OKAWA Satoshi

大川 知

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大川, 知

2532

オオカワ, サトシ

OKAWA, Satoshi

Hachinohe Institute of Technology Repository / 八戸工業大学学術リポジトリ

帰納的に可算な言語の同長線形文脈自由言語による特徴付けについてOn the Characterizations of Recursively EnumerableLanguages by Even―Linear LanguagesSatoshi OKAWAAbstractFor a linear context―free graHHnar G, if every non―terHinatingrule of G is of the form A→αBβ with l α l=lβl,it is calledan even一h ear granilnar and the language generated by G,L(G),iscalled an even―linear language.In this note, 、、アe give two characterization results of recursivelyenumerable languages using even―linear languages and homomorphislns:i)For each recursively enumerable language L, we can find twoeven―linear languages L l,L2 and tWo homomorphisms h,hュsuch that L=h(hl(Ll)∩L2)o■)For each recursively enumerable language L, we can ind aneven―linear language LE and three homomorphisms h,hl,h2such that L=h(hl(LE)∩h2(LE))・1.イまじめに言語理論において、言語のクラスの特徴付けをするという問題は重要な研究課題となっており、文法によって定まる言語のクラスと、言語の受理装置であるオー トマ トンによって定まる言語のクラスとの間の対応付佐)は、その一つの重要な結果である。また、これとは別に、これらのクラスを代数的に特徴付ける問題がある。例えば、文脈自由言語LをDyck言語Dと正規言語Rと準同形写像hとによって、L=h(D∩R)という形で表現する (1)、帰納的に可算な言語Lを2つの線形文脈自由言語Ll, L2と準同型写像h平成元年 12月15日受理* 電気工学科助教授大 川   知 *―-14-―とによって、L=h(Lュ∩L2)という形で表現する(2)などの古典的な結果がよく知られている。最近、アルファベットΣに対 して、Σだけに依存 してアルファベットΣ' と準同形写像h:Σ'*→Σ*とが定まり、Σ'上のDyck言語をDとして、Σ上の任意の帰納的可算な言語L REと文脈 自由言語L cFとに対 して、L RE=h(D∩MRE')、L cF=h(D∩McF')となる極小線形言語MRE' と極小線形正規言語McF'ん存｀在する (3)、文脈依存言語に対 しては、このような形の特徴付けができない (4)、任意の帰納的に可算な言語Lが本論文の後で述べる右長、左長、同長の3種の線形言語のうち、同長と同長を除 く任意の2つの言語のLl,L2と準同形写像hとによって、L=h(Ll∩L2)と表わされる (5)などの結果が得られている。本論文に為いては帰納的に加算な言語の、同長線形言語と準同形写像とによる特徴付佐ナに関する結果を与える。すなわち、任意の帰納的に可算な言語Lは、2つの同長線形言語Ll, L2と、 つの準同形写像h, hlとによってL=h(hl(Ll)∩L2 と表わすことができることを示す。さらに、任意の帰納的に可算な言語Lは、1つの同長線形言語LEとヽ 3つの準同形写 像 h,hl,h2と に よ っ て 、 L=h(hl(LE)∩ h2(LE))と 表 わ すことができることを示す。2.準備本節に為いて、本論文に必要な文法、導出、言語等に関する定義を行なうが、詳細については、文献 (6)などを参照されたい。文法とはG=(N, Σ P, S)である。ここで、Nは非終端記号の集合、Σは終端記号の集合 (V=Σ∪Nとする。)、 Pは書きかえ規則の集合、SはNの元で初期記号である。Pの元pはp:α→ β (α, β∈V*, αはNの元を含む)という形をしている。文法Gの書きかえ規則p:α→ βが文字列ωに適用可能であるとは、ωがωlα ω2と分解できるときであり、ωにpを適用 した結果は、αをβに書きかえてo'=ωlβ ω2なる文字列である。このとき ω=義きo' と表わす。文法Gによる語ωの導出とは、Gの書きかえ規則の系列pl, p2,・~pRによるS==き】ωl==琵Ъヮ==姜9…・==ポちn―ωのことである。 このことをS坐墜主主芸 ω, s⇒。と表わす。文法GがG―-15-一Gあきらかなときには、Gを省略 して、三 等の代わ りに⇒ 等 と書 くことがある。文法Gによって生成 される言語L(G)とは、L(G)={ωlS=→蒙ω, ο∈Σ*}のことである。文法Gの書きかえ規則p:α→ βについて、β中にNの元が入っているときpを非終端ナ児則、そうでないとき終端規則という。また、Gのすべての書きかえ規則p:α→ βについて、1)何の制約もない2)lαl≦lβ l3)α∈N,すなわち、p:A→β、A∈N4)p:A→aB または、A→a B∈N, a∈Σとなっているとき、その文法をそれぞれ、1)帰納的に可算な文法2)文脈依存文法3)文脈自由文法4)正規文法といい、それらが生成する言語を、1)帰納的に可算な言語2)文脈依存言語3)文脈自由言語4)正規言語という。文脈自由文法Gの書きかえ規則のうち、非終端規則A→βについて、β∈Σ*VΣ*のとき線形規則といい、すべての非終端規則が線形である文法を線形文法といい、その文法で生成される言語を線形言語という。さらに、β=ωlB ω2(ωl,ω2∈Σ*)がl ωll<l ω21のとき右長、 |て,,11=l ω21のとき同長、 l oll>l ο21のとき左長規則という。すべての非終端規則が右長 (同長、左長)規則であるとき、その文法を右長 (同長、左長)線形文法といい、その文法によって生成される言語を右長 (同長、左長)線形言語という。先に述べたように、帰納的に可算な言語については、次のような特徴付けが知られている。〔定理 l〕 (5)任意の帰納的に可算な言語Lに対 し、I)2つの右長 (左長)線形言語Ll, L2と準同形写像hとが定まり、L=h(Ll∩L2)と表わされる。工)右長 (左長)線形言語Llと同長線形言語L2と準同形写像hが定まり、L=h(Ll∩L2)と表わされる。五)右長線形言語Llと左長線形言語L2と準同形写像hが定まり、L=h(Lュ∩L2)と表わされる。この定理を見ると、2つの同長線形言語Ll,L2による場合がないが、―-16-―これについては次の結果が成立する。〔定理 2〕 (5)2の同長線形言語Ll, L2と準同形写像hについて、h(Ll∩L2)は線形言語である3。 結 果前節の定理 1と定理 2とは極めて対照的な結果である。すなわち帰納的に加算な言語は、定理 1と同じような形式で同長言語による特徴付けができないことが示されている。従って、どのようにしても、同長言語だけでは帰納的に可算な言語が特徴付けられないのかという点に興味がある。このことについて、本節で考察する。まず初めに、次の補題が成立することを示す。〔補題 1〕 任意の線形言語Lに対 して、同長言語LEと準同形写像hが定まり、Lは、L=h(LE)と表わすことができる。(証 明) Lを生成する線形文法をG=(N, Σ P, S)とする。Pの元はn個の非終端規則pi:Ai→ωilBiωi2(1=1, 2,―。,n)、及び、 IP十一n個の終端規則pj:Aj→aj(j=n+1,中●, IPI)と な っ て い る と す る 。 こ の と き 、 同 長 線 形 文 法 GE=(NE, Σ E,PE, SE)を次の よ うに定 め る。NE=NΣE={p il,p i2, li=1, 2,中●,n}∪ΣPE={pj:Ai→p ilBip iヮl =1, 2,―。, n}∪{pj:A,→ajl j=n+1,―・, IPI}SE=Sとす る。準 同形写像 hをh:ΣE*→Σ*を次 の よ うに定 め る。h(p il)=ω il,h(pェ2)=て')i2,(1=1,2,…。,n)h(a)=a(a∈Σ)とする。すると、L=h (L (GE))となる。LE=L(GE)として結果を得 る。〔定理 3〕 任意の帰納的に可算な言語Lに対 して、2つの同長線形言語Ll, L2と2つの準同形写像h,hlが定ま りLはL=h(hl(Ll)∩L2)と表わされる。(証明) 定理 1のil)よりLは右長線形言語Ll' と同長線形言語L2と準同形写像hとによってL=h(Ll' ∩L2)と表わされる。補題 lよりある同長線形言語Lxが存在 し、Ll'=hl(Ll)―-17-―とす ることができるから、L=h(hl(Ll)∩L2)となる。この定理では、2つの同長線形言語を用いているが、準同形写像を1つ増すことによって同長線形言語は1つでよいことが示される。〔定理 4〕 任意の帰納的に可算な言語Lに対 し、同長線形言語LEと3つの準同形写像h, hュ, h2が定まりL=h(hl(LE)∩h2(LE))と表わされる。(証 明) 定理 1のI)により、任意の帰納的に可算な言語Lは2つの右長線形言語Ll,L2と準同形写像hとによってL=h(Lュ∩L2)と表わされる。Ll,L2を生成する右長線形文法をGl=(Nl, Σ,Pl, Sュ),G2=(N2, Σ,P2, S2)とする。一般性を失 うことなく、Nl∩N2=φと仮定する。さらに、Pl={πi:Aェ→αiBiβi∪ (πj:Aj→ajl jP2={pi:Ci→/iDiδiU{ρj:C,→bjl jとなっているものとする。このとき、N=NュU N2,Σ'={π il,πi?li=1,U(ρjl, p j2, ljP={A→πilBπi2 1 πiU{Aj→aj' l πj:A5→aj j=n+1,中U{C→ρ:lD ρェ21 ρi:C→γ(Dδi i=1∪{Cj→bj' l ρji Cj→bj j=m+1,¨U{S→Sl, S→2}II=1,2=n+1,。li=1,2=mtt l,・2, 。・・, n}=1,2,…。 m}∪{a':A→αiBβi 二=1,2nmPPla∈Σ},‥。, n}IPェ|}2,・―,m)I P21}とし、G=(N,準 同形写像 hl,hl(π:1)hl(a')hl(p il)hl(a')及 び、h2(π ll)h2(a')h2(p i2)h2(a')Σ',P, S)とすると、Gは同長文法である。h2を=αi,hl(π12)=βi,I=1,2,中0 n=a, a∈Σ=ε,hl(p,2)=ε,i=1,2,…。,m=ε, a∈Σ=ε,h2(π:2)=ε,i=1,2,中0,n=a, a∈Σ=γ:,h2(p i2)=δi,i=1,2,¨・,m=a, a∈Σ-18-と定めると、hl(L (G))=Ll, h2(L (G))=L2である。従 って、L=h (hl(L (G))∩h2(L (G)))となる。L(G)=LEとすることによって結果を得 る。4.むすび本論文では、帰納的に可算な言語の特徴付けについて考察を行ない、同長線形言語による特徴付 l′″ナが可能であることを示 した。すなわち、任意の帰納的に可算な言語Lに対 し、2つの同長線形言語Ll, L2と2つの準同形写像hO, hlとによって、 L=hO(hl(Ll)∩L2)と表わされることと、1つの同長言語LEと3つの準同形写像h, hl, h2とによって、L=h(hl(LE)∩h2(LE))と表わされることを示 した。この結果 と定理1とを対比 してみると、言語の条件が厳 しくなると準同形写像の数が増えていくようイこ見 うけられる。                      イ上に述べたことから、今後の課題として、言語に対する条件と準同形写像の関係についての検討、さらに言語のクラスを小さくして帰納的に加算な言語を特性化することができるかどうかの検討などがある。参考文献1)N.Chomsky,“Context一free grammars and pushdown strage",MITRes,Lab.Electron.Quart,Prog.Report 65 pp.187-194(1962).2)S Cinsburg,S.A,Greibach and M.A.Harris on,“One―way stackautomata,"」.ACM 14 pp.389-418(1967).3)S,Hirose,SoOkawa and M.Yoneda,“A homomorphic characterizationof recursively enumerable languages",Theoret.ComputoSci。35pp.261-269(1985),4)SoOkawa,s.HirOse and M.Yoneda,“On the impossibility of thehOmomorphic characterization of context―sens tive languages",ibid,44,pp.225-228(1986)。5)大川 知、広瀬貞樹 、“線形言語 の部分族 と言語 の特性化 "、投稿 中6)本多波雄、“オー トマ トン・言語理論 "、コロナ社 (昭47).―-19-―

On the Characterizations of Recursively Enumerable Languages by Even-Linear Languages

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