Šefket Arslanagić

Arslanagić, Šefket

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

150atka 27 (2018./2019.) br. 107U ovome članku dokazat ćemo nekoliko zanimljivih tvrdnji vezanih uz pravokutni trokut.Tvrdnja 1. Razlika kvadrata odsječaka koje čini okomica nacrtana iz po-lovišta jedne od kateta na hipotenuzu pravokutnog trokuta jednaka je kvadra-tu druge katete.Dokaz: Neka je DABC pravokutni trokut s pravim kutom u vrhu C, a toč-ka E polovište katete BC . Pri tome je EF ^ AB, gdje je točka F  AB . Uzmimo da je |AF| = x, |BF| = y, a točka O je polovište hipotenuze AB  (Slika 1.).CBAEFObacx ySlika 1.Imamo2AF BFOF AF AO x+= − = − , tj.2x yOE x += −ili2x yOE −= .                                                   (1)Dužina OE  očigledno je srednjica trokuta ABC∆ pa slijedi:12OE AC= , tj.2bOE = .                                                     (2)Budući da je OE AC  i EF AB⊥ , slijedi da je EOF CAB=   i OEF ABC=  , pa su pravokutni trokuti OEF∆  i ABC∆  slični. Dakle, slijedi:DOKAZI NEKIH TVRDNJI VEZANIH ZA PRAVOKUTNI TROKUTŠefket Arslanagić, SarajevoMATKA 107.indd   150 10.2.2019.   16:58:50151atka 27 (2018./2019.) br. 107OE OFAB AC= ,a odavde zbog (1) i (2) redom vrijedi:2 2x ybx y b−=+ ( )2 2x ybx y b−⇒ =+ ( )( )2b x y x y⇒ = − + , tj. 2 2 2x y b− = , što je trebalo dokazati.Tvrdnja 2. Neka je točka O unutar pravokutnog trokuta ABC∆  s pravim kutom u vrhu C takva da su površine trokuta AOB∆ , BOC∆  i AOC∆  jedna-ke. Tada vrijedi jednakost:2 2 25OA OB OC+ = .Dokaz: Nacrtajmo iz točke O visine 1 1,OA OC i 1OB (pri čemu je 1 1OA h= , 1 2OC h=  i 1 3OB h= ) na stranice BC , AB  i AC  pravokutnog trokuta ABC∆ . Neka je ,AC b BC a= =  i AB c=  (Slika 2.).CBAC1h1h2h3B1A1bacOSlika 2.Sada na osnovi Pitagorinog poučka primijenjenog na pravokutne trokute 1OB A∆  i 1OA B∆  dobivamo2 2 21 1AB OB OA+ =   i 2 2 21 1BA OA OB+ = ,odnosno( )2 221 3b h h OA− + =  i ( )2 223 1a h h OB− + = ,a odavde( ) ( )2 22 2 2 23 1 1 3OA OB a h b h h h+ = − + − + +( )2 2 2 2 2 23 1 1 32 2 2OA OB a b ah bh h h⇒ + = + − − + + .                     (3)MATKA 107.indd   151 10.2.2019.   16:58:51152atka 27 (2018./2019.) br. 107Iz uvjeta tvrdnje imamo:OBC OCA OABp p p∆ ∆ ∆= = , tj.1 31 1 1 12 2 3 6ABCh a h b p ab∆= = = , tj.13b h=  i 33a h= .                                                (4)Sada iz (3) i (4) slijedi:( )2 2 2 2 2 2 2 23 1 3 1 1 39 9 6 6 2OA OB h h h h h h+ = + − − + + ,odnosno     ( )2 2 2 21 35OA OB h h+ = + .                                        (5)Budući da za pravokutni trokut 1OCB∆  vrijedi 2 2 21 1OC CB OB= + , možemo pisati     2 2 21 3OC h h= + ,                                                 (6)pa iz (5) i (6) dobivamo2 2 25OA OB OC+ = , što je trebalo dokazati.Tvrdnja 3. U pravokutnom trokutu ABC∆  vrijede nejednakostia) 12r a< ;            b) 2 -12 4cr c≤ < ,gdje su a i b duljine kateta, c duljina hipotenuze, a r polumjer kružnice upisane tome trokutu.Dokaz: Neka je točka I središte kružnice upisane u pravokutni trokut ABC∆ , a r polumjer kružnice upisane u taj trokut (Slika 3.).                  CAr rrIBb ac      Slika 3.Tada imamo:ABI BCI ACI ABCp p p p∆ ∆ ∆ ∆+ + = ,      tj.    2 2 2 2cr ar br ab+ + = ,MATKA 107.indd   152 10.2.2019.   16:58:51153atka 27 (2018./2019.) br. 107a odavde je ( )r a b c ab+ + = , što možemo pisati kao abra b c=+ +. Dalje vrijedi: ( );ab a b cr a b ca b c a b c+ −= ⋅ + >+ + + − ( )( )2 2ab a b cra b c+ −⇒ =+ − ( )2 2 22ab a b cra b ab c+ −⇒ =+ + −,a odavde zbog 2 2 2a b c+ =  (Pitagorin poučak) vrijedi ( )2ab a b crab+ −= , tj.2a b cr + −= .                                                   (7)Dokažimo sada dane nejednakosti.a) Zbog b c<  imamo iz (7):12 2 2a b c a c cr a+ − + −= < = , tj. 12r a< , što je trebalo dokazati.b) Dokazat ćemo prvo nejednakost2a b c+ ≤ .                                                   (8)Vrijedi da je ( ) ( )22 2 2 2 22 2 2a ab b a b a b c+ + = + ≤ + = , a odavde je ( )2 22a b c+ ≤ , tj. 2a b c+ ≤ .Sada na osnovi (7) i (8) slijedi:( ) ( )1 1 22 2r a b c c c= + − ≤ − , tj. 2 12 4cr c−≤ < ,jer je 1 3 9 12 1 2 2 22 2 4 4− < ⇔ < ⇔ < = . Ovime je dokazana i dana nejedna-kost b).Napomena 1. Vrijedi jednakost u nejednakosti (8) ako je u pitanju pravo-kutni jednakokračni trokut ABC∆ .Literatura:1.  Arslanagić, Š. (2005.). Matematika za nadarene, Bosanska riječ, Sarajevo.2.  Marić, A. (1996.). Planimetrija – Zbirka riješenih zadataka, Element, Zagreb.3.  Marić, A. (2007.). Trokut, Element, Zagreb.4.  Stošić, V. (2017.). Planimetrija – Odabrani zadaci za osnovnu školu, Ele-ment, Zagreb.MATKA 107.indd   153 10.2.2019.   17:01:07

DOKAZI NEKIH TVRDNJI VEZANIH ZA PRAVOKUTNI TROKUT

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia