los flujos biogeoquímicos con un modelo de aguas poco profundas bicapa para la hidrodinámica. El objetivo es aplicar este modelo a la simulación de flujos biogeoquímicos en el Estrecho de Gibraltar con imposición de la dinámica mareal.Gobierno de EspañaFondo Europeo de Desarrollo RegionalJunta de Andalucí

Macias Sanchez, Jorge

Spanish

Un modelo 1D NPZ de acoplamiento entre la hidrodinámica y los flujos biogeoquímicos en estrechos bicapa. Aplicación a la dinámica mareal en el Estrecho de Gibraltar.

Castro, Manuel Jesús

Repositorio Institucional de la Universidad de Málaga

https://idus.us.es/xmlui/bitstream/handle/11441/86852/Modelo_1D_%20NPZ%20.pdf?sequence=1&isAllowed=y

Un modelo 1D NPZ de acoplamiento entre la hidrodinámica y los flujos biogeoquímicos en estrechos bicapa. Aplicación a la dinámica mareal en el Estrecho de Gibraltar

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repositorio Institucional Universidad de Málaga

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

Repositorio Institucional de la Universidad de Málaga